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【摘 要】基于考虑输电导线垂向和扭转振动耦合的两自由度模型，利用多尺度法，分别就系统参数和环境参数对临界风速的影响进行了理论分析。利用临解的稳定性条件，得到了覆冰厚度、初始覆冰角度、来流密度、导线的初始张力和单位长度质量以及横向阻尼比对临界风速的影响曲线。
【关键词】输电导线；舞动；二自由度模型
前言
输电导线舞动是偏心覆冰导线在风激励下产生的一种低频、大振幅自激振动。导线舞动不仅会引起杆塔、导线、金具及部件的损害，还会造成线路频繁跳闸与停电，因此对输电线路的安全运行危害很大[1，2]。从20世纪30年代开始，一些舞动发生频繁、危害严重的国家，如加拿大、日本、前苏联、美国等。就投入了大量的人力、物力、财力，借助风洞、舞动实验线路及实际运行线路，并结合理论分析，对其进行了广泛的研究[3，4]。在理论分析方面，舞动的分析模型包括基于Den Hartog垂直振动机理的单自由度模型[5]、基于Nigol扭转振动机理的二自由度模型和基于P.Yu偏心惯性耦合失稳机理的三自由度模型[6-10]。而随着计算机和有限元技术的发展，人们相继提出了三自由度的有限元模型[11-14]。
一、导线舞动的特点
（1）依靠导线、风相互耦合而维持的稳态周期运动。风的激励作为能量的外界补充，在一段时间内， 风速、风向等是基本稳定的，因此能源是相对恒定的， 导线系统以自己的运动状态作为调节器， 以控制能量的输入，该自振系统如图1所示。当输入的能量与耗散的能量达到平衡时， 系统维持等幅振动。
图1
（2）舞动的频率和振幅均由系统的物理参数确定， 与初始条件无关。即舞动频率和振幅取决于导线系统的固有参数及覆冰情况。
（3） 由于舞动是非线性自激振动， 其稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系。在起始阶段， 输入的能量大于耗散的能量， 系统失稳并产生振动， 多余的能量将会使系统的振幅不断增大， 但由于系统的非线性， 振幅并不会无限增大， 最终会趋于一个极限值，而舞动时导线张力的变化与舞动振幅直接相关， 振幅趋于稳定， 导线张力的变化也会趋于与之相对应的极限值。
二、导线舞动的原因
（1）力学因素
导线迎风表面覆冰增加，改变了导线的外形，从而在风力的作用下，产生了升力和扭矩，有一定柔性的导线便像拉皮筋一样产生了越来越大的舞动，导线的整体运动会造成扭转更强烈的情况。
（2）覆冰
线路覆冰是舞动的必要条件之一。覆冰多发生在风作用下的雨凇及湿雪堆积于导线的气候条件下。导线覆冰与降水形成及降水量有直接关系，而又与温度的变化密切相关，常发生在先雨后雪，气温骤降（有零上降至零下）情况下，且导线覆冰不均匀，形成所谓的新月形、扇形、D形等不规则形状，冰厚从几毫米到几十毫米（最后可达50mm），此时，导线便有了比较好的空气动力性能，在风的激励下会诱发舞动。
（3）风的激励
舞动离不开风的激励。冬季及初春季节里，冷暖气流的交汇易引起较强的风力。在地势平坦、开阔及风口地区的输电线路，当导线覆冰、风速为4～20m/s，风向与线路走向的夹角不小于45°，导线已发生舞动。
（4）线路结构及参数条件
线路的结构和参数也是形成舞动的重要因素之一。从国内外的统计资料来看，在相同环境、气象条件下，分裂导线要比单导线易产生舞动。随着用电需求的增长、电网建设力度的增强，我国电网建设已明显呈现多分裂、大面积的发展趋势，进而加剧了舞动的可能性。
（5）地形与地势的影响
