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【摘要】 本文反映的是对三所高中一年级学生对函数周期性概念的理解情况的调查研究，研究目的是通过调查高一学生对函数周期性概念的理解情况，发现学生在概念理解中存在的问题，为教师对概念进行有效教学提供理论依据. 研究结果发现，学生对函数周期性概念的理解很不到位.最后，基于本调查的发现，笔者对教学提出了一些相应的建议.
【关键词】 函数周期性 理解 高中数学 调查
一、问题的提出
函数是高中数学的主线，是每年高考必考查的重点内容之一，函数的周期性问题在历年高考中屡见不鲜，备受命题者青睐. 而要学生灵活地运用周期性，首先要弄清其基本概念. 恩格斯曾说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系，概念学习在数学学习中占有极其重要的地位，而对数学概念理解不清或运用不恰当往往是导致学生数学素质不能提高的直接原因. ”学生对函数周期性的概念理解到什么程度，对概念的认知存在哪些误区，引起理解偏差的原因是什么，这些问题的研究将为教师对概念的有效教学提供理论依据. 二、研究方法
（一） 问卷调查设计
针对平时学生作业和测试中最容易错误的地方，设计三道考查学生对周期性概念理解的问题：
① 等式sin+ 2π = sin 成立，则２π是ｙ ＝ sin的周期吗？为什么？
目的是考查在周期性概念中对定义域内每一个ｘ的值加非零常数Ｔ有ｆ（ｘ ＋ Ｔ） ＝ ｆ（ｘ），不是对定义域中的ωｘ的值加非零常数Ｔ有ｆ（ωｘ ＋ Ｔ） ＝ ｆ（ωｘ）.
② ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ（０ ≤ ｘ ≤ ８）是周期函数吗？为什么？
考查学生能否理解周期性概念中隐含的ｘ∈Ｄ，ｘ ＋ Ｔ∈Ｄ进而有ｘ ＋ ｎｔ∈Ｄ，即周期函数的定义域至少一端无界.
③ 由ｙ ＝ ｘ －［ｘ］（ｘ∈［－３，３］）的图像判别ｙ ＝ ｘ － ［ｘ］是否为周期函数？为什么？ 若学生明确了周期函数的定义域至少一端为无界，即可由ｘ∈［－３，３］判断其不是周期函数，另外还想了解学生头脑中关于函数图像的重复出现与函数周期性的关系. （二） 调查对象情况
我对浙江省乐清市三所高中一年级 两个层次６个班共３０４名学生进行了问卷测试. 这三所学校高一年级都是按学生成绩从高到低分班的. 分重点班、普通班两个层次，每班４０到５０多人不等，在每个学校的不同班级类型中，我各随机选取了一个班级，而且是不同数学老师的教学班，这样便于从教学的角度发现问题，表１显示了班级人数和有效试卷的情况.
其中,有效试卷是指试卷回答在五个题目及以上的. 对于试题回答不足一半的,也就是完成的题目少于等于四个的,视为无效试卷. 有个别学生虽参加了测试但没有交卷,他们的试卷也被视为无效试卷.
三､学生对函数周期性概念的理解情况和分析
1. 学生对周期性概念中f(x+T) = f(x)的理解很不到位
在测试题的第1小问中有249人进行了回答,其中202人回答正确,里面有178人回答正确的理由是对y = sin而言,它的最小正周期为T == 6π,与y = sin x的最小正周期2π不同,故2π不是y = sin的周期. 说明在学生头脑中对y = Asin(ωx + ψ)的周期求法很熟悉,而在乐中的重点班中有11名同学能够用反证法说明2π不是y = sin的周期,有极个别学生指出f(x+T) = f(x)是对单个x而言,而不是对ωx而言. 具体情况见表2:
① 在所有回答正确且有理由的人中,理由如:对y = sin而言,T = = 6π,所以2π不是y = sin的周期,乐清中学重点班有30人,占60 %;乐清中学普通班有35人,占69 %;温教院附中重点班有17人,占41 %;附中普通班有13人,占57 %.
这说明学生对形如y = Asin(ωx + ψ)的周期求法非常熟练,但这些学生只是从通过求出最小正周期进行对比,不能从f(x+T) = f(x)的本质上去看问题,即这里的T是针对定义域中的x而非ωx.
② 用反证法来说明2π不是y = sin的周期.
乐清中学重点班有11人采用上述理由,占整个有效试卷的4 %,其他学校无人能这样解答. 这11名学生用反证法说明了2π不是y = sin的周期,真正理解了f(x+T) = f(x)的含义.
③ 有16人回答正确,但理由错误,大部分是如下的解答:
(1)等式sin+ 2π = sin 成立,则2π是y = sin的周期吗?为什么?
解:不是. 因为sin+ 2π = sin x +π , 所以y = sin 的同期为 π.
其中乐清中学普通班有2人,占4%,乐清二中重点班有2人,占4 %. 温教院附中重点班有9人,占22%,附中普通班有1人,占4 %.
这14人知道f(x+T) = f(x)中的T是针对x的,但是错把sin + 2π写成sin + 得出 是它的周期.
在35种错误回答中,其理由也五花八门.
例如:无论x取何值,sin + 2π= sin,所以2π是y = sin的周期. 再如:只要是2的倍数就是函数的周期,等等.
可见,有35人,占14 %,对周期概念有错误的理解,只是凭记忆中的依稀映象和片言只语进行阐述.
2. 学生对周期函数的定义域理解不到位
在第二问的测试中只有129人判断正确,其中判断正确的且理由也正确的共有76人,占31 %,76人中大部分同学例举了一个反例来说明y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)在有界取值范围内不具有周期性,有个别通过画图像来说明不具有周期性.
另外,有120人判断错误,其中错误理由最多的是y = sinx本身是一个周期函数,其与定义域无关.
有139人判断正确但理由错误:y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)定义域不关于原点对称和认为T = 2π = 6.28,0 ≤ x ≤ 8,故y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)不是周期函数,也占了不少比例,而有个别学生认为只有y = Asin(ωx + ψ)才为周期函数.
