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摘 要：文章基于多方案比较建立相对安全的空中加油模型，研究救援小岛上飞机加油策略。为了让任务飞机尽可能地飞的远，引入作战半径，根据伴随加油和接应加油的两种方式建立加油方案。
关键词：作战半径；数学归纳；递推法；空中加油
中图分类号：V323文献标识码：A
1 空中加油方案
现有一架轻载飞机和众多相同信号的加油飞机，为保证轻载飞机成功抵达小岛并能够返回基地，加油飞机需要在空中将自己的燃料分给任务飞机。为使任务飞机能够飞行的最远，需要利用加油飞机不断给任务飞机加油，使它尽可能地满载，直到它能够独自完成剩下的所有航程。在这里，引入作战半径，即作战飞机任务完成后返回出发地所能达到的最远单程距离。
1.1伴随机模型
在这种情况下，所有的辅机与主机一起出发，在前往小岛的过程中给主机加油。最终，主机能够独自返回基地，油量全部消耗完。当n架伴随机陪同主机飞行时，存在着n个最优加油点，每一个加油点均有一架辅机给其它所有的飞机加油后返回[1]。具体如下：当所有飞机到达第一个最优加油点时，第一架辅机C1给主机和其它n-1架辅机加油，使每一架飞机的油量达到最大值，最后C1所剩下的油量恰好能使它飞回基地。以此类推，当到达最后一个加油点时，最后一架辅机Cn给主机加满油后恰能利用剩余的油量飞回基地。
将小岛用F表示，基地用E表示。设L为辅机能飞行的最远距离，经改装后的加油机能承载的最大油量为a，则主机能承载的最大油量为0.91a。当伴随机和主机出航时，最佳加油位置分别为b1，b2，…，bn；当飞机们到达b1后，为使被辅机C1加油后的主机和其它辅机的油量都达到满载，且辅机C1剩下的油量能够支撑它顺利返回基地，经计算可以得知，b1为距离基地1/（n+2L）处。当剩下的n架飞机飞行到第二个最佳加油位置时，第二架辅机开始为主机和其它n-2架辅机加油[3]，此时各飞机消耗油量均为ba/L。以此类推，当飞机们抵达第3个最佳加油位置时，第3个辅机C3需要满足的基本条件为：
[1-（n-1）b32/L]a≥ab32/L+ab21/L+a/x （1）
所以当b32也等于L/（n+2）时，辅机C3恰好能返回基地。于是可以猜想最佳位置b1，b2，，bn之间，相邻两个位置的间距均相等，始终为L/（n+2）。
假设b1，b2，，bn是等差数列，公差为L/（n+2）。当飞机们抵达第k个最佳加油位置时，第k个辅机Ck给主机和其它辅机加满油后返回基地。而在bk+1处，辅机Ck+1给剩下的n-k架飞机都加油所消耗的油量为b（k+1）ka/L。
故为了让辅机Ck+1能够最大限度地加油所需要满足条件为：
[1-（1+n-k）a/（n+2）]a=[b（k+1）k+kL/（n+2）]a/L （2）
解上面的方程可以得到b（k+1）k=L/（n+2），所以假设成立，相邻两个最佳加油位置之间的间距均为L/（n+2），得知各辅机依次加油的位置以后，可以得到主机在n次加油后恰好能够返回基地时的其它信息，如下：
1）主机加油总量：na/（n+2）
2）主机耗油总量：na/（n+2）+0.91a
3）主机最大作战半径：（1.91n+1.82）L/2（n+2）
4）主机作战半径的增加值△r：nL/2（n+2）
在这种辅机全部做伴随机的情况下，主机在出航的过程中不断被辅机补给油量以维持它能够独自返航回到基地。当有n架辅机时，我们得到了主机的最大作战半径与辅机数量和辅机能承载的最大油量a之间的关系为：
r=n（1.91n+1.82）L/2（n+2） （3）
所以当辅机的数量和辅机能飞行的最大航程已知后，主机在能够安全返回基地的基础上，可以飞出的最远距离就可以求解出来。
1.2接应机模型
在这种情况下，m架辅机从基地出发去接应返回的主机，在返回的路上给主机加油，使主机恰好抵达基地。具体为：当第一台辅机Am与主机相遇时，主机的油量恰好用完。此时辅机Am将自己剩余油量的一半分给主机，再与主机一起返航。当第二台辅机Am-1与主机相遇时，主机和Am的油量恰好用完。此时辅机Am-1将自己剩余油量分为相等的3份，给主机和Am加油后与它们一同返航，以此类推。