根据国内外统计资料显示，导线舞动多发生在平原开阔地区。因为与山区或丘陵地区相比，平原、开阔地区无论从风速还是空气的流态来讲，都更有利于舞动的形成。通过气流对导线作用的分析可以看出，不规则的气流对导线的空气动力荷载，将会有一定程度上的相互抵消，而不及同一方向的气流所造成的空气动力荷载相互叠加塔。所以，线塔越高，不仅风速愈大，其机理状态也愈严重。
三、数学建模分析
考虑输电线振动形式的不同，建立了两种类型的数学模型，并分别对数学模型进行了分析。
1. 覆冰输电线横向自激振动的建模及分析
驰振是由于流体以较高速度流过非圆断面的结构物表面所引起的一种自激振动。为便于分析，这里不考虑扭转振动及湍流风对输电导线振动的影响，把来流视为稳定恒速的均匀风。截取一小段电线为集中质量，以输电线段静平衡位置的质心O为原点，建立坐标系Oxy，质心C的垂直坐标为y，如图1所示。
图1 输电线的受力图
设为线段的质量，线段两端拉力合成的弹性恢复力的刚度系数为，输电线段在水平风力作用下，沿y轴运动的非线性动力学方程为：
式中小参数，，派生系统的固有频率，这就是典型的瑞利方程。
2. 考虑扭转耦合的输电线舞动的数学建模分析
在DenHartog机理和O.Nigol机理的基础上，根据牛顿运动定律和达朗贝尔原理建立扭转耦合的二自由度输电线动力学模型。通过惯性项解耦，泰勒展开等步骤将其转换为标准的非线性动力学模型。
对于覆冰电线，一般来说截面质心和转动中心不重合，因此用偏心模型来研究输电线舞动更符合实际，尤其当输电线覆冰很重时更应该采用偏心模型。该模型如图2：
图2偏心覆冰输电导线截面
基于牛顿运动定律和达朗贝尔原理，上图所示有偏心振动模型可以用如下常微分方程组描述：
上式中，，：横向振动阻尼系数，；
：扭转振动阻尼系数，；，其中A表示覆冰输电线截面。
风荷载沿y轴的分量为：
空气动力产生的扭矩为：
其中：和分别是垂向和扭转方向的空气动力系数；为导线长度；
本文首先简述了针对于导致输电线舞动的特点及原因，基于力学模型分析，建立二自由度的舞动模型，通过对该二自由度舞动模型的数学描述方程的推导与解析，得到舞动的零解的稳定性边界条件。
【关键词】输电导线；舞动；二自由度模型
前言
输电导线舞动是偏心覆冰导线在风激励下产生的一种低频、大振幅自激振动。导线舞动不仅会引起杆塔、导线、金具及部件的损害，还会造成线路频繁跳闸与停电，因此对输电线路的安全运行危害很大[1，2]。从20世纪30年代开始，一些舞动发生频繁、危害严重的国家，如加拿大、日本、前苏联、美国等。就投入了大量的人力、物力、财力，借助风洞、舞动实验线路及实际运行线路，并结合理论分析，对其进行了广泛的研究[3，4]。在理论分析方面，舞动的分析模型包括基于Den Hartog垂直振动机理的单自由度模型[5]、基于Nigol扭转振动机理的二自由度模型和基于P.Yu偏心惯性耦合失稳机理的三自由度模型[6-10]。而随着计算机和有限元技术的发展，人们相继提出了三自由度的有限元模型[11-14]。
一、导线舞动的特点
（1）依靠导线、风相互耦合而维持的稳态周期运动。风的激励作为能量的外界补充，在一段时间内， 风速、风向等是基本稳定的，因此能源是相对恒定的， 导线系统以自己的运动状态作为调节器， 以控制能量的输入，该自振系统如图1所示。当输入的能量与耗散的能量达到平衡时， 系统维持等幅振动。
图1
（2）舞动的频率和振幅均由系统的物理参数确定， 与初始条件无关。即舞动频率和振幅取决于导线系统的固有参数及覆冰情况。
（3） 由于舞动是非线性自激振动， 其稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系。在起始阶段， 输入的能量大于耗散的能量， 系统失稳并产生振动， 多余的能量将会使系统的振幅不断增大， 但由于系统的非线性， 振幅并不会无限增大， 最终会趋于一个极限值，而舞动时导线张力的变化与舞动振幅直接相关， 振幅趋于稳定， 导线张力的变化也会趋于与之相对应的极限值。
