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【摘要】本文简要介绍“时分角函数”与“转轮公式”.类似于三角函数，“时分角函数”揭示了“六十进制数——时间的分数、时数和它们夹角之间存在着的固有的对应关系”.为更好地反映这一客观规律，我们创建“时分角函数”“时分常数”，并对其性质进行了讨论.时分角函数已取得多方面的应用.
【关键词】时分角函数；时分常数；时分角；转轮公式
“六十进制数——分数、时数与其夹角之间存在着固有的一一对应关系”.这一对应关系可用“时分角公式”唯一表达.为对其本质进行深入研究，我们创建“时分角函数”，并对其性质进行讨论.作为“时分角函数的应用”之一，本文暂先简单介绍“转轮公式”.
一、时分角公式[1]
设时针的小时数为N点、分针数为X分.类似于三角函数的角度区分正、负，这里定义，顺时针方向，分针在时针前，其夹角θ为正.分针在时针后，其夹角θ为负.
因为分针每60分转过360度，每分钟转过6度.故在N点X分，分针转过的角度为6X度.而时针每小时转过30度，每12分钟转过1小格，即6度.故时针转过的角度为30N 6X12（度）.
当分针、时针成交角θ时，可得方程：
6X=30N 6X12 θ，
即X=6011·N θ30（分），（1）
或θ=X·1160-N·602（度）.
公式（1）表明时针、分针和它们交角之间存在着固有的对应关系.我们把它称为“时分角公式”.把分针与时针的夹角θ，定义为“时分角”.
“时分角公式”具有普遍性、通用性，对任何钟表问题都适用.举例（略）.
二、时分角函数
（一）时分角函数的引入
由时分角公式（1）得，θ=112·X-30·N（度）.（2）
对某一特定的时间点N，它是一直线方程θ=kX b.
其中k=112，b=-30·N，θ为X的线性函数.
为解读公式（2），以2点15分为例，可解得时分角为：
θ=112·X-30·N=112·15-30·2=22.5（度）.
仔细分析，可知其实质为θ=360°60·15-30°60·15-30°·2.
其中，第一项是分针转过的角度，第二项是因分针转动而引起时针转过的角度，第三项则是时针数本身的角度.所以第一项减去第二、三项的和，即为“时分角”θ.
（二）时分角函数的定义
由公式（1）或（2）的函数关系，可描绘出时分角θ关于变量X的函数值表.见附录1“时分角函数表”为简明，文中仅列出部分θ为特殊角时的时分角函数值表（表1）.从此表可见，虽对应的时分角θ已是特殊角，但X的数值仍较繁复（表中已四舍五入到一位小数）.其根源在于公式（1）中的系数6011.
从表面上看，时分角函数似乎是一个带两个自变量的函数，或带一参变量N的函数.但对某一特定时刻（N点X分），若按分x来计量x=N*60 X（单位分），那实际上它仍是一单变量x的函数.
三、时分角函数的性质
1.时分角函数的图像：与函数表一样，当X取时分常数C的整数倍时，其对应的时分角θ均为特殊角.为明确起见，在总的函数图像（图1）中，X用单位C表示.在放大的区域图中，X同时用两种单位表出.
图1 时分角函数图像
2.时分角函数的性质：由图1可见，时分角函数CLO（X）为一阶跃函数，对自变量x来说为单值函数.周期为12小时.在每一小时区间上均为线性、递增，斜率为112（即330°60）.
事实上，因时分角θ是按360°循环的.所以，它也可表示为一线性函数.如图2所示.
图2 按分x=N*60 X来计量的时分角函数图像
四、时分角函数的应用
时分角函数不仅能解决各类钟表奥数问题，还可用于解决数学中有关追及、齿轮、循环、建模等问题，以及其他许多实际应用问题.
（一）简单应用举例
例 欲对某地球卫星空间站A的外部设备进行维修，使用在其同一轨道平面内的，以十二倍角速度同向运行的另一人造地球卫星B对它拍照取证.拍照位置需选择在它们分别与地心连线成15度时，既没有遮挡，且最为清晰.考虑到还会受太阳光照、地球自身阴影等影响，故需找出所有可作备选的最为恰当的拍照时刻，供专家选择.
