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一、“准对称”函数概念的引入
我们知道，若函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，则有f（a-x）=f（a x）（或f（x）=f（2a-x））.倘若引入二元变量x1，x2后，该命题又可表述为：若函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，则x1 x2=2af（x1）=f（x2）.比如常见的二次函数就具备了上述典型特征.
假设上述对称函数y=f（x）在直线x=a某一侧的图象发生了偏转或改变，此时得到新的函数y=g（x）的图象必然呈现非轴对称状态，于是就有：若x1 x2=2a，则g（x1）≠g（x2）；若g（x1）=g（x2），则x1 x2≠2a（即x1 x2>2a或x1 x2<2a成立）.
同理，若函数y=f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则有f（a-x） f（a x）=2b（或f（x） f（2a-x）=2b）.倘若引入二元变量x1，x2后，该命题又可表述为：若函数y=f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则x1 x2=2af（x1） f（x2）=2b.比如常见的正、反比例函数、三次函数等就具备了上述典型特征.
类似地，假设上述对称函数y=f（x）在点（a，b）某一侧的图象发生了偏转或改变，此时得到新的函数y=g（x）的图象必然呈现非中心对称状态，于是就有：若x1 x2=2a，则g（x1） g（x2）≠2b；若g（x1） g（x2）=2b，则x1 x2≠2a（即x1 x2>2a或x1 x2<2a成立）.
中学数学经常需要研究非对称函数的图象特征或数量关系，为了形象贴切、便于参照理解，我们有时可将某些非对称函数“近似地”当作“准对称”进行研究.比如，类比对称函数图象特征不妨引入以下“准对称”函数的相关概念：
若函数y=f（x）仅在x=a处取得极值，则直线x=a可视作y=f（x）的“准对称轴”；
类似地，若点（a，f（a））是单调函数y=f（x）的拐点（凸曲线与凹曲线的连接点），则点（a，f（a））可视作y=f（x）的“准对称中心”.
二、“准对称”函数问题的化解
基于对称函数存在着等量关系的特性，非对称函数相应存在着不等关系的数量特征，因而在非对称函数中蕴含了许多丰富的不等式问题、变量取值范围问题，近年来很多高考或质检的函数压轴试题经常以此为素材，综合考查同学们的创新能力和数学素养.非对称函数问题若能参照对称函数问题在“准对称”的状态下进行合理对照迁移，便可使我们清晰顺畅地追溯数学命题的本源，有利于我们把握数学问题的实质和关键所在，从而找准解题的切入点.
例1（2010天津理数）已知函数f（x）=xe-x（x∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）；
（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1 x2>2.
解析：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.第（1）小题由f′（x）=（1-x）e-x可得：f（x）的递增区间为（-∞，1），递减区间为（1， ∞），故其在x=1处取得极大值f（1）=1e；第（2）小题关键构造函数F（x）=f（x）-g（x），利用导数知识证明F（x）>0在（1， ∞）上恒成立；第（3）小题只要利用第（2）小题的不等式模型结合第（1）小题的函数单调性即可得证.
然而，对于这样一道典型的高考试题不应仅停留在就题解题上，假如本题没有第（2）小题作铺垫提示，恐怕第（3）小题很多人就无从下手了；但有了第（2）小题，则第（3）小题纯粹只剩下代换转化、变形整理等基本工作了.对于本题解答大多同学都是似懂非懂、云里雾里的被动接受.老师认为：掌握本题的关键应在于弄清问题产生的背景，实际上我们由第（1）小题结果以及函数值的符号、趋势，不难勾勒出函数f（x）=xe-x的图象（如图），图中直线x=1是函数f（x）=xe-x的“准对称轴”，由于“准对称轴”两边增减幅度不同，当f（x1）=f（x2）时，可直观得到：x1 x2>2，这就是第（2）、（3）小题的问题来源.
下面我们从代数角度分析证明思路：（根据已知条件，不妨预设x1∈（0，1），x2∈（1， ∞）.
x1 x2>2x1>2-x2（注意到x1，2-x2均小于1）
f（x1）>f（2-x2）（f（x）在（-∞，1）上单调递增）
f（x2）>f（2-x2）（已知f（x1）=f（x2））
f（x）>f（2-x）在（1， ∞）上成立
F（x）=f（x）-f（2-x）>0在（1， ∞）上成立.
于是解决问题的切入点转为常规的构造函数运用导数知识证明不等式恒成立问题.
点评：这种对照函数图象分析问题的方式或许更为自然合理、形象直观，尤其是对第（1）、（2）小题的设置缘由变得更加明朗清晰，从而让同学们站在更高层面审视数学问题的来龙去脉，同时也使本题解法更具主动性、深刻性和广阔性！另外，用“准对称”眼光看待函数图象，让普通的非对称函数曲线不再枯燥生硬，变得更为亲切贴近、更具美感灵气！
例2（2011年辽宁理21）已知函数f（x）=lnx-ax2 （2-a）x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a>0，证明：当0 f（1a x）>f（1a-x）；
（3）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）<0.
解析：本题与例1有着异曲同工之妙！ 先由f′（x）=1x-2ax 2-a=-（2x 1）（ax-1）x（x>0）得到：i）若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0， ∞）上单调递增；
ii）若a>0，f（x）在（0，1a）上单调递增；在（1a， ∞）上单调递减.
