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[摘要]综合考虑实际中普遍存在的补货资金约束、运输能力约束以及“部分产品不能同时运输”这一运输条件的限制，构建了结合产品运输策略的联合补货模型，并设计混合差分进化算法对模型进行求解，证实了模型的有效性。此外，对需求率和单位库存持有成本进行敏感性分析，结果表明这两个参数的变化均会使补货成本增加，且需求率对总补货成本的影响程度较大。而需求率和单位库存持有成本的增加还会使基本补货周期T减小，表明企业需更频繁地订货。
[关键词]联合补货；资金约束；产品运输；混合差分进化算法
1引言
随着社会经济的快速发展和消费水平的提高，人们越来越重视个性化消费。市场需求的日益多样化以及现代消费者的需求变化速度之快，使得社会分工逐渐细化，产品生命周期普遍缩短。为了适应市场变化并减少库存积压，企业也要实现产品的多品种和少批量生产，相应地，企业需采购的产品或料项也随之多品种和小批量化。
在企业或配送中心的实际运作中，进行采购补货或库存管理时，经常需要对多种产品或物料进行补货。此时，往往会通过一张订单同时采购多种料项，此称之为联合补货（Joint Replenishment Problem），此类订单即为联合订单（Joint Order）。联合补货时，大批量运输具有规模效应，低于多次小批量运输的成本，或供应商可能基于庞大的订单而给予数量折扣而形成经济规模，因此，联合补货在一定程度上降低了企业的补货成本。据研究，联合补货可比各产品进行单独补货节约7%～15%的成本。确定订单中应包含的料项时，若某料项加入订单的边际成本小于单独订购此料项的边际成本，则应将此料项包含至订单，与其他产品共同补货以分摊固定费用，节约采购成本。
经典联合补货问题的决策一般包括每种料项的订购数量和订购周期，其目标是使补货总成本最小。补货成本由产品的主要订货成本、次要订货成本和库存持有成本三部分组成。其中，主要订货成本即固定订购费用，如通讯费、启动成本等；次要订货成本即每种产品的购买成本，与产品数量有关。联合补货问题有两种分組策略，分别是直接分组策略（DGS）和间接分组策略（IGS）。一般情况下，IGS优于DGS，在实际应用中也更为广泛，因此本文主要研究间接分组策略下的联合补货模型。
2文献综述
经典的联合补货模型是一类无约束问题。目前，国内外关于经典联合补货模型已有丰富的成果，主要集中于模型求解算法的研究，即在主要订货成本、次要订货成本、产品需求率和单位库存成本均为已知的情况下确定最优补货策略。Goyal采用枚举法求得了联合补货模型的最优解，此种算法在求解较小规模的问题时可求得最优解，但联合补货问题是一类NP-hard问题，当问题规模较大时，此类精确算法很难求得最优解。基于此，Silver采用启发式算法求得了JRP模型的近似最优解；Nagasawa将遗传算法运用于联合补货模型中进行求解，证明了遗传算法在求解此类问题时具有一定的优势；Liang提出了一种基于模拟退火算法和拉格朗日松弛法的新算法，对联合补货模型进行求解。
在企业的实际生产和库存管理中，往往存在许多资源约束，如资金、存储空间等各方面的限制。基于此，部分学者对经典联合补货模型进行了扩展。王林等建立了资金和存储空间约束下的联合补货模型，并用差分进化算法进行求解。Cha et al.构建了资金约束下的联合补货模型，并对已有的RAND算法进行了改进，提出C-RAND算法对模型进行求解。陈晓溪考虑了数量折扣，建立了资源约束下的联合补货模型，并设计差分进化算法对其进行求解。
以上研究均侧重于产品订购环节，并未考虑补货后产品如何运输。在企业实际的采购管理中，往往要考虑供应链的整体优化，因此将联合补货与配送环节相结合进行研究非常有必要。Qu et al.构建了中心仓库从各供应商处进行联合补货的模型，配送行为在产品补货时产生，但将配送成本视为固定费用且假设运输容量无限制。在实际库存管理中，有些产品或料项不能同时储存，如药剂与新鲜食品不能储存于同一封闭空间。而运输可以看做暂时的存储，基于此，本文将这一因素作为约束条件之一，将不能同时储存的产品分开运输。
综上所述，本文基于单供应商一单配送中心，建立配送中心从供应商处进行多种料项采购的联合补货模型。模型同时考虑资金约束、运输容量约束以及“部分产品不能同时运输”这一运输条件的限制，与已有研究成果相比，更接近生产和采购管理的实际情况。
3模型建立
为了便于建模，提出以下合理化假设：（1）库存消耗为线性；（2）产品年平均需求确定且为常数；（3）不考虑缺货和数量折扣；（4）补货后产品可立即得到补充。