解 此题符合“时分角公式”使用条件.AO为时针，BO为分针，时钟角为 15°、-15°.不必计算，由“时分角函数表”即可查得结果.可考虑选择拍照的时刻共23个，分别为
对应 15°的有11个：
N012345
X2.7272738.18181813.6363619.0909124.5454530
N67891011
X35.4545540.9090946.3636451.8181857.2727362.72727
对应-15°的有12个：
N012345
X-2.727272.7272738.18181813.6363619.0909124.54545
N67891011
X3035.4545540.9090946.3636451.8181857.27273
其中11点62.72727分，即0點2.727273分.
在此例中，若改变初始条件，人造卫星B的角速度不是12倍，而是4倍、24倍……似乎“时分角公式”就不适用了.但由时分角公式推出的转轮公式仍可轻易解决.
（二）转轮公式
在时分角公式中，若把分针、时针的转速比（角速度）记为k，则k=360°30°=12.
但在实际科学技术应用中，例如，变速箱，小、大齿轮的转速比不一定为12.
1.讨论轮1（分）针转360°时，轮2（时）针转60°的情况（即k=6）：
设轮1针、轮2针成交角θ度，对照时分角公式，可列出方程
6X=60N 12·X12 θ，
解之，得计算公式：X=12·N θ60（分）.
2.讨论一般情况，轮1针转360°时，轮2针转360°k：
此时方程变为6X=360k·N 360k60·X θ，
解之得X=60k-1*N k360·θ（分）.（4*）
称公式（4*）为“转轮公式”.“转轮公式”有着极为广泛的应用.
五、结 论
1.“时分角公式”揭示了“时钟的分针、时针数和它们夹角之间存在着固有的对应关系”.为反映这一客观规律，本文创建了时分角函数及其图、表.深刻地阐明了时分角函数的基本性质.为进一步研究时分角函数及其应用奠定了基础.
2.时分角函数的定义并不局限于六十进制数，可推广至任何进制的关联物理量，建立类时分角函数，如转轮定理.时分角函数有望在教学、天体运动、空间定位以及行星轮系、精密仪器设计制造等领域取得广泛应用.
【参考文献】
[1]刘凯伦.钟表公式[Z].2015青岛市数学建模大赛（论文）一等奖.
【关键词】时分角函数；时分常数；时分角；转轮公式
“六十进制数——分数、时数与其夹角之间存在着固有的一一对应关系”.这一对应关系可用“时分角公式”唯一表达.为对其本质进行深入研究，我们创建“时分角函数”，并对其性质进行讨论.作为“时分角函数的应用”之一，本文暂先简单介绍“转轮公式”.
一、时分角公式[1]
设时针的小时数为N点、分针数为X分.类似于三角函数的角度区分正、负，这里定义，顺时针方向，分针在时针前，其夹角θ为正.分针在时针后，其夹角θ为负.
因为分针每60分转过360度，每分钟转过6度.故在N点X分，分针转过的角度为6X度.而时针每小时转过30度，每12分钟转过1小格，即6度.故时针转过的角度为30N 6X12（度）.
当分针、时针成交角θ时，可得方程：
6X=30N 6X12 θ，
即X=6011·N θ30（分），（1）
或θ=X·1160-N·602（度）.
公式（1）表明时针、分针和它们交角之间存在着固有的对应关系.我们把它称为“时分角公式”.把分针与时针的夹角θ，定义为“时分角”.
“时分角公式”具有普遍性、通用性，对任何钟表问题都适用.举例（略）.
二、时分角函数
（一）时分角函数的引入
由时分角公式（1）得，θ=112·X-30·N（度）.（2）
对某一特定的时间点N，它是一直线方程θ=kX b.
其中k=112，b=-30·N，θ为X的线性函数.
为解读公式（2），以2点15分为例，可解得时分角为：
θ=112·X-30·N=112·15-30·2=22.5（度）.
仔细分析，可知其实质为θ=360°60·15-30°60·15-30°·2.
其中，第一项是分针转过的角度，第二项是因分针转动而引起时针转过的角度，第三项则是时针数本身的角度.所以第一项减去第二、三项的和，即为“时分角”θ.