从卷面的调查可知,学生头脑中认为函数周期性与函数定义域有关的人少之又少,绝大部分学生抛开定义域来谈函数周期性. 详见表3:
① 在76个判断正确的且理由也正确的人中,有如下的解法:
(2) y = sin x(0 ≤ x≤8)是周期函数吗?为什么?
不是. 当x = 8时,y = sin 8,f(x + 2π) = sin(8 + 2π),因为8 + 2π取不到,所以不是.
乐清中学重点班29人,占58 %,乐清中学普通班9人,占18 %,乐清二中重点13人,占28 %,乐清二中普通班12人,占32 %,温教院附中重点班38人,占 93 %,温教院附中普通班2人,占 9 %. 他们通过举反例来验证y = sin x(0 ≤ x ≤ 8)不是周期函数,是判断正确的学生中的大部分人的想法,他们能清楚f(x+T) = f(x)的含义,当x取[0,8]内的8时,发现8 + 2π?埸 [0,8],或x取[0,8]上的π时,由f(π) = f(3π),但3π ?埸[0,8],从而得出了正确判断.
另有5人通过画图,发现y = sin x在[0,8]上不呈周期变化,从而不为周期函数.
② 在120个回答错误的学生中错误理由最多的是y = sin x本身是一个周期函数,每隔2π会出现相同的y值,与定义域无关,它的周期性不受自变量取值范围的影响. 类似此理由的,乐清中学重点班9人,占18 %,乐清中学普通班20人,占39 %,乐清二中重点班20人,占43 %,乐清二中普通班11人,占29 %,温教院附中重点班20人,占48 %,温教院附中普通班18人,占78 %.
可见,大多数学生离开了定义域而谈函数的周期性,认为y = sinx就是周期函数,不管x有何范围限定,这一方面与教师对定义域的讲解有关,另一方面与教科书上的习题编拟也有关.
可见,学生对周期性概念中的定义域的理解不到位是非常严重的,从表上也可知,越是普通中学,学生对它的理解越不到位.
3. 学生头脑中函数图像重复出现与函数周期的关系
在249人中只有87人判断正确,判断正确的21人认为:该函数定义域为[-3,3],当x = 3时,不满足题意,从而y = x-[x](-3 ≤ x ≤ 3)不是周期函数.
有54人说理错误,他们中大部分人从图像上认为周期函数的图像应是连续不断的曲线,而不能是间断的,这与教科书把周期函数放在正余弦函数后面讲有关,由于正余弦函数的图像是连续的,给学生造成了错觉,以为所有的周期函数图像必须连续,个别同学认为这个函数图像无对称轴,不是周期函数,这可能与函数的奇偶性相混淆.
有162人判断错误,他们中大部分人认为这个函数的图像是呈周期变化,有的说函数值重复出现,在这些学生头脑中周期函数的图像必是重复出现或图像重复出现的函数必是周期函数,详见表4分析.
① 回答正确且理由也正确的人共有21人,占8.4 %,他们的理由如下:若因为周期函数满足f(x + T) = f(x),该函数定义域为[-3,3],当x = 3时,不满足. 这21人分别为乐清中学重点班15人,乐清二中重点班8人,其他学生全答错.
② 回答正确但理由错误的有66人,他们认为:因为图像不是连续的,这个函数为分段函数,中间有间隔,所以这个函数不是周期函数,持这种观点的学生分布情况:
乐清中学重点班6人,占12 %,乐清中学普通班9人,占18 %,乐清二中重点班6人,占13 %,乐清二中普通班10人,占26 %,温教院附中重点班8人,占 20 %,温教院附中普通班3人,占13 %.
③ 在判断错误的人中,认为表中图像周而复始,重复出现,所以它是周期函数的分布情况:
乐清中学普通班24人,占47 %,乐清二中重点班20人,占43 %,乐清二中普通班16人,占42,温教院附中重点班28人,占68 %,温教院附中普通班20人,占87 %.
这一部分学生仅从表中看出有一部分图像重复出现就认为它是周期函数,且人数众多. 其他判断错误的理由五花八门,有的认为周期函数要有A,ω,T,有的认为它的图像不关于对称轴对称,等等,从而判断y = x -[x](x∈[-3,3])不是周期函数.
可见大部分学生头脑中认为函数周期性就是它的图像重复出现,函数图像重复出现的就是周期函数. 这种观点有可能来自于老师的片面教学,而老师也有可能受某些教学参考用书的影响,以讹传讹.
四､主要结论
总的来说,学生在函数周期性的概念理解上存在很多问题,他们对定义中的核心词没能引起充分的重视,对概念的理解浮于表面. 在函数周期性概念中包含着几个关键词,如对?坌x∈D,都有f(x+T) = f(x),则隐含着x+ T∈D,x + 2T∈D,…,x+nT∈D,故周期函数的定义域必为一端无界. 而从调查情况来看,约50 %学生居然认为一个函数是否为周期函数与其定义域无关;对于f(x+T) = f(x)的理解也很模糊,极个别学生能认识到对单个x而言,x+T与x的函数值相同,而非ωx+T,但事实上相当一部分的学生都犯了这样的错,即不明确是哪个变量加上T,而对于f(x+T) = f(x)的解释则是x每间隔T个单位,函数值重复出现,大部分学生将此理解为周期函数的图像必是连续不断的,至于函数图像重复出现只是周期函数的偶有属性更无人知晓.
五､对教学的建议
(一) 讲解清楚函数周期性的概念的本质,培养学生的思维
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式,它具有相对独立性. 概念的学习有两种基本形式,一是概念形成,二是概念同化. 周期性概念对学生来说是一个新的而且有相当难度的概念,在学生已有知识结构中,还没有相关的周期性的知识经验可以借鉴. 因此这部分知识的教学对教师来讲也是难点,但是还是可以采用概念形成的教学方式,逐步突破学生在概念学习中的难点.
1. 重视概念形成过程
教师可以从正余弦函数的图像出发,数形结合,首先让学生去直观感知周期函数的图像特点,在此基础上,举出大量具有周期性的函数图像,其中有三角函数,也有一般函数,图像有连续不断的,也有分段的,让学生通过观察归纳出周期函数的共同特征即本质属性. 从而引出函数周期性的概念.
