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摘 要：学生学习的主阵地在课堂，新时代课程改革下，教师要有新的课堂教学模式。本文以螺旋式上升式问题链的设计，以数学思想主导知识传授，以数学方法为灵魂构建的三大策略来进行深度课堂教学，提升学生研究数学的能力，培养学生的数学素养。
关键词：深度教学;高中数学课堂
高中数学课堂教学常因知识容量大，教学进度快，导致教学上在数学的概念、定义、法则上花费较少时间，由此导致两种后果，一是学生学习的知识呈碎片化，没有对教材知识的内容进行深层次的整合，系统掌握数学知识体系;二是学生学习上较为被动，满足于做题解题，没有建立起相关知识间横纵联系，缺乏探究能力，不会灵活运用知识。要在新的课程改革下做学生学习的领路人，教师需要进行有深度的课堂教学，不仅在传授知识上进行高效率的深度教学，更要教会学生用数学的思维分析世界。教师需以教材为纲，以数学思想方法为灵魂，通过对知识的有效加工，对高中涉及的数学思想方法进行有意渗透。教师构建有深度的课堂教学，才能传授学生以更高层次的眼界观察数学，以更宽广的思维处理数学问题，真正调动学生学习的积极性，使学生扎扎实实掌握数学学科知识，举一反三地运用数学知识解决问题。
一、以问题构建深度教学，培养学生思考的角度
教师如果在教学上只让学生读课本，做简单的概念分析，就不能引起学生对所学知识进行深度思考，更不能使学生感悟知识发生过程产生的魅力，学生也不会利用知识，丢失学生自主学习与探究的能力。孔子有云：“学而不思则罔，思而不学则殆。”好的问题，能开启学生研究数学的大门。有深度的数学课堂，教师要以有针对性、合理的、有梯度的问题设计，引领学生探究知识，激发学生求知欲，让学生更好地感悟知识发生过程的魅力，使学生探究步步为营，层层推进，掌握运用数学知识的正确途径。笔者在讲授“基本不等式”时，设计如下教学：
问题1：如何利用重要不等式：得到基本不等式;
问题2：观察与比较重要不等式与基本不等式，二者对自变量a，b的范围有何要求？
问题3：如何类比重要不等式证明来证明基本不等式？
学情是教学的基础，学生已经掌握了重要不等式，教师可通过问题1和问题2的启发与引导，让学生掌握类比法：把代入得到基本不等式，并思考二者的相同与不同点;进而通过问题3让学生掌握作差证明，再次建立起两个不等式的联系，使学生对基本不等式的理解进一步加深。
问题4：基本不等式能否等价转化为命题或？
问题5：运用基本不等式如何求解：已知x>0时，求的最小值？
问题6：如果根据，得出x=1时，等号成立是为了说明什么？
问题7：如果2是的一个取值，那么2会是的最小值吗？如果不是，那么还是求出最小值吗？
问题8：能利用基本不等式求出的最小值吗？如果不能，你能总结利用基本不等式求解函数最值的方法吗？
问题4至问题8是让学生真正了解和认识基本不等式，引领学生掌握基本不等式内涵，帮助学生以不同角度完善对基本不等式的理解。螺旋式上升式的问题链，是有深度的课堂教学的保障，有助于教师在课堂教学上帮助学生理清数学知识的重难点，让学生看到知识的发生、发展以及问题解决背后蕴含的价值;有助于启发学生产生问题意识;有助于学生掌握利用新旧知识的内在联系来分析解决问题;有助于学生掌握从不同角度看待和思考数学问题;有助于学生形成自己的学习习惯。
二、以数学思想方法为核心构建深度教学，提升学生思考的深度