3.1参数
3.3模型
每种产品的补货周期Ti为基本补货周期的k；倍，即T=k*T，因此在间接分组策略下，补货周期相同的产品成为一组进行联合补货。产品i的补货数量为：
年订货总成本包括主要订货成本和次要订货成本，可表示为：
式（5）为模型的目标函数，表示总补货成本最小，由主要订货成本、次要订货成本、库存持有成本和运输成本组成。式（6）为资金约束，每次补货的订购费用不能超过资金预算。式（7）为运输能力约束。式（8）表示同种产品只能用同一辆车运输，不能分开运输；而式（9）限制了不能同时储存的产品必须分开运输。式（10）限制补货周期必须是正数，式（11）和式（12）表示补货周期乘子k是正整数，置。为0-1变量。
4模型计算
本文设计自适应混合差分进化算法对模型进行求解。差分进化算法（Differential Evolution algorithm，DE）是一种演化算法，从某一随机产生的初始种群开始，利用种群中随机选取的两个个体的差向量作为第三个个体的随机变化源，将差向量加权后按照一定的规则与第三个个体求和而产生变异个体，该操作称为变异。然后，变异个体与预先决定的目标个体进行参数混合，生成试验个体，这一过程称之为交叉。在目标个体与变异个体间选择适应度较优的个体保留到下一代种群，此操作称为选择。算法通过不断的迭代计算，保留优良个体，引导搜索过程向全局最优解逼近。算法的基本流程如图1所示。 目前需采购5种产品，可运输的车辆有2辆。产品1和4、2和5不能使用同一车辆运输，每辆车的运输能力均为4 000，每次补货的可用预算为30 000，固定订货成本为20，即I=2，N=2，△n=4 000，B=30 000，S=20，其余数据见表1。
采用本文提出的混合DE算法求解该算例，计算结果见表2。产品1、产品3和产品5用第一辆车运输，产品2和4用第二辆车运输，符合算例中的运输条件约束。产品2、3、5的补货周期即为基本补货周期T*，产品1的补货周期为2T*，而产品4的补货周期为3T*，其中T*=0.150 9（年）。该算例在此种补货方案下年总成本为71480.68元。
5模型分析
需求率Di、库存持有成本hi等模型参数的变化可能会对模型结果产生不同的影响。因此，本文基于单变量法对其进行敏感性分析，将DI和h；分别在上述算例基础上±10%、±20%、±30%、±40%，观察模型结果的变化情况，表3和表4分别为需求率和库存持有成本变化前后模型的结果对比。
表3所示为需求率发生变动时联合补货策略以及补货成本的变化情况。观察表3中数据发現，需求率对联合补货总成本具有较为明显的影响。当需求减小时，产品的周期乘子ki保持不变，而基本补货周期T随之增加，即减少补货次数。当需求增加时，基本补货周期T随之减小，意味着企业需更频繁地补货以满足客户不断增长的需求。需求的增长和减少自然地导致总成本的增加和降低，而需求减少带来的成本降低要大于需求增加而带来的成本增长，因此，在实际生产和采购管理中，合理准确的需求预测对于企业成本的节约具有重大意义。
表4所示为产品单位库存持有成本改变时联合补货策略以及补货成本的变化情况。从表3可直观地看出库存持有成本对总成本影响较小，而值得注意的是，当产品单位库存持有成本增大时，周期乘子ki保持不变，而基本补货周期随之减小，此时产品订购数量Q=DKT相应减少，在实际采购管理中体现为“少批量、多批次”的订货策略，以减少总库存持有成本。
综上所述，需求率Di和库存持有成本hi的变化均会对补货策略和补货成本产生一定程度的影响，且需求率对总补货成本的影响程度较大，而单位库存持有成本对补货总成本的影响相对较小。这两个参数并不会影响各产品的周期乘子ki而是通过影响基本补货周期T的值来影响补货策略，且参数的增加均使T减小，即补货作业更频繁。
6结论与展望
联合补货可以在一定程度上降低企业的采购成本，本文考虑资金约束、运输能力和运输条件等各方面的限制，构建了结合产品运输方案的联合补货模型，并设计混合差分进化算法对其进行求解。本文的主要工作可概括为以下三部分：首先，构建了资源约束和运输条件限制下的联合补货模型；其次，结合模型变量的特点设计了混合DE算法求解该模型；最后，对需求率和库存持有成本进行了敏感性分析，深入探究了这两个参数对补货策略和补货成本的影响。通过数据分析发现，需求率和库存持有成本的增加均会使补货总成本增大，且需求率的变化对补货成本的影响较大，因此，在实际的采购和生产中，准确的需求预测对企业成本的节约具有重要的意义。此外，需求率和库存持有成本的增加均会使基本补货周期使T减小，即补货作业更频繁。