在这里采用逆推的思想，当最后一架接应机A1与主机和其它m1架接应机在d1处相遇時距离基地为1/y，此时接应机A1给其它飞机加油后，它和这些飞机的油量均为（1-y）a/y（m+1）。只有当y =m+2时，飞机恰好都能飞回基地，故最后一个加油位置b1距离基地的距离为L/（m+2）。当辅机A2到达加油点d2时，主机和其它m2架辅机剩余油量均为0，所有飞机距离基地为1/（y+d），此时加完油后每架飞机油量均为（a-a/y-ad/L）/m，只有当d=L/（m+2）时，主机和其余m-1架恰能到达最后一个加油位置。根据辅机全部做伴随机的情况，同理可证明所有相邻两个最优加油位置之间的间隔均为L/（m+2），所以这m个加油位置的表达式如下：
dj=jL/（m+2） （j=1，2，3，...，m） （4）
得知各辅机依次加油的位置以后，可以得到主机在m次加油后恰好能够返回基地时的其它信息，如下：
1）主机加油总量：ma/（m+2）；
2）主机耗油总量：（1.91m+1.82）a/（m+2）；
3）主机最大作战半径：（1.91m+1.82）L/2（n+2）；
4）主机作战半径的增加值△r：mL/2（m+2）；
在这种辅机全部做接应机的情况下，主机在返航的过程中不断被辅机补给油量以维持它能够返回到基地。当有m架辅机时，得到主机的最大作战半径与辅机数量之间的关系为：
r=（1.91m+1.82）L/2（n+2） （5）
所以当已知作战半径的需求以及辅机能走的最远航程L后，就可以求解出需要安排多少架辅机接应主机返航。
参考文献
[1] 戚晨皓，翟建锋，邹建宇.飞机空中加油问题的研究[J].数学的实践与认识，2006，36（7）：88-100.
[2] 孙金标，施克如，王克格.空中加油问题的最优化研究[J].飞行力学，2000，18（4）：10-13.
[3] 孟晖，白华利，卢军， 等.空中加油问题[J].数学的实践与认识，2006，36（7）：72-87.
关键词：作战半径；数学归纳；递推法；空中加油
中图分类号：V323文献标识码：A
1 空中加油方案
现有一架轻载飞机和众多相同信号的加油飞机，为保证轻载飞机成功抵达小岛并能够返回基地，加油飞机需要在空中将自己的燃料分给任务飞机。为使任务飞机能够飞行的最远，需要利用加油飞机不断给任务飞机加油，使它尽可能地满载，直到它能够独自完成剩下的所有航程。在这里，引入作战半径，即作战飞机任务完成后返回出发地所能达到的最远单程距离。
1.1伴随机模型
在这种情况下，所有的辅机与主机一起出发，在前往小岛的过程中给主机加油。最终，主机能够独自返回基地，油量全部消耗完。当n架伴随机陪同主机飞行时，存在着n个最优加油点，每一个加油点均有一架辅机给其它所有的飞机加油后返回[1]。具体如下：当所有飞机到达第一个最优加油点时，第一架辅机C1给主机和其它n-1架辅机加油，使每一架飞机的油量达到最大值，最后C1所剩下的油量恰好能使它飞回基地。以此类推，当到达最后一个加油点时，最后一架辅机Cn给主机加满油后恰能利用剩余的油量飞回基地。
将小岛用F表示，基地用E表示。设L为辅机能飞行的最远距离，经改装后的加油机能承载的最大油量为a，则主机能承载的最大油量为0.91a。当伴随机和主机出航时，最佳加油位置分别为b1，b2，…，bn；当飞机们到达b1后，为使被辅机C1加油后的主机和其它辅机的油量都达到满载，且辅机C1剩下的油量能够支撑它顺利返回基地，经计算可以得知，b1为距离基地1/（n+2L）处。当剩下的n架飞机飞行到第二个最佳加油位置时，第二架辅机开始为主机和其它n-2架辅机加油[3]，此时各飞机消耗油量均为ba/L。以此类推，当飞机们抵达第3个最佳加油位置时，第3个辅机C3需要满足的基本条件为：
[1-（n-1）b32/L]a≥ab32/L+ab21/L+a/x （1）