二、导线舞动的原因
（1）力学因素
导线迎风表面覆冰增加，改变了导线的外形，从而在风力的作用下，产生了升力和扭矩，有一定柔性的导线便像拉皮筋一样产生了越来越大的舞动，导线的整体运动会造成扭转更强烈的情况。
（2）覆冰
线路覆冰是舞动的必要条件之一。覆冰多发生在风作用下的雨凇及湿雪堆积于导线的气候条件下。导线覆冰与降水形成及降水量有直接关系，而又与温度的变化密切相关，常发生在先雨后雪，气温骤降（有零上降至零下）情况下，且导线覆冰不均匀，形成所谓的新月形、扇形、D形等不规则形状，冰厚从几毫米到几十毫米（最后可达50mm），此时，导线便有了比较好的空气动力性能，在风的激励下会诱发舞动。
（3）风的激励
舞动离不开风的激励。冬季及初春季节里，冷暖气流的交汇易引起较强的风力。在地势平坦、开阔及风口地区的输电线路，当导线覆冰、风速为4～20m/s，风向与线路走向的夹角不小于45°，导线已发生舞动。
（4）线路结构及参数条件
线路的结构和参数也是形成舞动的重要因素之一。从国内外的统计资料来看，在相同环境、气象条件下，分裂导线要比单导线易产生舞动。随着用电需求的增长、电网建设力度的增强，我国电网建设已明显呈现多分裂、大面积的发展趋势，进而加剧了舞动的可能性。
（5）地形与地势的影响
根据国内外统计资料显示，导线舞动多发生在平原开阔地区。因为与山区或丘陵地区相比，平原、开阔地区无论从风速还是空气的流态来讲，都更有利于舞动的形成。通过气流对导线作用的分析可以看出，不规则的气流对导线的空气动力荷载，将会有一定程度上的相互抵消，而不及同一方向的气流所造成的空气动力荷载相互叠加塔。所以，线塔越高，不仅风速愈大，其机理状态也愈严重。
三、数学建模分析
考虑输电线振动形式的不同，建立了两种类型的数学模型，并分别对数学模型进行了分析。
1. 覆冰输电线横向自激振动的建模及分析
驰振是由于流体以较高速度流过非圆断面的结构物表面所引起的一种自激振动。为便于分析，这里不考虑扭转振动及湍流风对输电导线振动的影响，把来流视为稳定恒速的均匀风。截取一小段电线为集中质量，以输电线段静平衡位置的质心O为原点，建立坐标系Oxy，质心C的垂直坐标为y，如图1所示。
图1 输电线的受力图
设为线段的质量，线段两端拉力合成的弹性恢复力的刚度系数为，输电线段在水平风力作用下，沿y轴运动的非线性动力学方程为：
式中小参数，，派生系统的固有频率，这就是典型的瑞利方程。
2. 考虑扭转耦合的输电线舞动的数学建模分析
在DenHartog机理和O.Nigol机理的基础上，根据牛顿运动定律和达朗贝尔原理建立扭转耦合的二自由度输电线动力学模型。通过惯性项解耦，泰勒展开等步骤将其转换为标准的非线性动力学模型。
对于覆冰电线，一般来说截面质心和转动中心不重合，因此用偏心模型来研究输电线舞动更符合实际，尤其当输电线覆冰很重时更应该采用偏心模型。该模型如图2：
图2偏心覆冰输电导线截面
基于牛顿运动定律和达朗贝尔原理，上图所示有偏心振动模型可以用如下常微分方程组描述：
上式中，，：横向振动阻尼系数，；
：扭转振动阻尼系数，；，其中A表示覆冰输电线截面。
风荷载沿y轴的分量为：
空气动力产生的扭矩为：
其中：和分别是垂向和扭转方向的空气动力系数；为导线长度；
本文首先简述了针对于导致输电线舞动的特点及原因，基于力学模型分析，建立二自由度的舞动模型，通过对该二自由度舞动模型的数学描述方程的推导与解析，得到舞动的零解的稳定性边界条件。