本文在研究联合补货模型时考虑到资金约束、运输容量约束以及“部分产品不能同时运输”这一运输条件的限制，与已有研究相比更接近实际。后续研究将从以下方面展开：（1）考虑允许缺货情况下的联合补货问题；（2）在产品缺货的情况下，考虑允许产品替代的联合补货模型。
[关键词]联合补货；资金约束；产品运输；混合差分进化算法
1引言
随着社会经济的快速发展和消费水平的提高，人们越来越重视个性化消费。市场需求的日益多样化以及现代消费者的需求变化速度之快，使得社会分工逐渐细化，产品生命周期普遍缩短。为了适应市场变化并减少库存积压，企业也要实现产品的多品种和少批量生产，相应地，企业需采购的产品或料项也随之多品种和小批量化。
在企业或配送中心的实际运作中，进行采购补货或库存管理时，经常需要对多种产品或物料进行补货。此时，往往会通过一张订单同时采购多种料项，此称之为联合补货（Joint Replenishment Problem），此类订单即为联合订单（Joint Order）。联合补货时，大批量运输具有规模效应，低于多次小批量运输的成本，或供应商可能基于庞大的订单而给予数量折扣而形成经济规模，因此，联合补货在一定程度上降低了企业的补货成本。据研究，联合补货可比各产品进行单独补货节约7%～15%的成本。确定订单中应包含的料项时，若某料项加入订单的边际成本小于单独订购此料项的边际成本，则应将此料项包含至订单，与其他产品共同补货以分摊固定费用，节约采购成本。
经典联合补货问题的决策一般包括每种料项的订购数量和订购周期，其目标是使补货总成本最小。补货成本由产品的主要订货成本、次要订货成本和库存持有成本三部分组成。其中，主要订货成本即固定订购费用，如通讯费、启动成本等；次要订货成本即每种产品的购买成本，与产品数量有关。联合补货问题有两种分組策略，分别是直接分组策略（DGS）和间接分组策略（IGS）。一般情况下，IGS优于DGS，在实际应用中也更为广泛，因此本文主要研究间接分组策略下的联合补货模型。
2文献综述
经典的联合补货模型是一类无约束问题。目前，国内外关于经典联合补货模型已有丰富的成果，主要集中于模型求解算法的研究，即在主要订货成本、次要订货成本、产品需求率和单位库存成本均为已知的情况下确定最优补货策略。Goyal采用枚举法求得了联合补货模型的最优解，此种算法在求解较小规模的问题时可求得最优解，但联合补货问题是一类NP-hard问题，当问题规模较大时，此类精确算法很难求得最优解。基于此，Silver采用启发式算法求得了JRP模型的近似最优解；Nagasawa将遗传算法运用于联合补货模型中进行求解，证明了遗传算法在求解此类问题时具有一定的优势；Liang提出了一种基于模拟退火算法和拉格朗日松弛法的新算法，对联合补货模型进行求解。
在企业的实际生产和库存管理中，往往存在许多资源约束，如资金、存储空间等各方面的限制。基于此，部分学者对经典联合补货模型进行了扩展。王林等建立了资金和存储空间约束下的联合补货模型，并用差分进化算法进行求解。Cha et al.构建了资金约束下的联合补货模型，并对已有的RAND算法进行了改进，提出C-RAND算法对模型进行求解。陈晓溪考虑了数量折扣，建立了资源约束下的联合补货模型，并设计差分进化算法对其进行求解。
以上研究均侧重于产品订购环节，并未考虑补货后产品如何运输。在企业实际的采购管理中，往往要考虑供应链的整体优化，因此将联合补货与配送环节相结合进行研究非常有必要。Qu et al.构建了中心仓库从各供应商处进行联合补货的模型，配送行为在产品补货时产生，但将配送成本视为固定费用且假设运输容量无限制。在实际库存管理中，有些产品或料项不能同时储存，如药剂与新鲜食品不能储存于同一封闭空间。而运输可以看做暂时的存储，基于此，本文将这一因素作为约束条件之一，将不能同时储存的产品分开运输。
综上所述，本文基于单供应商一单配送中心，建立配送中心从供应商处进行多种料项采购的联合补货模型。模型同时考虑资金约束、运输容量约束以及“部分产品不能同时运输”这一运输条件的限制，与已有研究成果相比，更接近生产和采购管理的实际情况。
3模型建立
为了便于建模，提出以下合理化假设：（1）库存消耗为线性；（2）产品年平均需求确定且为常数；（3）不考虑缺货和数量折扣；（4）补货后产品可立即得到补充。
3.1参数
3.3模型
每种产品的补货周期Ti为基本补货周期的k；倍，即T=k*T，因此在间接分组策略下，补货周期相同的产品成为一组进行联合补货。产品i的补货数量为：
年订货总成本包括主要订货成本和次要订货成本，可表示为：
