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摘 要:学习一些常用逻辑用语,可以使我们正确理解数学概念,合理论证数学结论,准确表达数学内容。在本文中笔者浅析常用逻辑用语中需要注意的几点:一、简单命题与复合命题的概念;二、“或”“且”“非”的逻辑意义与日常用语的区别;三、“或”“且”否定的区别; 四、多角度用定义法判定充分与必要条件;五、充要条件判定中渗透等价转化思想。
关键词:复合命题;研究教材;或且非;充要条件
中图分类号:G633.6
数学是一门逻辑性很强的学科,表述数学概念和结论,进行推理和论证,都要使用逻辑用语,学习一些常用逻辑用语,可以使我们正确理解数学概念,合理论证数学结论,准确表达数学内容。下文中笔者浅析常用常用逻辑用语教学中需要注意的几点。
一、简单命题与复合命题的概念
常见如下的概念:不含逻辑联结词(“或”,“且”“非”)的命题,叫做简单命题。由简单命题与逻辑联结词(“或”,“且”“非”)构成的命题叫做复合命题。这两个错误的概念,让学生误以为判定一个命题是简单命题还是复合命题,只要看有没有逻辑联结词(“或”,“且”“非”)就行,没有就是简单命题,有就是复合命题。
再次查阅相关逻辑学书籍。从语法上看,命题是能辩明真假的主谓陈述句,当它是只有一个主语和一个谓语的简单句时(否定式除外),称为简单命题 (或原子命题),简单命题不能再分解出更简单的陈述句。几个简单命题经逻辑联结词联结后所得的命题称复合命题。从命题的表现形式看,复合命题是用联结词将简单命题、或其主语、或其谓语联结而得。如:命题“2和3都是有理数”是“2是有理数”和“3是有理数”两个简单命题用“和”联结成的,而形式上仅是“和”联结的两个简单命题的主语。又如:命题“明天上午我去教室或者去图书馆”是“明天上午我去教室”和“明天上午我去图书馆”两个简单命题用“或”联结的,形式上是“或”联结的两个简单命题的谓语。再如命题:“四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形”是简单命题,因为其中的“且”是联结主语“四边形”的两个限制性定语“四条边相等”和“有一个角是直角”的,句子的主语和谓语都仅有一个。
通常在命题逻辑的学习中,教材列举的简单命题成分简单,且没有联结词,但不是所有的简单命题中都没有联结词,同样,形式上没有联结词的命题也可以是复合命题,如:复合命题“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”中就没有联结词,所以不能以有无联结词作为区分的绝对标准。我们需要根据联结词含义的严格规定,以及数学命题的意义和形式来进行合理把握,不能简单地根据命题在形式上有无表示联结词的字词,或者有表示哪个表示联结词的字词来判断,联结词的应用很广泛,即使命题中有联结词,还要具体看联结词联结的是什么。教材没有出现简单命题和复合命题的概念,但是诸多教辅上都给出如上的错误定义,容易引导学生得出错误的结论。教师只有在深入理解的基础上,才能更好地处理教材内容,对学生进行正确的引导。
二、“或”“且”“非”的逻辑意义与日常用语的区别
在生活用语中,我们也使用这些联结词,但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同,我们不能仅凭自己的经验来理解和处理简易逻辑中的或且非问题,请看下面两例。
例1:命题5≥3,很多学生从日常用语去理解它,5>3,怎么能5≥3呢?但是从逻辑意义上说是一个真命题,它表示5>3或5=3。
例2:x,y都是奇数从日常用语上说其否定是“x,y都不是奇数”。从简易逻辑的意义上说其否定包括三种可能“x是奇数,y不是奇数”,“x不是奇数,y是奇数” “x不是奇数,y不是奇数”, 所以其否定是“x,y都不是奇数”。
三、“或”“且”否定的区别
例3:写出命题:若xy=0,则x=0或y=0的否命题和逆否命题。
分析:x=0或y=0包括三种情况:x=0且y≠0,x≠0且y=0,x=0且y=0
所以x=0或y=0的否定是x≠0且y≠0。
解:否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0
逆否命题:若x≠0且y≠0,则xy≠0
例4:写出命题:“若x+y<0,xy>0,则x<0,y<0”的否命题和逆否命题。
分析:x+y<0,xy>0等价于x+y<0且xy>0。
解:否命题:若x+y≥0或xy≤0,则x≥0或y≥0
逆否命题:x≥0或y≥0,则x+y≥0或xy≤0
不少学生给出如上的错解,却不清楚错在哪里了。可见学生没有真正理解x+2≥0x-10≤0的含义是x≥-2且x≤10。
小结:对简易逻辑中“或”“且”的否定是本节内容的一个重点和难点,我们要在深入理解的基础上,记住命题中“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”。
四、多角度用定义判定充分与必要条件
例6:已知p:x>5 q:x>2,则p是q的什么条件?