数学的思想是数学的灵魂，其包含了让学生领悟并掌握数学基础知识、基本技能，学会用数学的眼光看待世界，学会用数学的方法解释世界。深度的数学课堂教学，不仅需要让学生抽离现象的本质，比如：看到对称，不仅会想到生活中常见的对称问题，更需要学会在数学中是如何定义对称的，并将之牢牢记住其本质特征。数学思想是学好数学的关键，但数学思想距离成为学生得心应手的工具，可能比预想的要差太远，这其中的关键原因是数学思想是对数学知识内容在更高层面上的理解，是知识体系中蕴含的宝藏，是需要挖掘的，是需要逐步推进的。因而，教师在数学思想方法的教学上，不能混为一谈，不能一味强调应用，需要心中对数学思想有较为深刻而独到的理解，进而将每种数学思想划分为几个层次，通过不断地渗透将之细化，达到一叶成林的效果。笔者为在椭圆定义中渗透数形结合思想，设计如下教学：
例1：如果平面内点到定点的距离为定值的点形成的轨迹是圆，那么平面内点P到两个定点F1，F2的距离之和为定值2a（a>0）的点会有轨迹吗？
教师利用几何画板后，再让学生讨论归纳出椭圆定义，并进一步探究如下例题：
例2：已知P（x，y）的x，y满足当a分别取时，能求出动点P（x，y）的轨迹吗？
例3：已知动圆P与圆相内切，与圆相外切，动点P（x，y）的轨迹是椭圆吗？
例4：已知点C2（-1，0）和圆，点M为圆C1的动点，线段MC2垂直平分线与MC1相交于点P，动点P（x，y）的轨迹是椭圆吗？
例5：如果点平面内点P到两个定点F1，F2的距离之积为定值，则动点P的轨迹会是椭圆吗？如果不是，你觉得动点P与两个定点F1、F2斜率乘积为定值，动点P的轨迹是椭圆吗？
回顾例2至例5，教师可使学生在不涉及椭圆方程的前提下，以数形结合思想为桥梁，让学生深刻理解椭圆的轨迹形成的各種途径，把抽象的椭圆定义具体化，把无形的椭圆定义形象化，让学生层层推进，步步为营掌握椭圆轨迹。高中的数学思想还有分类与整合，函数与方程等思想，不仅形式多样，内容丰富，而且运用广泛，灵活多变。教师不仅平时教学时要重视数学思想的渗透，更需要采用有效的教学形式如采用几何画板把思想直观化等，让枯燥的数学思想具现出来，让学生切实领悟数学思想，真正实现有深度的课堂教学。 三、以方法为灵魂构建深度教学，提升学生思维的深度
美国著名数学教育学家波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”高中的数学方法，狭义上是具体的方法如待定系数法等，广义上则是掌握处理问题的系统思路如圆锥曲线中的定点定值的求解方法等。有深度的课堂教学，教师需在渗透数学方法过程中让学生掌握数学方法的背景来源，需教会学生运用数学方法解决问题的思路，掌握处理复杂数学情境下运用数学方法解题的能力，进而提升学生的思维深度。笔者课堂上让学生探究圆与定点定值时，设计如下教学：
例1：已知点P与定点A（-3，0），B（3，0），满足求点P的轨迹方程？
例2：已知点P与定点A（-3，0），B（3，0），满足求点P的轨迹方程？
例3：已知点P（x，y），A（-c，0），B（c，0），若求点P的轨迹方程？
通过例1和例2，让学生探究得到：当λ=1时，点P的轨迹为线段AB垂直平分线;当λ≠1时，点P的轨迹为圆.通过铺垫后，让学生探究更一般的例3，挖掘出点P的轨迹方程：，即为定“圆”，也叫阿波罗斯圆。
例4：已知及点A（-2，0），是否在x轴上定点O2，满足：对于圆O1上的任意点P，都有成立，存在，求出点O2坐标，不存在，说明理由？
例5：已知及点A（-2，0），B（-6，-4）：点P在圆O1上求|PB|+2|PA|的最小值？
本节课堂教学以阿波罗斯圆为核心，以的比值展开探究，不仅渗透了研究定点定值的方法，而且通过例4和例5的变式探究，开拓了学生的数学思维。有深度的课堂教学，教师需让学生领略数学方法中蕴含的核心，需让学生体会多变的数学方法的本质。需用以点带面的策略来让学生认识数学方法，需用专题的方法来构建学生认识数学方法，需用系统性来提升学生处理知识的能力，培养学生适应现代生活应具有的数学素养。
四、以变式为纽带构建深度教学，提升学生思维视角