式（5）为模型的目标函数，表示总补货成本最小，由主要订货成本、次要订货成本、库存持有成本和运输成本组成。式（6）为资金约束，每次补货的订购费用不能超过资金预算。式（7）为运输能力约束。式（8）表示同种产品只能用同一辆车运输，不能分开运输；而式（9）限制了不能同时储存的产品必须分开运输。式（10）限制补货周期必须是正数，式（11）和式（12）表示补货周期乘子k是正整数，置。为0-1变量。
4模型计算
本文设计自适应混合差分进化算法对模型进行求解。差分进化算法（Differential Evolution algorithm，DE）是一种演化算法，从某一随机产生的初始种群开始，利用种群中随机选取的两个个体的差向量作为第三个个体的随机变化源，将差向量加权后按照一定的规则与第三个个体求和而产生变异个体，该操作称为变异。然后，变异个体与预先决定的目标个体进行参数混合，生成试验个体，这一过程称之为交叉。在目标个体与变异个体间选择适应度较优的个体保留到下一代种群，此操作称为选择。算法通过不断的迭代计算，保留优良个体，引导搜索过程向全局最优解逼近。算法的基本流程如图1所示。 目前需采购5种产品，可运输的车辆有2辆。产品1和4、2和5不能使用同一车辆运输，每辆车的运输能力均为4 000，每次补货的可用预算为30 000，固定订货成本为20，即I=2，N=2，△n=4 000，B=30 000，S=20，其余数据见表1。
采用本文提出的混合DE算法求解该算例，计算结果见表2。产品1、产品3和产品5用第一辆车运输，产品2和4用第二辆车运输，符合算例中的运输条件约束。产品2、3、5的补货周期即为基本补货周期T*，产品1的补货周期为2T*，而产品4的补货周期为3T*，其中T*=0.150 9（年）。该算例在此种补货方案下年总成本为71480.68元。
5模型分析
需求率Di、库存持有成本hi等模型参数的变化可能会对模型结果产生不同的影响。因此，本文基于单变量法对其进行敏感性分析，将DI和h；分别在上述算例基础上±10%、±20%、±30%、±40%，观察模型结果的变化情况，表3和表4分别为需求率和库存持有成本变化前后模型的结果对比。
表3所示为需求率发生变动时联合补货策略以及补货成本的变化情况。观察表3中数据发現，需求率对联合补货总成本具有较为明显的影响。当需求减小时，产品的周期乘子ki保持不变，而基本补货周期T随之增加，即减少补货次数。当需求增加时，基本补货周期T随之减小，意味着企业需更频繁地补货以满足客户不断增长的需求。需求的增长和减少自然地导致总成本的增加和降低，而需求减少带来的成本降低要大于需求增加而带来的成本增长，因此，在实际生产和采购管理中，合理准确的需求预测对于企业成本的节约具有重大意义。
表4所示为产品单位库存持有成本改变时联合补货策略以及补货成本的变化情况。从表3可直观地看出库存持有成本对总成本影响较小，而值得注意的是，当产品单位库存持有成本增大时，周期乘子ki保持不变，而基本补货周期随之减小，此时产品订购数量Q=DKT相应减少，在实际采购管理中体现为“少批量、多批次”的订货策略，以减少总库存持有成本。
综上所述，需求率Di和库存持有成本hi的变化均会对补货策略和补货成本产生一定程度的影响，且需求率对总补货成本的影响程度较大，而单位库存持有成本对补货总成本的影响相对较小。这两个参数并不会影响各产品的周期乘子ki而是通过影响基本补货周期T的值来影响补货策略，且参数的增加均使T减小，即补货作业更频繁。
6结论与展望
联合补货可以在一定程度上降低企业的采购成本，本文考虑资金约束、运输能力和运输条件等各方面的限制，构建了结合产品运输方案的联合补货模型，并设计混合差分进化算法对其进行求解。本文的主要工作可概括为以下三部分：首先，构建了资源约束和运输条件限制下的联合补货模型；其次，结合模型变量的特点设计了混合DE算法求解该模型；最后，对需求率和库存持有成本进行了敏感性分析，深入探究了这两个参数对补货策略和补货成本的影响。通过数据分析发现，需求率和库存持有成本的增加均会使补货总成本增大，且需求率的变化对补货成本的影响较大，因此，在实际的采购和生产中，准确的需求预测对企业成本的节约具有重要的意义。此外，需求率和库存持有成本的增加均会使基本补货周期使T减小，即补货作业更频繁。
本文在研究联合补货模型时考虑到资金约束、运输容量约束以及“部分产品不能同时运输”这一运输条件的限制，与已有研究相比更接近实际。后续研究将从以下方面展开：（1）考虑允许缺货情况下的联合补货问题；（2）在产品缺货的情况下，考虑允许产品替代的联合补货模型。