分析:直接让学生利用定义判断,平行班部分学生存在困惑,不会解答。
解法一(生活实例):笔者是这样给学生举例说明的:已知一个孩子的年龄大于五岁,能不能说其年龄大于三岁呢?反之呢?这样例举学生容易理解,容易得出p是q的充分不必要条件。
解法二(数形结合):再次用数轴来解释,数形结合,形象直观。
变式训练1:下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:x-2≤3 q:0≤x≤5
(2)p:x=1 q:x-1=变式训练2:A=x|x满足条件p,B=x|x满足条件q
(1) 如果A?哿B,那么p是q的什么条件?
(2) 如果A?勐B,那么p是q的什么条件?
(3) 如果A=B,那么p是q的什么条件?
变式训练1是为了让学生进一步巩固用定义法判定充分与必要条件。训练2是让引导学生学生用韦恩图独立完成,通过这一道教材习题,学生能推导出用集合间的包含关系(集合法)判定充分必要条件的方法,之后还需要适当地强化。当然利用集合间的包含关系判断充要条件这一方法,学生在理解的基础上也需要牢记。
五、充要条件判定中渗透等价转化思想
充要条件也可以利用原命题与其逆否命题等价,逆命题与其否命题等价来判定,即等价转化。
例7:已知条件p:(x+1)2>4,条件q:x>a,且 充分而不必要条件,则a的取值范围是多少?
解法一(集合法):由已知得p:x>1或x<-3,q:x>a, ∴
,又∵ 充分而不必要条件,即 ∴ 真子集,∴ a的取值范围为
解法二(等价转化):由已知得p:x>1或x<-3,q:x>a, 是 的充分而不必要条件,即 , q是p的真子集,∴ a的取值范围为
变式练习:已知p: , ,若p
是q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围。
参考文献
[1]张爱民.简易逻辑中若干难点解析 [J].试题与研究,2010(18)
[2]房元霞,宋宝和.高中数学简易逻辑中几个概念的辨析及教学建议[J].数学教育学报, 2006,15(4)
关键词:复合命题;研究教材;或且非;充要条件
中图分类号:G633.6
数学是一门逻辑性很强的学科,表述数学概念和结论,进行推理和论证,都要使用逻辑用语,学习一些常用逻辑用语,可以使我们正确理解数学概念,合理论证数学结论,准确表达数学内容。下文中笔者浅析常用常用逻辑用语教学中需要注意的几点。
一、简单命题与复合命题的概念
常见如下的概念:不含逻辑联结词(“或”,“且”“非”)的命题,叫做简单命题。由简单命题与逻辑联结词(“或”,“且”“非”)构成的命题叫做复合命题。这两个错误的概念,让学生误以为判定一个命题是简单命题还是复合命题,只要看有没有逻辑联结词(“或”,“且”“非”)就行,没有就是简单命题,有就是复合命题。
再次查阅相关逻辑学书籍。从语法上看,命题是能辩明真假的主谓陈述句,当它是只有一个主语和一个谓语的简单句时(否定式除外),称为简单命题 (或原子命题),简单命题不能再分解出更简单的陈述句。几个简单命题经逻辑联结词联结后所得的命题称复合命题。从命题的表现形式看,复合命题是用联结词将简单命题、或其主语、或其谓语联结而得。如:命题“2和3都是有理数”是“2是有理数”和“3是有理数”两个简单命题用“和”联结成的,而形式上仅是“和”联结的两个简单命题的主语。又如:命题“明天上午我去教室或者去图书馆”是“明天上午我去教室”和“明天上午我去图书馆”两个简单命题用“或”联结的,形式上是“或”联结的两个简单命题的谓语。再如命题:“四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形”是简单命题,因为其中的“且”是联结主语“四边形”的两个限制性定语“四条边相等”和“有一个角是直角”的,句子的主语和谓语都仅有一个。
通常在命题逻辑的学习中,教材列举的简单命题成分简单,且没有联结词,但不是所有的简单命题中都没有联结词,同样,形式上没有联结词的命题也可以是复合命题,如:复合命题“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”中就没有联结词,所以不能以有无联结词作为区分的绝对标准。我们需要根据联结词含义的严格规定,以及数学命题的意义和形式来进行合理把握,不能简单地根据命题在形式上有无表示联结词的字词,或者有表示哪个表示联结词的字词来判断,联结词的应用很广泛,即使命题中有联结词,还要具体看联结词联结的是什么。教材没有出现简单命题和复合命题的概念,但是诸多教辅上都给出如上的错误定义,容易引导学生得出错误的结论。教师只有在深入理解的基础上,才能更好地处理教材内容,对学生进行正确的引导。