教师教授学生知识，容易产生碎片化特点，不容易形成系统性的方法，掌握不了那些具有深刻思维的知识点。教师需要在教学中以变式为驱动，引导学生探索某类问题的真谛，并借此引申至不同的方法，让学的知识更加深刻且富有创造性。笔者在深度教学中坚持从精心选题开始变式，做到層次丰富，既有区别又有联系，串联起一系列数学方法，让学生真正体会数学的美。笔者认为深度教学中，应根据题目本身所具有的难度，设置不同层次的变式，引发学生思考。例如：在函数极值点和函数值之间经常具有相关性，给数学知识披上迷人外衣的同时，让学生常常无法找到思路，变式的分层有助于学生逐步认知，提高分析能力。笔者复习课时，喜欢运用开放式试题进行复习，学生在学完知识之后，如以一个一个知识进行零散复习，不仅不利于学生养成学习数学的方法，更难培养学生自身独立创新的、整合知识的能力。笔者在高三复习导数极值和最值的公开课时，设置了开放的探究题：
例题：已知函数，你能根据函数的性质从易到难提出2～3个问题并证明吗？在课上，学生对于这类问题不适应，但根据学生做题经验，提出以下变式：
变式1：当a=1时，求函数f（x）的单调区间、极值、最值
变式2：如求函数f（x）的单调区间、极值、最值或求函数f（x）在[1，e]上的单调区间、极值、最值
变式3：存在满足，求证
变式4：若a>e时，且存在满足，求证：
深度课堂教学下的变式，教师需要学生能通过对函数的的认识并结合实践，对所学问题能进一步深入探究，总结彼此之间存在的关联。只有真正贯彻实施变式教学，才能让学生在深度课堂教学中，将学习的知识综合运用，举一反三，触类旁通，把思维推向更高的层次。
有深度的课堂教学，教师需要在平时的教学中潜移默化地渗透，需要教师具有深厚的知识宽度和深度，需在提高课堂知识深度和难度上把握好，要让学生得法于课堂，受益于课外;有深度的课堂教学，有助于学生欣赏数学蕴含的美，有助于学生领会知识蕴含的数学思维，有助于学生在纷繁复杂中找到解决问题的途径，带领学生走进广阔的数学天地，将数学的育人价值发挥最大作用。
关键词：深度教学;高中数学课堂
高中数学课堂教学常因知识容量大，教学进度快，导致教学上在数学的概念、定义、法则上花费较少时间，由此导致两种后果，一是学生学习的知识呈碎片化，没有对教材知识的内容进行深层次的整合，系统掌握数学知识体系;二是学生学习上较为被动，满足于做题解题，没有建立起相关知识间横纵联系，缺乏探究能力，不会灵活运用知识。要在新的课程改革下做学生学习的领路人，教师需要进行有深度的课堂教学，不仅在传授知识上进行高效率的深度教学，更要教会学生用数学的思维分析世界。教师需以教材为纲，以数学思想方法为灵魂，通过对知识的有效加工，对高中涉及的数学思想方法进行有意渗透。教师构建有深度的课堂教学，才能传授学生以更高层次的眼界观察数学，以更宽广的思维处理数学问题，真正调动学生学习的积极性，使学生扎扎实实掌握数学学科知识，举一反三地运用数学知识解决问题。
一、以问题构建深度教学，培养学生思考的角度
教师如果在教学上只让学生读课本，做简单的概念分析，就不能引起学生对所学知识进行深度思考，更不能使学生感悟知识发生过程产生的魅力，学生也不会利用知识，丢失学生自主学习与探究的能力。孔子有云：“学而不思则罔，思而不学则殆。”好的问题，能开启学生研究数学的大门。有深度的数学课堂，教师要以有针对性、合理的、有梯度的问题设计，引领学生探究知识，激发学生求知欲，让学生更好地感悟知识发生过程的魅力，使学生探究步步为营，层层推进，掌握运用数学知识的正确途径。笔者在讲授“基本不等式”时，设计如下教学：
问题1：如何利用重要不等式：得到基本不等式;
问题2：观察与比较重要不等式与基本不等式，二者对自变量a，b的范围有何要求？
