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摘 要：求解最值是高中数学中常见的题型，在求解过程中往往需要用到几个不同的知识点，这就要求学生对知识的掌握要全面，对定理的理解要透彻。本文简单介绍几种求最值的方法，以拓宽学生的解题思路，帮助学生解决数学中的求解最值问题。
关键词：数学；求解最值；方法
一、通过定义定理求最值
在数学中，只有了解定义、定理的含义和相应的应用技巧，才能够将其灵活运用到解题过程中。在几何中，常常会应用定义来求解最值，下面以三角形为例。
例1：已知三角形的三边长分别为5cm、6cm、xcm，求x的取值范围。
解：由三角形的定义可知，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以x的取值范围为：6-5 例2：已知钝角三角形的一个角为30度，求另外一个锐角的取值范围。
解：设三角形的三个内角分别为A、B、C，由三角形的内角和定理可得A+B+C=180°，其中A=30°，B=180°-A-C=150°-C>90°，可得-C>-60°，C<60°。而且三角形的内角要大于0°，所以最终求得的范围是：0° 在解决几何图形的边长、内角、外角等问题时，要先考虑用公式解题，将各个已知条件代入公式，从定义、定理中找到隐藏的条件，以求得最值。
二、通过配方求最值
在多元函数的计算中常用到配方法，也就是将多项式进行合并，使其转化成多个平方完全平方式之和的形式，将每个完全平方式看作定值（一般是0），定值和常数项的和就是所求的最值。
例3：x2+3y2-4x+6y+10可取得的最小值是多少？
解：原式=（x-2）2+3（y+1）2+3
由此可知，当x=2，y=-1时，有最小值3。
例4：求函数y=3sin2x+cos2x-5的最值。
解：y=3sin2x+cos2x-5=3sin2x+1-2sin2x-5=sin2x-4
可知，当sin2x=1时，即x=（1/2+k）π（k∈Z）时，ymax=-3；当sin2x=0时，即x=kπ（k∈Z）时，ymin=-4。
例3是配方法求最值的典型例子，只需将每个完全平方式看做0，最后面的常数项就是所求的最小值。例4是三角函数的应用，要学会三角函数的转化，明确三角函数的值域在[-1，1]之间，并通过画图确定x的取值范围，最后求得最值。
三、应用绝对值性质求最值
在求解最值的问题中，不等式常常和绝对值相结合作为考点，在解题时要考虑不等式的性质和绝对值的取值范围，最终通过计算确定最值。
例5：已知2≤x≤7，求|x+5|+|x-3|的最值。
解：设y=|x+5|+|x-3|，因为2≤x≤7，所以7≤x+5≤12-1≤x-3≤4， 由绝对值性质可得：7≤|x+5|≤12 1≤|x-3|≤4，8≤|x+5|+|x-3|≤16，
所以ymax=16，ymin=8。
在求解绝对值的最值时，要考虑绝对值的性质，即任意数字的绝对值都大于等于0，所以要注意符号的转变，才能求出正确的最值。
四、利用判别式求最值
如果分式的分子分母中包含二次项，想求分式的最值，要将分式转化成一元二次方程，利用判别式进行求解。若函数y=f（x）可化为一个关于x的一元二次方程，ax2+bx+c=0，其中a≠0，x为实数，则Δ=b2-4ac≥0，根据题目条件求出函数的最值。
例6：已知函数y=，求y的最值。
解：由y=得x2y+xy-3y=x2+x，
即（y-1）x2+（y-1）x-3y=0，
因为Δ=（y-1）2+12y（y-1）≥0，所以13y2-14y+1≥0，≤y≤1
当y=1时，x无解，所以ymin=
此题关键在于确定y值后进行验算，所得的y值有两个，要考虑代入函数后，x是否有解，从而得出y的最值。
五、利用换元法求最值
换元法包括代数换元和三角换元，是用简单的变量代替复杂的变量，以达到简化运算的目的。
例7：求2（）2+3（x∈R）的最值。
解：设y=，移项得x2y+xy+y=x2-x+1，整理后得出（y-1）x2+（y+1）x+（y-1）=0
因为x∈R，所以Δ=（y+1）2-4（y-1）2≥0，解得-3y2+10y-3≥0
≤y≤3。Z=2y2+3为单调增函数，所以当y=时，Zmin=，当y=3时，Zmax=21。
此题为含根号的分式函数，不能直接运用均值不等式求最值，考虑将分子常数化，对原式进行变形后对分母用均值不等式。
例8：已知a2+b2≤4，c2+d2≤2，求ac+bd的最大值。
解：设a=2cosα，b=2sinα，c=cosβ，d=sinβ，
则ac+bd=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α-β）≤2
当且仅当cos（α-β）=1时，即a=b=，c=d=1，或a=b=-，c=d=-1时，原式有最大值，为2。
换元的方法形式多种多样，有的甚至涉及多步换元或多种换元相互运用，我们要注意的是不管怎样变换，其变换的取值范围都不能改变。这种方法有助于我们把复杂的式子简单化，利于我们求解。
六、结语
求最值时，要先认真观察题型，然后选择恰当的方法。最简单的是定义定理、绝对值法和配方法，这是解题时优先选择的方法。在运用判别式法时要注意x是否有解，将不符合要求的y值舍去；遇到特别复杂的分式时，应首先考虑换元法。总之，要灵活运用各种解题方法，以达到正确求解最值的目的。
参考文献：
朱美玉.浅析初中数学中的最值问题[J].理科考试研究，2014（4）.