二、“或”“且”“非”的逻辑意义与日常用语的区别
在生活用语中,我们也使用这些联结词,但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同,我们不能仅凭自己的经验来理解和处理简易逻辑中的或且非问题,请看下面两例。
例1:命题5≥3,很多学生从日常用语去理解它,5>3,怎么能5≥3呢?但是从逻辑意义上说是一个真命题,它表示5>3或5=3。
例2:x,y都是奇数从日常用语上说其否定是“x,y都不是奇数”。从简易逻辑的意义上说其否定包括三种可能“x是奇数,y不是奇数”,“x不是奇数,y是奇数” “x不是奇数,y不是奇数”, 所以其否定是“x,y都不是奇数”。
三、“或”“且”否定的区别
例3:写出命题:若xy=0,则x=0或y=0的否命题和逆否命题。
分析:x=0或y=0包括三种情况:x=0且y≠0,x≠0且y=0,x=0且y=0
所以x=0或y=0的否定是x≠0且y≠0。
解:否命题:若xy≠0,则x≠0且y≠0
逆否命题:若x≠0且y≠0,则xy≠0
例4:写出命题:“若x+y<0,xy>0,则x<0,y<0”的否命题和逆否命题。
分析:x+y<0,xy>0等价于x+y<0且xy>0。
解:否命题:若x+y≥0或xy≤0,则x≥0或y≥0
逆否命题:x≥0或y≥0,则x+y≥0或xy≤0
不少学生给出如上的错解,却不清楚错在哪里了。可见学生没有真正理解x+2≥0x-10≤0的含义是x≥-2且x≤10。
小结:对简易逻辑中“或”“且”的否定是本节内容的一个重点和难点,我们要在深入理解的基础上,记住命题中“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”。
四、多角度用定义判定充分与必要条件
例6:已知p:x>5 q:x>2,则p是q的什么条件?
分析:直接让学生利用定义判断,平行班部分学生存在困惑,不会解答。
解法一(生活实例):笔者是这样给学生举例说明的:已知一个孩子的年龄大于五岁,能不能说其年龄大于三岁呢?反之呢?这样例举学生容易理解,容易得出p是q的充分不必要条件。
解法二(数形结合):再次用数轴来解释,数形结合,形象直观。
变式训练1:下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:x-2≤3 q:0≤x≤5
(2)p:x=1 q:x-1=变式训练2:A=x|x满足条件p,B=x|x满足条件q
(1) 如果A?哿B,那么p是q的什么条件?
(2) 如果A?勐B,那么p是q的什么条件?
(3) 如果A=B,那么p是q的什么条件?
变式训练1是为了让学生进一步巩固用定义法判定充分与必要条件。训练2是让引导学生学生用韦恩图独立完成,通过这一道教材习题,学生能推导出用集合间的包含关系(集合法)判定充分必要条件的方法,之后还需要适当地强化。当然利用集合间的包含关系判断充要条件这一方法,学生在理解的基础上也需要牢记。
五、充要条件判定中渗透等价转化思想
充要条件也可以利用原命题与其逆否命题等价,逆命题与其否命题等价来判定,即等价转化。
例7:已知条件p:(x+1)2>4,条件q:x>a,且 充分而不必要条件,则a的取值范围是多少?
解法一(集合法):由已知得p:x>1或x<-3,q:x>a, ∴
,又∵ 充分而不必要条件,即 ∴ 真子集,∴ a的取值范围为
解法二(等价转化):由已知得p:x>1或x<-3,q:x>a, 是 的充分而不必要条件,即 , q是p的真子集,∴ a的取值范围为
变式练习:已知p: , ,若p
是q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围。
参考文献
[1]张爱民.简易逻辑中若干难点解析 [J].试题与研究,2010(18)
[2]房元霞,宋宝和.高中数学简易逻辑中几个概念的辨析及教学建议[J].数学教育学报, 2006,15(4)