2. 重视概念辨析过程
概念初步形成以后,教师可以举一些周期和非周期函数对学生进行概念辨析,进一步加深对概念本质的理解. 如举一些函数定义域是有限区间,问学生是否是周期函数,或如sin+ = sin ,能否说是sin x的周期?在辨析过程中学生会逐渐完善对概念的理解. 同时也可以消除学生头脑中的周期函数的图像必须连续不断,一个函数是否是周期函数与定义域无关等错误理解.
3. 重视用定义求解最小正周期
通常教师比较重视用公式求解三角函数的最小正周期. 而用周期性定义去求最小正周期书写上比较麻烦,很多教师仅仅一带而过. 但是,在初学定义后,引导学生多采用定义去求最小正周期可以帮助学生很好地理解f(x+T) = f(x)中的T是对x而言的,不是对ωx的值加非零常数T有f(ωx + T) = f(ωx).
教师要有长远眼光,以发展学生的思维为己任. 从测试调查过程中,笔者明显感觉到很多教师和学生对这部分知识仅局限于求简单的三角函数的周期,教师对课程的安排仅仅是完成教学内容,缺乏对学生的概念本质的形成的相应指导. 有的教师由于自身的知识结构问题,自身对它的理解也不够. 故作为教师,更要不断地扩展和更新自身的知识结构,只有具备了好的数学素养,才能培养出高素质的学生.
其中,有效试卷是指试卷回答在五个题目及以上的. 对于试题回答不足一半的,也就是完成的题目少于等于四个的,视为无效试卷. 有个别学生虽参加了测试但没有交卷,他们的试卷也被视为无效试卷.
三､学生对函数周期性概念的理解情况和分析
1. 学生对周期性概念中f(x+T) = f(x)的理解很不到位
在测试题的第1小问中有249人进行了回答,其中202人回答正确,里面有178人回答正确的理由是对y = sin而言,它的最小正周期为T == 6π,与y = sin x的最小正周期2π不同,故2π不是y = sin的周期. 说明在学生头脑中对y = Asin(ωx + ψ)的周期求法很熟悉,而在乐中的重点班中有11名同学能够用反证法说明2π不是y = sin的周期,有极个别学生指出f(x+T) = f(x)是对单个x而言,而不是对ωx而言. 具体情况见表2:
① 在所有回答正确且有理由的人中,理由如:对y = sin而言,T = = 6π,所以2π不是y = sin的周期,乐清中学重点班有30人,占60 %;乐清中学普通班有35人,占69 %;温教院附中重点班有17人,占41 %;附中普通班有13人,占57 %.
这说明学生对形如y = Asin(ωx + ψ)的周期求法非常熟练,但这些学生只是从通过求出最小正周期进行对比,不能从f(x+T) = f(x)的本质上去看问题,即这里的T是针对定义域中的x而非ωx.
② 用反证法来说明2π不是y = sin的周期.
乐清中学重点班有11人采用上述理由,占整个有效试卷的4 %,其他学校无人能这样解答. 这11名学生用反证法说明了2π不是y = sin的周期,真正理解了f(x+T) = f(x)的含义.
③ 有16人回答正确,但理由错误,大部分是如下的解答:
(1)等式sin+ 2π = sin 成立,则2π是y = sin的周期吗?为什么?
解:不是. 因为sin+ 2π = sin x +π , 所以y = sin 的同期为 π.
其中乐清中学普通班有2人,占4%,乐清二中重点班有2人,占4 %. 温教院附中重点班有9人,占22%,附中普通班有1人,占4 %.
这14人知道f(x+T) = f(x)中的T是针对x的,但是错把sin + 2π写成sin + 得出 是它的周期.
在35种错误回答中,其理由也五花八门.
例如:无论x取何值,sin + 2π= sin,所以2π是y = sin的周期. 再如:只要是2的倍数就是函数的周期,等等.
可见,有35人,占14 %,对周期概念有错误的理解,只是凭记忆中的依稀映象和片言只语进行阐述.
2. 学生对周期函数的定义域理解不到位
在第二问的测试中只有129人判断正确,其中判断正确的且理由也正确的共有76人,占31 %,76人中大部分同学例举了一个反例来说明y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)在有界取值范围内不具有周期性,有个别通过画图像来说明不具有周期性.
另外,有120人判断错误,其中错误理由最多的是y = sinx本身是一个周期函数,其与定义域无关.
有139人判断正确但理由错误:y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)定义域不关于原点对称和认为T = 2π = 6.28,0 ≤ x ≤ 8,故y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)不是周期函数,也占了不少比例,而有个别学生认为只有y = Asin(ωx + ψ)才为周期函数.
从卷面的调查可知,学生头脑中认为函数周期性与函数定义域有关的人少之又少,绝大部分学生抛开定义域来谈函数周期性. 详见表3:
① 在76个判断正确的且理由也正确的人中,有如下的解法:
(2) y = sin x(0 ≤ x≤8)是周期函数吗?为什么?
不是. 当x = 8时,y = sin 8,f(x + 2π) = sin(8 + 2π),因为8 + 2π取不到,所以不是.
乐清中学重点班29人,占58 %,乐清中学普通班9人,占18 %,乐清二中重点13人,占28 %,乐清二中普通班12人,占32 %,温教院附中重点班38人,占 93 %,温教院附中普通班2人,占 9 %. 他们通过举反例来验证y = sin x(0 ≤ x ≤ 8)不是周期函数,是判断正确的学生中的大部分人的想法,他们能清楚f(x+T) = f(x)的含义,当x取[0,8]内的8时,发现8 + 2π?埸 [0,8],或x取[0,8]上的π时,由f(π) = f(3π),但3π ?埸[0,8],从而得出了正确判断.
另有5人通过画图,发现y = sin x在[0,8]上不呈周期变化,从而不为周期函数.