（二）时分角函数的定义
由公式（1）或（2）的函数关系，可描绘出时分角θ关于变量X的函数值表.见附录1“时分角函数表”为简明，文中仅列出部分θ为特殊角时的时分角函数值表（表1）.从此表可见，虽对应的时分角θ已是特殊角，但X的数值仍较繁复（表中已四舍五入到一位小数）.其根源在于公式（1）中的系数6011.
从表面上看，时分角函数似乎是一个带两个自变量的函数，或带一参变量N的函数.但对某一特定时刻（N点X分），若按分x来计量x=N*60 X（单位分），那实际上它仍是一单变量x的函数.
三、时分角函数的性质
1.时分角函数的图像：与函数表一样，当X取时分常数C的整数倍时，其对应的时分角θ均为特殊角.为明确起见，在总的函数图像（图1）中，X用单位C表示.在放大的区域图中，X同时用两种单位表出.
图1 时分角函数图像
2.时分角函数的性质：由图1可见，时分角函数CLO（X）为一阶跃函数，对自变量x来说为单值函数.周期为12小时.在每一小时区间上均为线性、递增，斜率为112（即330°60）.
事实上，因时分角θ是按360°循环的.所以，它也可表示为一线性函数.如图2所示.
图2 按分x=N*60 X来计量的时分角函数图像
四、时分角函数的应用
时分角函数不仅能解决各类钟表奥数问题，还可用于解决数学中有关追及、齿轮、循环、建模等问题，以及其他许多实际应用问题.
（一）简单应用举例
例 欲对某地球卫星空间站A的外部设备进行维修，使用在其同一轨道平面内的，以十二倍角速度同向运行的另一人造地球卫星B对它拍照取证.拍照位置需选择在它们分别与地心连线成15度时，既没有遮挡，且最为清晰.考虑到还会受太阳光照、地球自身阴影等影响，故需找出所有可作备选的最为恰当的拍照时刻，供专家选择.
解 此题符合“时分角公式”使用条件.AO为时针，BO为分针，时钟角为 15°、-15°.不必计算，由“时分角函数表”即可查得结果.可考虑选择拍照的时刻共23个，分别为
对应 15°的有11个：
N012345
X2.7272738.18181813.6363619.0909124.5454530
N67891011
X35.4545540.9090946.3636451.8181857.2727362.72727
对应-15°的有12个：
N012345
X-2.727272.7272738.18181813.6363619.0909124.54545
N67891011
X3035.4545540.9090946.3636451.8181857.27273
其中11点62.72727分，即0點2.727273分.
在此例中，若改变初始条件，人造卫星B的角速度不是12倍，而是4倍、24倍……似乎“时分角公式”就不适用了.但由时分角公式推出的转轮公式仍可轻易解决.
（二）转轮公式
在时分角公式中，若把分针、时针的转速比（角速度）记为k，则k=360°30°=12.
但在实际科学技术应用中，例如，变速箱，小、大齿轮的转速比不一定为12.
1.讨论轮1（分）针转360°时，轮2（时）针转60°的情况（即k=6）：
设轮1针、轮2针成交角θ度，对照时分角公式，可列出方程
6X=60N 12·X12 θ，
解之，得计算公式：X=12·N θ60（分）.
2.讨论一般情况，轮1针转360°时，轮2针转360°k：
此时方程变为6X=360k·N 360k60·X θ，
解之得X=60k-1*N k360·θ（分）.（4*）
称公式（4*）为“转轮公式”.“转轮公式”有着极为广泛的应用.
五、结 论
1.“时分角公式”揭示了“时钟的分针、时针数和它们夹角之间存在着固有的对应关系”.为反映这一客观规律，本文创建了时分角函数及其图、表.深刻地阐明了时分角函数的基本性质.为进一步研究时分角函数及其应用奠定了基础.
2.时分角函数的定义并不局限于六十进制数，可推广至任何进制的关联物理量，建立类时分角函数，如转轮定理.时分角函数有望在教学、天体运动、空间定位以及行星轮系、精密仪器设计制造等领域取得广泛应用.
【参考文献】
[1]刘凯伦.钟表公式[Z].2015青岛市数学建模大赛（论文）一等奖.