问题3：如何类比重要不等式证明来证明基本不等式？
学情是教学的基础，学生已经掌握了重要不等式，教师可通过问题1和问题2的启发与引导，让学生掌握类比法：把代入得到基本不等式，并思考二者的相同与不同点;进而通过问题3让学生掌握作差证明，再次建立起两个不等式的联系，使学生对基本不等式的理解进一步加深。
问题4：基本不等式能否等价转化为命题或？
问题5：运用基本不等式如何求解：已知x>0时，求的最小值？
问题6：如果根据，得出x=1时，等号成立是为了说明什么？
问题7：如果2是的一个取值，那么2会是的最小值吗？如果不是，那么还是求出最小值吗？
问题8：能利用基本不等式求出的最小值吗？如果不能，你能总结利用基本不等式求解函数最值的方法吗？
问题4至问题8是让学生真正了解和认识基本不等式，引领学生掌握基本不等式内涵，帮助学生以不同角度完善对基本不等式的理解。螺旋式上升式的问题链，是有深度的课堂教学的保障，有助于教师在课堂教学上帮助学生理清数学知识的重难点，让学生看到知识的发生、发展以及问题解决背后蕴含的价值;有助于启发学生产生问题意识;有助于学生掌握利用新旧知识的内在联系来分析解决问题;有助于学生掌握从不同角度看待和思考数学问题;有助于学生形成自己的学习习惯。
二、以数学思想方法为核心构建深度教学，提升学生思考的深度
数学的思想是数学的灵魂，其包含了让学生领悟并掌握数学基础知识、基本技能，学会用数学的眼光看待世界，学会用数学的方法解释世界。深度的数学课堂教学，不仅需要让学生抽离现象的本质，比如：看到对称，不仅会想到生活中常见的对称问题，更需要学会在数学中是如何定义对称的，并将之牢牢记住其本质特征。数学思想是学好数学的关键，但数学思想距离成为学生得心应手的工具，可能比预想的要差太远，这其中的关键原因是数学思想是对数学知识内容在更高层面上的理解，是知识体系中蕴含的宝藏，是需要挖掘的，是需要逐步推进的。因而，教师在数学思想方法的教学上，不能混为一谈，不能一味强调应用，需要心中对数学思想有较为深刻而独到的理解，进而将每种数学思想划分为几个层次，通过不断地渗透将之细化，达到一叶成林的效果。笔者为在椭圆定义中渗透数形结合思想，设计如下教学：
例1：如果平面内点到定点的距离为定值的点形成的轨迹是圆，那么平面内点P到两个定点F1，F2的距离之和为定值2a（a>0）的点会有轨迹吗？
教师利用几何画板后，再让学生讨论归纳出椭圆定义，并进一步探究如下例题：
例2：已知P（x，y）的x，y满足当a分别取时，能求出动点P（x，y）的轨迹吗？
例3：已知动圆P与圆相内切，与圆相外切，动点P（x，y）的轨迹是椭圆吗？
例4：已知点C2（-1，0）和圆，点M为圆C1的动点，线段MC2垂直平分线与MC1相交于点P，动点P（x，y）的轨迹是椭圆吗？
例5：如果点平面内点P到两个定点F1，F2的距离之积为定值，则动点P的轨迹会是椭圆吗？如果不是，你觉得动点P与两个定点F1、F2斜率乘积为定值，动点P的轨迹是椭圆吗？
回顾例2至例5，教师可使学生在不涉及椭圆方程的前提下，以数形结合思想为桥梁，让学生深刻理解椭圆的轨迹形成的各種途径，把抽象的椭圆定义具体化，把无形的椭圆定义形象化，让学生层层推进，步步为营掌握椭圆轨迹。高中的数学思想还有分类与整合，函数与方程等思想，不仅形式多样，内容丰富，而且运用广泛，灵活多变。教师不仅平时教学时要重视数学思想的渗透，更需要采用有效的教学形式如采用几何画板把思想直观化等，让枯燥的数学思想具现出来，让学生切实领悟数学思想，真正实现有深度的课堂教学。 三、以方法为灵魂构建深度教学，提升学生思维的深度