所以当b32也等于L/（n+2）时，辅机C3恰好能返回基地。于是可以猜想最佳位置b1，b2，，bn之间，相邻两个位置的间距均相等，始终为L/（n+2）。
假设b1，b2，，bn是等差数列，公差为L/（n+2）。当飞机们抵达第k个最佳加油位置时，第k个辅机Ck给主机和其它辅机加满油后返回基地。而在bk+1处，辅机Ck+1给剩下的n-k架飞机都加油所消耗的油量为b（k+1）ka/L。
故为了让辅机Ck+1能够最大限度地加油所需要满足条件为：
[1-（1+n-k）a/（n+2）]a=[b（k+1）k+kL/（n+2）]a/L （2）
解上面的方程可以得到b（k+1）k=L/（n+2），所以假设成立，相邻两个最佳加油位置之间的间距均为L/（n+2），得知各辅机依次加油的位置以后，可以得到主机在n次加油后恰好能够返回基地时的其它信息，如下：
1）主机加油总量：na/（n+2）
2）主机耗油总量：na/（n+2）+0.91a
3）主机最大作战半径：（1.91n+1.82）L/2（n+2）
4）主机作战半径的增加值△r：nL/2（n+2）
在这种辅机全部做伴随机的情况下，主机在出航的过程中不断被辅机补给油量以维持它能够独自返航回到基地。当有n架辅机时，我们得到了主机的最大作战半径与辅机数量和辅机能承载的最大油量a之间的关系为：
r=n（1.91n+1.82）L/2（n+2） （3）
所以当辅机的数量和辅机能飞行的最大航程已知后，主机在能够安全返回基地的基础上，可以飞出的最远距离就可以求解出来。
1.2接应机模型
在这种情况下，m架辅机从基地出发去接应返回的主机，在返回的路上给主机加油，使主机恰好抵达基地。具体为：当第一台辅机Am与主机相遇时，主机的油量恰好用完。此时辅机Am将自己剩余油量的一半分给主机，再与主机一起返航。当第二台辅机Am-1与主机相遇时，主机和Am的油量恰好用完。此时辅机Am-1将自己剩余油量分为相等的3份，给主机和Am加油后与它们一同返航，以此类推。
在这里采用逆推的思想，当最后一架接应机A1与主机和其它m1架接应机在d1处相遇時距离基地为1/y，此时接应机A1给其它飞机加油后，它和这些飞机的油量均为（1-y）a/y（m+1）。只有当y =m+2时，飞机恰好都能飞回基地，故最后一个加油位置b1距离基地的距离为L/（m+2）。当辅机A2到达加油点d2时，主机和其它m2架辅机剩余油量均为0，所有飞机距离基地为1/（y+d），此时加完油后每架飞机油量均为（a-a/y-ad/L）/m，只有当d=L/（m+2）时，主机和其余m-1架恰能到达最后一个加油位置。根据辅机全部做伴随机的情况，同理可证明所有相邻两个最优加油位置之间的间隔均为L/（m+2），所以这m个加油位置的表达式如下：
dj=jL/（m+2） （j=1，2，3，...，m） （4）
得知各辅机依次加油的位置以后，可以得到主机在m次加油后恰好能够返回基地时的其它信息，如下：
1）主机加油总量：ma/（m+2）；
2）主机耗油总量：（1.91m+1.82）a/（m+2）；
3）主机最大作战半径：（1.91m+1.82）L/2（n+2）；
4）主机作战半径的增加值△r：mL/2（m+2）；
在这种辅机全部做接应机的情况下，主机在返航的过程中不断被辅机补给油量以维持它能够返回到基地。当有m架辅机时，得到主机的最大作战半径与辅机数量之间的关系为：
r=（1.91m+1.82）L/2（n+2） （5）
所以当已知作战半径的需求以及辅机能走的最远航程L后，就可以求解出需要安排多少架辅机接应主机返航。
参考文献
[1] 戚晨皓，翟建锋，邹建宇.飞机空中加油问题的研究[J].数学的实践与认识，2006，36（7）：88-100.
[2] 孙金标，施克如，王克格.空中加油问题的最优化研究[J].飞行力学，2000，18（4）：10-13.
[3] 孟晖，白华利，卢军， 等.空中加油问题[J].数学的实践与认识，2006，36（7）：72-87.