关键词：数学；求解最值；方法
一、通过定义定理求最值
在数学中，只有了解定义、定理的含义和相应的应用技巧，才能够将其灵活运用到解题过程中。在几何中，常常会应用定义来求解最值，下面以三角形为例。
例1：已知三角形的三边长分别为5cm、6cm、xcm，求x的取值范围。
解：由三角形的定义可知，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以x的取值范围为：6-5
解：设三角形的三个内角分别为A、B、C，由三角形的内角和定理可得A+B+C=180°，其中A=30°，B=180°-A-C=150°-C>90°，可得-C>-60°，C<60°。而且三角形的内角要大于0°，所以最终求得的范围是：0°
二、通过配方求最值
在多元函数的计算中常用到配方法，也就是将多项式进行合并，使其转化成多个平方完全平方式之和的形式，将每个完全平方式看作定值（一般是0），定值和常数项的和就是所求的最值。
例3：x2+3y2-4x+6y+10可取得的最小值是多少？
解：原式=（x-2）2+3（y+1）2+3
由此可知，当x=2，y=-1时，有最小值3。
例4：求函数y=3sin2x+cos2x-5的最值。
解：y=3sin2x+cos2x-5=3sin2x+1-2sin2x-5=sin2x-4
可知，当sin2x=1时，即x=（1/2+k）π（k∈Z）时，ymax=-3；当sin2x=0时，即x=kπ（k∈Z）时，ymin=-4。
例3是配方法求最值的典型例子，只需将每个完全平方式看做0，最后面的常数项就是所求的最小值。例4是三角函数的应用，要学会三角函数的转化，明确三角函数的值域在[-1，1]之间，并通过画图确定x的取值范围，最后求得最值。
三、应用绝对值性质求最值
在求解最值的问题中，不等式常常和绝对值相结合作为考点，在解题时要考虑不等式的性质和绝对值的取值范围，最终通过计算确定最值。
例5：已知2≤x≤7，求|x+5|+|x-3|的最值。
解：设y=|x+5|+|x-3|，因为2≤x≤7，所以7≤x+5≤12-1≤x-3≤4， 由绝对值性质可得：7≤|x+5|≤12 1≤|x-3|≤4，8≤|x+5|+|x-3|≤16，
所以ymax=16，ymin=8。
在求解绝对值的最值时，要考虑绝对值的性质，即任意数字的绝对值都大于等于0，所以要注意符号的转变，才能求出正确的最值。
四、利用判别式求最值
如果分式的分子分母中包含二次项，想求分式的最值，要将分式转化成一元二次方程，利用判别式进行求解。若函数y=f（x）可化为一个关于x的一元二次方程，ax2+bx+c=0，其中a≠0，x为实数，则Δ=b2-4ac≥0，根据题目条件求出函数的最值。
例6：已知函数y=，求y的最值。
解：由y=得x2y+xy-3y=x2+x，
即（y-1）x2+（y-1）x-3y=0，
因为Δ=（y-1）2+12y（y-1）≥0，所以13y2-14y+1≥0，≤y≤1
当y=1时，x无解，所以ymin=
此题关键在于确定y值后进行验算，所得的y值有两个，要考虑代入函数后，x是否有解，从而得出y的最值。
五、利用换元法求最值
换元法包括代数换元和三角换元，是用简单的变量代替复杂的变量，以达到简化运算的目的。
例7：求2（）2+3（x∈R）的最值。
解：设y=，移项得x2y+xy+y=x2-x+1，整理后得出（y-1）x2+（y+1）x+（y-1）=0
因为x∈R，所以Δ=（y+1）2-4（y-1）2≥0，解得-3y2+10y-3≥0
≤y≤3。Z=2y2+3为单调增函数，所以当y=时，Zmin=，当y=3时，Zmax=21。
此题为含根号的分式函数，不能直接运用均值不等式求最值，考虑将分子常数化，对原式进行变形后对分母用均值不等式。
例8：已知a2+b2≤4，c2+d2≤2，求ac+bd的最大值。
解：设a=2cosα，b=2sinα，c=cosβ，d=sinβ，
则ac+bd=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α-β）≤2
当且仅当cos（α-β）=1时，即a=b=，c=d=1，或a=b=-，c=d=-1时，原式有最大值，为2。
换元的方法形式多种多样，有的甚至涉及多步换元或多种换元相互运用，我们要注意的是不管怎样变换，其变换的取值范围都不能改变。这种方法有助于我们把复杂的式子简单化，利于我们求解。
六、结语
求最值时，要先认真观察题型，然后选择恰当的方法。最简单的是定义定理、绝对值法和配方法，这是解题时优先选择的方法。在运用判别式法时要注意x是否有解，将不符合要求的y值舍去；遇到特别复杂的分式时，应首先考虑换元法。总之，要灵活运用各种解题方法，以达到正确求解最值的目的。
参考文献：
朱美玉.浅析初中数学中的最值问题[J].理科考试研究，2014（4）.