② 在120个回答错误的学生中错误理由最多的是y = sin x本身是一个周期函数,每隔2π会出现相同的y值,与定义域无关,它的周期性不受自变量取值范围的影响. 类似此理由的,乐清中学重点班9人,占18 %,乐清中学普通班20人,占39 %,乐清二中重点班20人,占43 %,乐清二中普通班11人,占29 %,温教院附中重点班20人,占48 %,温教院附中普通班18人,占78 %.
可见,大多数学生离开了定义域而谈函数的周期性,认为y = sinx就是周期函数,不管x有何范围限定,这一方面与教师对定义域的讲解有关,另一方面与教科书上的习题编拟也有关.
可见,学生对周期性概念中的定义域的理解不到位是非常严重的,从表上也可知,越是普通中学,学生对它的理解越不到位.
3. 学生头脑中函数图像重复出现与函数周期的关系
在249人中只有87人判断正确,判断正确的21人认为:该函数定义域为[-3,3],当x = 3时,不满足题意,从而y = x-[x](-3 ≤ x ≤ 3)不是周期函数.
有54人说理错误,他们中大部分人从图像上认为周期函数的图像应是连续不断的曲线,而不能是间断的,这与教科书把周期函数放在正余弦函数后面讲有关,由于正余弦函数的图像是连续的,给学生造成了错觉,以为所有的周期函数图像必须连续,个别同学认为这个函数图像无对称轴,不是周期函数,这可能与函数的奇偶性相混淆.
有162人判断错误,他们中大部分人认为这个函数的图像是呈周期变化,有的说函数值重复出现,在这些学生头脑中周期函数的图像必是重复出现或图像重复出现的函数必是周期函数,详见表4分析.
① 回答正确且理由也正确的人共有21人,占8.4 %,他们的理由如下:若因为周期函数满足f(x + T) = f(x),该函数定义域为[-3,3],当x = 3时,不满足. 这21人分别为乐清中学重点班15人,乐清二中重点班8人,其他学生全答错.
② 回答正确但理由错误的有66人,他们认为:因为图像不是连续的,这个函数为分段函数,中间有间隔,所以这个函数不是周期函数,持这种观点的学生分布情况:
乐清中学重点班6人,占12 %,乐清中学普通班9人,占18 %,乐清二中重点班6人,占13 %,乐清二中普通班10人,占26 %,温教院附中重点班8人,占 20 %,温教院附中普通班3人,占13 %.
③ 在判断错误的人中,认为表中图像周而复始,重复出现,所以它是周期函数的分布情况:
乐清中学普通班24人,占47 %,乐清二中重点班20人,占43 %,乐清二中普通班16人,占42,温教院附中重点班28人,占68 %,温教院附中普通班20人,占87 %.
这一部分学生仅从表中看出有一部分图像重复出现就认为它是周期函数,且人数众多. 其他判断错误的理由五花八门,有的认为周期函数要有A,ω,T,有的认为它的图像不关于对称轴对称,等等,从而判断y = x -[x](x∈[-3,3])不是周期函数.
可见大部分学生头脑中认为函数周期性就是它的图像重复出现,函数图像重复出现的就是周期函数. 这种观点有可能来自于老师的片面教学,而老师也有可能受某些教学参考用书的影响,以讹传讹.
四､主要结论
总的来说,学生在函数周期性的概念理解上存在很多问题,他们对定义中的核心词没能引起充分的重视,对概念的理解浮于表面. 在函数周期性概念中包含着几个关键词,如对?坌x∈D,都有f(x+T) = f(x),则隐含着x+ T∈D,x + 2T∈D,…,x+nT∈D,故周期函数的定义域必为一端无界. 而从调查情况来看,约50 %学生居然认为一个函数是否为周期函数与其定义域无关;对于f(x+T) = f(x)的理解也很模糊,极个别学生能认识到对单个x而言,x+T与x的函数值相同,而非ωx+T,但事实上相当一部分的学生都犯了这样的错,即不明确是哪个变量加上T,而对于f(x+T) = f(x)的解释则是x每间隔T个单位,函数值重复出现,大部分学生将此理解为周期函数的图像必是连续不断的,至于函数图像重复出现只是周期函数的偶有属性更无人知晓.
五､对教学的建议
(一) 讲解清楚函数周期性的概念的本质,培养学生的思维
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式,它具有相对独立性. 概念的学习有两种基本形式,一是概念形成,二是概念同化. 周期性概念对学生来说是一个新的而且有相当难度的概念,在学生已有知识结构中,还没有相关的周期性的知识经验可以借鉴. 因此这部分知识的教学对教师来讲也是难点,但是还是可以采用概念形成的教学方式,逐步突破学生在概念学习中的难点.
1. 重视概念形成过程
教师可以从正余弦函数的图像出发,数形结合,首先让学生去直观感知周期函数的图像特点,在此基础上,举出大量具有周期性的函数图像,其中有三角函数,也有一般函数,图像有连续不断的,也有分段的,让学生通过观察归纳出周期函数的共同特征即本质属性. 从而引出函数周期性的概念.
2. 重视概念辨析过程
概念初步形成以后,教师可以举一些周期和非周期函数对学生进行概念辨析,进一步加深对概念本质的理解. 如举一些函数定义域是有限区间,问学生是否是周期函数,或如sin+ = sin ,能否说是sin x的周期?在辨析过程中学生会逐渐完善对概念的理解. 同时也可以消除学生头脑中的周期函数的图像必须连续不断,一个函数是否是周期函数与定义域无关等错误理解.
3. 重视用定义求解最小正周期
通常教师比较重视用公式求解三角函数的最小正周期. 而用周期性定义去求最小正周期书写上比较麻烦,很多教师仅仅一带而过. 但是,在初学定义后,引导学生多采用定义去求最小正周期可以帮助学生很好地理解f(x+T) = f(x)中的T是对x而言的,不是对ωx的值加非零常数T有f(ωx + T) = f(ωx).