美国著名数学教育学家波利亚说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”高中的数学方法，狭义上是具体的方法如待定系数法等，广义上则是掌握处理问题的系统思路如圆锥曲线中的定点定值的求解方法等。有深度的课堂教学，教师需在渗透数学方法过程中让学生掌握数学方法的背景来源，需教会学生运用数学方法解决问题的思路，掌握处理复杂数学情境下运用数学方法解题的能力，进而提升学生的思维深度。笔者课堂上让学生探究圆与定点定值时，设计如下教学：
例1：已知点P与定点A（-3，0），B（3，0），满足求点P的轨迹方程？
例2：已知点P与定点A（-3，0），B（3，0），满足求点P的轨迹方程？
例3：已知点P（x，y），A（-c，0），B（c，0），若求点P的轨迹方程？
通过例1和例2，让学生探究得到：当λ=1时，点P的轨迹为线段AB垂直平分线;当λ≠1时，点P的轨迹为圆.通过铺垫后，让学生探究更一般的例3，挖掘出点P的轨迹方程：，即为定“圆”，也叫阿波罗斯圆。
例4：已知及点A（-2，0），是否在x轴上定点O2，满足：对于圆O1上的任意点P，都有成立，存在，求出点O2坐标，不存在，说明理由？
例5：已知及点A（-2，0），B（-6，-4）：点P在圆O1上求|PB|+2|PA|的最小值？
本节课堂教学以阿波罗斯圆为核心，以的比值展开探究，不仅渗透了研究定点定值的方法，而且通过例4和例5的变式探究，开拓了学生的数学思维。有深度的课堂教学，教师需让学生领略数学方法中蕴含的核心，需让学生体会多变的数学方法的本质。需用以点带面的策略来让学生认识数学方法，需用专题的方法来构建学生认识数学方法，需用系统性来提升学生处理知识的能力，培养学生适应现代生活应具有的数学素养。
四、以变式为纽带构建深度教学，提升学生思维视角
教师教授学生知识，容易产生碎片化特点，不容易形成系统性的方法，掌握不了那些具有深刻思维的知识点。教师需要在教学中以变式为驱动，引导学生探索某类问题的真谛，并借此引申至不同的方法，让学的知识更加深刻且富有创造性。笔者在深度教学中坚持从精心选题开始变式，做到層次丰富，既有区别又有联系，串联起一系列数学方法，让学生真正体会数学的美。笔者认为深度教学中，应根据题目本身所具有的难度，设置不同层次的变式，引发学生思考。例如：在函数极值点和函数值之间经常具有相关性，给数学知识披上迷人外衣的同时，让学生常常无法找到思路，变式的分层有助于学生逐步认知，提高分析能力。笔者复习课时，喜欢运用开放式试题进行复习，学生在学完知识之后，如以一个一个知识进行零散复习，不仅不利于学生养成学习数学的方法，更难培养学生自身独立创新的、整合知识的能力。笔者在高三复习导数极值和最值的公开课时，设置了开放的探究题：
例题：已知函数，你能根据函数的性质从易到难提出2～3个问题并证明吗？在课上，学生对于这类问题不适应，但根据学生做题经验，提出以下变式：
变式1：当a=1时，求函数f（x）的单调区间、极值、最值
变式2：如求函数f（x）的单调区间、极值、最值或求函数f（x）在[1，e]上的单调区间、极值、最值
变式3：存在满足，求证
变式4：若a>e时，且存在满足，求证：
深度课堂教学下的变式，教师需要学生能通过对函数的的认识并结合实践，对所学问题能进一步深入探究，总结彼此之间存在的关联。只有真正贯彻实施变式教学，才能让学生在深度课堂教学中，将学习的知识综合运用，举一反三，触类旁通，把思维推向更高的层次。
有深度的课堂教学，教师需要在平时的教学中潜移默化地渗透，需要教师具有深厚的知识宽度和深度，需在提高课堂知识深度和难度上把握好，要让学生得法于课堂，受益于课外;有深度的课堂教学，有助于学生欣赏数学蕴含的美，有助于学生领会知识蕴含的数学思维，有助于学生在纷繁复杂中找到解决问题的途径，带领学生走进广阔的数学天地，将数学的育人价值发挥最大作用。