教师要有长远眼光,以发展学生的思维为己任. 从测试调查过程中,笔者明显感觉到很多教师和学生对这部分知识仅局限于求简单的三角函数的周期,教师对课程的安排仅仅是完成教学内容,缺乏对学生的概念本质的形成的相应指导. 有的教师由于自身的知识结构问题,自身对它的理解也不够. 故作为教师,更要不断地扩展和更新自身的知识结构,只有具备了好的数学素养,才能培养出高素质的学生.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】 函数周期性 理解 高中数学 调查
一、问题的提出
函数是高中数学的主线，是每年高考必考查的重点内容之一，函数的周期性问题在历年高考中屡见不鲜，备受命题者青睐. 而要学生灵活地运用周期性，首先要弄清其基本概念. 恩格斯曾说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系，概念学习在数学学习中占有极其重要的地位，而对数学概念理解不清或运用不恰当往往是导致学生数学素质不能提高的直接原因. ”学生对函数周期性的概念理解到什么程度，对概念的认知存在哪些误区，引起理解偏差的原因是什么，这些问题的研究将为教师对概念的有效教学提供理论依据. 二、研究方法
（一） 问卷调查设计
针对平时学生作业和测试中最容易错误的地方，设计三道考查学生对周期性概念理解的问题：
① 等式sin+ 2π = sin 成立，则２π是ｙ ＝ sin的周期吗？为什么？
目的是考查在周期性概念中对定义域内每一个ｘ的值加非零常数Ｔ有ｆ（ｘ ＋ Ｔ） ＝ ｆ（ｘ），不是对定义域中的ωｘ的值加非零常数Ｔ有ｆ（ωｘ ＋ Ｔ） ＝ ｆ（ωｘ）.
② ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ（０ ≤ ｘ ≤ ８）是周期函数吗？为什么？
考查学生能否理解周期性概念中隐含的ｘ∈Ｄ，ｘ ＋ Ｔ∈Ｄ进而有ｘ ＋ ｎｔ∈Ｄ，即周期函数的定义域至少一端无界.
③ 由ｙ ＝ ｘ －［ｘ］（ｘ∈［－３，３］）的图像判别ｙ ＝ ｘ － ［ｘ］是否为周期函数？为什么？ 若学生明确了周期函数的定义域至少一端为无界，即可由ｘ∈［－３，３］判断其不是周期函数，另外还想了解学生头脑中关于函数图像的重复出现与函数周期性的关系. （二） 调查对象情况
我对浙江省乐清市三所高中一年级 两个层次６个班共３０４名学生进行了问卷测试. 这三所学校高一年级都是按学生成绩从高到低分班的. 分重点班、普通班两个层次，每班４０到５０多人不等，在每个学校的不同班级类型中，我各随机选取了一个班级，而且是不同数学老师的教学班，这样便于从教学的角度发现问题，表１显示了班级人数和有效试卷的情况.
其中,有效试卷是指试卷回答在五个题目及以上的. 对于试题回答不足一半的,也就是完成的题目少于等于四个的,视为无效试卷. 有个别学生虽参加了测试但没有交卷,他们的试卷也被视为无效试卷.
三､学生对函数周期性概念的理解情况和分析
1. 学生对周期性概念中f(x+T) = f(x)的理解很不到位
在测试题的第1小问中有249人进行了回答,其中202人回答正确,里面有178人回答正确的理由是对y = sin而言,它的最小正周期为T == 6π,与y = sin x的最小正周期2π不同,故2π不是y = sin的周期. 说明在学生头脑中对y = Asin(ωx + ψ)的周期求法很熟悉,而在乐中的重点班中有11名同学能够用反证法说明2π不是y = sin的周期,有极个别学生指出f(x+T) = f(x)是对单个x而言,而不是对ωx而言. 具体情况见表2:
① 在所有回答正确且有理由的人中,理由如:对y = sin而言,T = = 6π,所以2π不是y = sin的周期,乐清中学重点班有30人,占60 %;乐清中学普通班有35人,占69 %;温教院附中重点班有17人,占41 %;附中普通班有13人,占57 %.
这说明学生对形如y = Asin(ωx + ψ)的周期求法非常熟练,但这些学生只是从通过求出最小正周期进行对比,不能从f(x+T) = f(x)的本质上去看问题,即这里的T是针对定义域中的x而非ωx.
② 用反证法来说明2π不是y = sin的周期.
乐清中学重点班有11人采用上述理由,占整个有效试卷的4 %,其他学校无人能这样解答. 这11名学生用反证法说明了2π不是y = sin的周期,真正理解了f(x+T) = f(x)的含义.
③ 有16人回答正确,但理由错误,大部分是如下的解答:
(1)等式sin+ 2π = sin 成立,则2π是y = sin的周期吗?为什么?
解:不是. 因为sin+ 2π = sin x +π , 所以y = sin 的同期为 π.
其中乐清中学普通班有2人,占4%,乐清二中重点班有2人,占4 %. 温教院附中重点班有9人,占22%,附中普通班有1人,占4 %.
这14人知道f(x+T) = f(x)中的T是针对x的,但是错把sin + 2π写成sin + 得出 是它的周期.
在35种错误回答中,其理由也五花八门.
例如:无论x取何值,sin + 2π= sin,所以2π是y = sin的周期. 再如:只要是2的倍数就是函数的周期,等等.
可见,有35人,占14 %,对周期概念有错误的理解,只是凭记忆中的依稀映象和片言只语进行阐述.
2. 学生对周期函数的定义域理解不到位
在第二问的测试中只有129人判断正确,其中判断正确的且理由也正确的共有76人,占31 %,76人中大部分同学例举了一个反例来说明y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)在有界取值范围内不具有周期性,有个别通过画图像来说明不具有周期性.
另外,有120人判断错误,其中错误理由最多的是y = sinx本身是一个周期函数,其与定义域无关.
有139人判断正确但理由错误:y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)定义域不关于原点对称和认为T = 2π = 6.28,0 ≤ x ≤ 8,故y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)不是周期函数,也占了不少比例,而有个别学生认为只有y = Asin(ωx + ψ)才为周期函数.
从卷面的调查可知,学生头脑中认为函数周期性与函数定义域有关的人少之又少,绝大部分学生抛开定义域来谈函数周期性. 详见表3:
① 在76个判断正确的且理由也正确的人中,有如下的解法:
(2) y = sin x(0 ≤ x≤8)是周期函数吗?为什么?
不是. 当x = 8时,y = sin 8,f(x + 2π) = sin(8 + 2π),因为8 + 2π取不到,所以不是.
乐清中学重点班29人,占58 %,乐清中学普通班9人,占18 %,乐清二中重点13人,占28 %,乐清二中普通班12人,占32 %,温教院附中重点班38人,占 93 %,温教院附中普通班2人,占 9 %. 他们通过举反例来验证y = sin x(0 ≤ x ≤ 8)不是周期函数,是判断正确的学生中的大部分人的想法,他们能清楚f(x+T) = f(x)的含义,当x取[0,8]内的8时,发现8 + 2π?埸 [0,8],或x取[0,8]上的π时,由f(π) = f(3π),但3π ?埸[0,8],从而得出了正确判断.
另有5人通过画图,发现y = sin x在[0,8]上不呈周期变化,从而不为周期函数.
② 在120个回答错误的学生中错误理由最多的是y = sin x本身是一个周期函数,每隔2π会出现相同的y值,与定义域无关,它的周期性不受自变量取值范围的影响. 类似此理由的,乐清中学重点班9人,占18 %,乐清中学普通班20人,占39 %,乐清二中重点班20人,占43 %,乐清二中普通班11人,占29 %,温教院附中重点班20人,占48 %,温教院附中普通班18人,占78 %.
可见,大多数学生离开了定义域而谈函数的周期性,认为y = sinx就是周期函数,不管x有何范围限定,这一方面与教师对定义域的讲解有关,另一方面与教科书上的习题编拟也有关.
可见,学生对周期性概念中的定义域的理解不到位是非常严重的,从表上也可知,越是普通中学,学生对它的理解越不到位.
3. 学生头脑中函数图像重复出现与函数周期的关系
在249人中只有87人判断正确,判断正确的21人认为:该函数定义域为[-3,3],当x = 3时,不满足题意,从而y = x-[x](-3 ≤ x ≤ 3)不是周期函数.
有54人说理错误,他们中大部分人从图像上认为周期函数的图像应是连续不断的曲线,而不能是间断的,这与教科书把周期函数放在正余弦函数后面讲有关,由于正余弦函数的图像是连续的,给学生造成了错觉,以为所有的周期函数图像必须连续,个别同学认为这个函数图像无对称轴,不是周期函数,这可能与函数的奇偶性相混淆.
有162人判断错误,他们中大部分人认为这个函数的图像是呈周期变化,有的说函数值重复出现,在这些学生头脑中周期函数的图像必是重复出现或图像重复出现的函数必是周期函数,详见表4分析.
① 回答正确且理由也正确的人共有21人,占8.4 %,他们的理由如下:若因为周期函数满足f(x + T) = f(x),该函数定义域为[-3,3],当x = 3时,不满足. 这21人分别为乐清中学重点班15人,乐清二中重点班8人,其他学生全答错.
② 回答正确但理由错误的有66人,他们认为:因为图像不是连续的,这个函数为分段函数,中间有间隔,所以这个函数不是周期函数,持这种观点的学生分布情况:
乐清中学重点班6人,占12 %,乐清中学普通班9人,占18 %,乐清二中重点班6人,占13 %,乐清二中普通班10人,占26 %,温教院附中重点班8人,占 20 %,温教院附中普通班3人,占13 %.
③ 在判断错误的人中,认为表中图像周而复始,重复出现,所以它是周期函数的分布情况:
乐清中学普通班24人,占47 %,乐清二中重点班20人,占43 %,乐清二中普通班16人,占42,温教院附中重点班28人,占68 %,温教院附中普通班20人,占87 %.
这一部分学生仅从表中看出有一部分图像重复出现就认为它是周期函数,且人数众多. 其他判断错误的理由五花八门,有的认为周期函数要有A,ω,T,有的认为它的图像不关于对称轴对称,等等,从而判断y = x -[x](x∈[-3,3])不是周期函数.
可见大部分学生头脑中认为函数周期性就是它的图像重复出现,函数图像重复出现的就是周期函数. 这种观点有可能来自于老师的片面教学,而老师也有可能受某些教学参考用书的影响,以讹传讹.
四､主要结论
总的来说,学生在函数周期性的概念理解上存在很多问题,他们对定义中的核心词没能引起充分的重视,对概念的理解浮于表面. 在函数周期性概念中包含着几个关键词,如对?坌x∈D,都有f(x+T) = f(x),则隐含着x+ T∈D,x + 2T∈D,…,x+nT∈D,故周期函数的定义域必为一端无界. 而从调查情况来看,约50 %学生居然认为一个函数是否为周期函数与其定义域无关;对于f(x+T) = f(x)的理解也很模糊,极个别学生能认识到对单个x而言,x+T与x的函数值相同,而非ωx+T,但事实上相当一部分的学生都犯了这样的错,即不明确是哪个变量加上T,而对于f(x+T) = f(x)的解释则是x每间隔T个单位,函数值重复出现,大部分学生将此理解为周期函数的图像必是连续不断的,至于函数图像重复出现只是周期函数的偶有属性更无人知晓.
五､对教学的建议
(一) 讲解清楚函数周期性的概念的本质,培养学生的思维
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式,它具有相对独立性. 概念的学习有两种基本形式,一是概念形成,二是概念同化. 周期性概念对学生来说是一个新的而且有相当难度的概念,在学生已有知识结构中,还没有相关的周期性的知识经验可以借鉴. 因此这部分知识的教学对教师来讲也是难点,但是还是可以采用概念形成的教学方式,逐步突破学生在概念学习中的难点.
1. 重视概念形成过程
教师可以从正余弦函数的图像出发,数形结合,首先让学生去直观感知周期函数的图像特点,在此基础上,举出大量具有周期性的函数图像,其中有三角函数,也有一般函数,图像有连续不断的,也有分段的,让学生通过观察归纳出周期函数的共同特征即本质属性. 从而引出函数周期性的概念.
2. 重视概念辨析过程
概念初步形成以后,教师可以举一些周期和非周期函数对学生进行概念辨析,进一步加深对概念本质的理解. 如举一些函数定义域是有限区间,问学生是否是周期函数,或如sin+ = sin ,能否说是sin x的周期?在辨析过程中学生会逐渐完善对概念的理解. 同时也可以消除学生头脑中的周期函数的图像必须连续不断,一个函数是否是周期函数与定义域无关等错误理解.
3. 重视用定义求解最小正周期
通常教师比较重视用公式求解三角函数的最小正周期. 而用周期性定义去求最小正周期书写上比较麻烦,很多教师仅仅一带而过. 但是,在初学定义后,引导学生多采用定义去求最小正周期可以帮助学生很好地理解f(x+T) = f(x)中的T是对x而言的,不是对ωx的值加非零常数T有f(ωx + T) = f(ωx).
教师要有长远眼光,以发展学生的思维为己任. 从测试调查过程中,笔者明显感觉到很多教师和学生对这部分知识仅局限于求简单的三角函数的周期,教师对课程的安排仅仅是完成教学内容,缺乏对学生的概念本质的形成的相应指导. 有的教师由于自身的知识结构问题,自身对它的理解也不够. 故作为教师,更要不断地扩展和更新自身的知识结构,只有具备了好的数学素养,才能培养出高素质的学生.
其中,有效试卷是指试卷回答在五个题目及以上的. 对于试题回答不足一半的,也就是完成的题目少于等于四个的,视为无效试卷. 有个别学生虽参加了测试但没有交卷,他们的试卷也被视为无效试卷.
三､学生对函数周期性概念的理解情况和分析
1. 学生对周期性概念中f(x+T) = f(x)的理解很不到位
在测试题的第1小问中有249人进行了回答,其中202人回答正确,里面有178人回答正确的理由是对y = sin而言,它的最小正周期为T == 6π,与y = sin x的最小正周期2π不同,故2π不是y = sin的周期. 说明在学生头脑中对y = Asin(ωx + ψ)的周期求法很熟悉,而在乐中的重点班中有11名同学能够用反证法说明2π不是y = sin的周期,有极个别学生指出f(x+T) = f(x)是对单个x而言,而不是对ωx而言. 具体情况见表2:
① 在所有回答正确且有理由的人中,理由如:对y = sin而言,T = = 6π,所以2π不是y = sin的周期,乐清中学重点班有30人,占60 %;乐清中学普通班有35人,占69 %;温教院附中重点班有17人,占41 %;附中普通班有13人,占57 %.
这说明学生对形如y = Asin(ωx + ψ)的周期求法非常熟练,但这些学生只是从通过求出最小正周期进行对比,不能从f(x+T) = f(x)的本质上去看问题,即这里的T是针对定义域中的x而非ωx.
② 用反证法来说明2π不是y = sin的周期.
乐清中学重点班有11人采用上述理由,占整个有效试卷的4 %,其他学校无人能这样解答. 这11名学生用反证法说明了2π不是y = sin的周期,真正理解了f(x+T) = f(x)的含义.
③ 有16人回答正确,但理由错误,大部分是如下的解答:
(1)等式sin+ 2π = sin 成立,则2π是y = sin的周期吗?为什么?
解:不是. 因为sin+ 2π = sin x +π , 所以y = sin 的同期为 π.
其中乐清中学普通班有2人,占4%,乐清二中重点班有2人,占4 %. 温教院附中重点班有9人,占22%,附中普通班有1人,占4 %.
这14人知道f(x+T) = f(x)中的T是针对x的,但是错把sin + 2π写成sin + 得出 是它的周期.
在35种错误回答中,其理由也五花八门.
例如:无论x取何值,sin + 2π= sin,所以2π是y = sin的周期. 再如:只要是2的倍数就是函数的周期,等等.
可见,有35人,占14 %,对周期概念有错误的理解,只是凭记忆中的依稀映象和片言只语进行阐述.
2. 学生对周期函数的定义域理解不到位
在第二问的测试中只有129人判断正确,其中判断正确的且理由也正确的共有76人,占31 %,76人中大部分同学例举了一个反例来说明y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)在有界取值范围内不具有周期性,有个别通过画图像来说明不具有周期性.
另外,有120人判断错误,其中错误理由最多的是y = sinx本身是一个周期函数,其与定义域无关.
有139人判断正确但理由错误:y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)定义域不关于原点对称和认为T = 2π = 6.28,0 ≤ x ≤ 8,故y = sinx(0 ≤ x ≤ 8)不是周期函数,也占了不少比例,而有个别学生认为只有y = Asin(ωx + ψ)才为周期函数.
从卷面的调查可知,学生头脑中认为函数周期性与函数定义域有关的人少之又少,绝大部分学生抛开定义域来谈函数周期性. 详见表3:
① 在76个判断正确的且理由也正确的人中,有如下的解法:
(2) y = sin x(0 ≤ x≤8)是周期函数吗?为什么?
不是. 当x = 8时,y = sin 8,f(x + 2π) = sin(8 + 2π),因为8 + 2π取不到,所以不是.
乐清中学重点班29人,占58 %,乐清中学普通班9人,占18 %,乐清二中重点13人,占28 %,乐清二中普通班12人,占32 %,温教院附中重点班38人,占 93 %,温教院附中普通班2人,占 9 %. 他们通过举反例来验证y = sin x(0 ≤ x ≤ 8)不是周期函数,是判断正确的学生中的大部分人的想法,他们能清楚f(x+T) = f(x)的含义,当x取[0,8]内的8时,发现8 + 2π?埸 [0,8],或x取[0,8]上的π时,由f(π) = f(3π),但3π ?埸[0,8],从而得出了正确判断.
另有5人通过画图,发现y = sin x在[0,8]上不呈周期变化,从而不为周期函数.
② 在120个回答错误的学生中错误理由最多的是y = sin x本身是一个周期函数,每隔2π会出现相同的y值,与定义域无关,它的周期性不受自变量取值范围的影响. 类似此理由的,乐清中学重点班9人,占18 %,乐清中学普通班20人,占39 %,乐清二中重点班20人,占43 %,乐清二中普通班11人,占29 %,温教院附中重点班20人,占48 %,温教院附中普通班18人,占78 %.
可见,大多数学生离开了定义域而谈函数的周期性,认为y = sinx就是周期函数,不管x有何范围限定,这一方面与教师对定义域的讲解有关,另一方面与教科书上的习题编拟也有关.
可见,学生对周期性概念中的定义域的理解不到位是非常严重的,从表上也可知,越是普通中学,学生对它的理解越不到位.
3. 学生头脑中函数图像重复出现与函数周期的关系
在249人中只有87人判断正确,判断正确的21人认为:该函数定义域为[-3,3],当x = 3时,不满足题意,从而y = x-[x](-3 ≤ x ≤ 3)不是周期函数.
有54人说理错误,他们中大部分人从图像上认为周期函数的图像应是连续不断的曲线,而不能是间断的,这与教科书把周期函数放在正余弦函数后面讲有关,由于正余弦函数的图像是连续的,给学生造成了错觉,以为所有的周期函数图像必须连续,个别同学认为这个函数图像无对称轴,不是周期函数,这可能与函数的奇偶性相混淆.
有162人判断错误,他们中大部分人认为这个函数的图像是呈周期变化,有的说函数值重复出现,在这些学生头脑中周期函数的图像必是重复出现或图像重复出现的函数必是周期函数,详见表4分析.
① 回答正确且理由也正确的人共有21人,占8.4 %,他们的理由如下:若因为周期函数满足f(x + T) = f(x),该函数定义域为[-3,3],当x = 3时,不满足. 这21人分别为乐清中学重点班15人,乐清二中重点班8人,其他学生全答错.
② 回答正确但理由错误的有66人,他们认为:因为图像不是连续的,这个函数为分段函数,中间有间隔,所以这个函数不是周期函数,持这种观点的学生分布情况:
乐清中学重点班6人,占12 %,乐清中学普通班9人,占18 %,乐清二中重点班6人,占13 %,乐清二中普通班10人,占26 %,温教院附中重点班8人,占 20 %,温教院附中普通班3人,占13 %.
③ 在判断错误的人中,认为表中图像周而复始,重复出现,所以它是周期函数的分布情况:
乐清中学普通班24人,占47 %,乐清二中重点班20人,占43 %,乐清二中普通班16人,占42,温教院附中重点班28人,占68 %,温教院附中普通班20人,占87 %.
这一部分学生仅从表中看出有一部分图像重复出现就认为它是周期函数,且人数众多. 其他判断错误的理由五花八门,有的认为周期函数要有A,ω,T,有的认为它的图像不关于对称轴对称,等等,从而判断y = x -[x](x∈[-3,3])不是周期函数.
可见大部分学生头脑中认为函数周期性就是它的图像重复出现,函数图像重复出现的就是周期函数. 这种观点有可能来自于老师的片面教学,而老师也有可能受某些教学参考用书的影响,以讹传讹.
四､主要结论
总的来说,学生在函数周期性的概念理解上存在很多问题,他们对定义中的核心词没能引起充分的重视,对概念的理解浮于表面. 在函数周期性概念中包含着几个关键词,如对?坌x∈D,都有f(x+T) = f(x),则隐含着x+ T∈D,x + 2T∈D,…,x+nT∈D,故周期函数的定义域必为一端无界. 而从调查情况来看,约50 %学生居然认为一个函数是否为周期函数与其定义域无关;对于f(x+T) = f(x)的理解也很模糊,极个别学生能认识到对单个x而言,x+T与x的函数值相同,而非ωx+T,但事实上相当一部分的学生都犯了这样的错,即不明确是哪个变量加上T,而对于f(x+T) = f(x)的解释则是x每间隔T个单位,函数值重复出现,大部分学生将此理解为周期函数的图像必是连续不断的,至于函数图像重复出现只是周期函数的偶有属性更无人知晓.
五､对教学的建议
(一) 讲解清楚函数周期性的概念的本质,培养学生的思维
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式,它具有相对独立性. 概念的学习有两种基本形式,一是概念形成,二是概念同化. 周期性概念对学生来说是一个新的而且有相当难度的概念,在学生已有知识结构中,还没有相关的周期性的知识经验可以借鉴. 因此这部分知识的教学对教师来讲也是难点,但是还是可以采用概念形成的教学方式,逐步突破学生在概念学习中的难点.
1. 重视概念形成过程
教师可以从正余弦函数的图像出发,数形结合,首先让学生去直观感知周期函数的图像特点,在此基础上,举出大量具有周期性的函数图像,其中有三角函数,也有一般函数,图像有连续不断的,也有分段的,让学生通过观察归纳出周期函数的共同特征即本质属性. 从而引出函数周期性的概念.
2. 重视概念辨析过程
概念初步形成以后,教师可以举一些周期和非周期函数对学生进行概念辨析,进一步加深对概念本质的理解. 如举一些函数定义域是有限区间,问学生是否是周期函数,或如sin+ = sin ,能否说是sin x的周期?在辨析过程中学生会逐渐完善对概念的理解. 同时也可以消除学生头脑中的周期函数的图像必须连续不断,一个函数是否是周期函数与定义域无关等错误理解.
3. 重视用定义求解最小正周期
通常教师比较重视用公式求解三角函数的最小正周期. 而用周期性定义去求最小正周期书写上比较麻烦,很多教师仅仅一带而过. 但是,在初学定义后,引导学生多采用定义去求最小正周期可以帮助学生很好地理解f(x+T) = f(x)中的T是对x而言的,不是对ωx的值加非零常数T有f(ωx + T) = f(ωx).
教师要有长远眼光,以发展学生的思维为己任. 从测试调查过程中,笔者明显感觉到很多教师和学生对这部分知识仅局限于求简单的三角函数的周期,教师对课程的安排仅仅是完成教学内容,缺乏对学生的概念本质的形成的相应指导. 有的教师由于自身的知识结构问题,自身对它的理解也不够. 故作为教师,更要不断地扩展和更新自身的知识结构,只有具备了好的数学素养,才能培养出高素质的学生.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”