结合函数定义域及函数值变化趋势作出f（x）的示意图：
当a>0，图中直线x=1a是函数f（x）的“准对称轴”，由“准对称轴”两边增减幅度不同，可先直观“承认”第（2）小题中的不等关系，进而得到第（3）小题中两个零点x1，x2（02a，即x0>1a.再代入f′（x）=-（2x 1）（ax-1）x（x>0）中便可得f′（x0）<0.
于是第（3）小题可由第（2）小题中的结论等价得到：f（2a-x1）>f（x1）=f（x2），再结合f（x）在（1a， ∞）上单调递减证得x1 x2>2a，以此入手便可实现本题证明.
例3已知函数f（x）=lnx-ax，a为常数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，试证明：x1x2>e2.
解析：本题第（2）小题原始解答十分繁琐，让人摸不透问题的主线.其实由（1）求得：
i）若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0， ∞）上单调递增；
ii）若a>0，f（x）在（0，1a）上单调递增；在（1a， ∞）上单调递减.
当f（1a）>0即02a，即ax1 ax2>2.
再根据f（x1）=f（x2）=0替换为lnx1 lnx2>2，从而得到x1x2>e2.
点评：从上述高考典例可以看出：借助图形直观以及“准对称”的观点，可让我们形象感知数量不等关系在“准对称”函数模型中的客观存在和解题意义，大大降低了思维的抽象性和问题的门槛，并且这种“准对称”函数问题在近年高考函数压轴题型中崭露头角，方兴未艾，应引起我们足够的重视和关注！
例4已知函数f（x）=lnx 12x2-2x 32.
（1）若f′（x1）=f′（x2），求x1 x2的取值范围；
（2）若x1 x2=2，试判断f（x1） f（x2）的符号；
（3）若f（x1） f（x2）=0，求x1 x2的取值范围.
解析：由f′（x）=1x x-2=（x-1）2x≥0得函数f（x）在定义域（0， ∞）上单调递增，且注意到f′（x）在（0，1）上单调递减，在（1， ∞）上单调递增，于是函数f（x）的图象在（0，1）上呈上凸，在（1， ∞）上呈下凸，点P（1，0）是拐点（如图）.类似的，点P（1，0）是函数f（x）的“准对称中心”，由于点P（1，0）左右两边增速不同，可凭图形直观得到：
若x1 x2=2，则f（x1） f（x2）≤0（当且仅当x1=x2时取“=”）；
若f（x1） f（x2）=0，则x1 x2≥2（当且仅当x1=x2时取“=”）.
据此，可猜想第（3）小题中x1 x2的取值范围为[2， ∞）.理由可类比例1分析如下：
（根据已知条件，不妨预设x1∈（0，1]，x2∈[1， ∞））
x1 x2≥2x2≥2-x1（注意到x2，2-x1均不小于1）
f（x2）≥f（2-x1）（f（x）在[1， ∞）上单调递增）
-f（x1）≥f（2-x1）（已知f（x1） f（x2）=0）
-f（x）≥f（2-x）在（0，1]上成立
F（x）=f（x） f（2-x）≤0在（0，1]上成立.
利用导数知识可求得F（x）max=F（1）=0，从而上述猜想得证.
点评：老师主张借助函数图象以直观感知、形象对照为认识手段，在获得相关猜想的基础上再给出推理论证，这样做可以为同学们铺设合适的学习台阶，减少难度，又可以为同学们理解抽象的非对称函数性质提供有力的支撑，使“准对称”函数的学习过程通俗化、形象化，有助于培养同学们的数学核心思维能力，并逐步形成处理“准对称”函数问题的通性通法！
我们知道，若函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，则有f（a-x）=f（a x）（或f（x）=f（2a-x））.倘若引入二元变量x1，x2后，该命题又可表述为：若函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，则x1 x2=2af（x1）=f（x2）.比如常见的二次函数就具备了上述典型特征.
假设上述对称函数y=f（x）在直线x=a某一侧的图象发生了偏转或改变，此时得到新的函数y=g（x）的图象必然呈现非轴对称状态，于是就有：若x1 x2=2a，则g（x1）≠g（x2）；若g（x1）=g（x2），则x1 x2≠2a（即x1 x2>2a或x1 x2<2a成立）.
同理，若函数y=f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则有f（a-x） f（a x）=2b（或f（x） f（2a-x）=2b）.倘若引入二元变量x1，x2后，该命题又可表述为：若函数y=f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则x1 x2=2af（x1） f（x2）=2b.比如常见的正、反比例函数、三次函数等就具备了上述典型特征.
类似地，假设上述对称函数y=f（x）在点（a，b）某一侧的图象发生了偏转或改变，此时得到新的函数y=g（x）的图象必然呈现非中心对称状态，于是就有：若x1 x2=2a，则g（x1） g（x2）≠2b；若g（x1） g（x2）=2b，则x1 x2≠2a（即x1 x2>2a或x1 x2<2a成立）.
中学数学经常需要研究非对称函数的图象特征或数量关系，为了形象贴切、便于参照理解，我们有时可将某些非对称函数“近似地”当作“准对称”进行研究.比如，类比对称函数图象特征不妨引入以下“准对称”函数的相关概念：
若函数y=f（x）仅在x=a处取得极值，则直线x=a可视作y=f（x）的“准对称轴”；
类似地，若点（a，f（a））是单调函数y=f（x）的拐点（凸曲线与凹曲线的连接点），则点（a，f（a））可视作y=f（x）的“准对称中心”.
二、“准对称”函数问题的化解
基于对称函数存在着等量关系的特性，非对称函数相应存在着不等关系的数量特征，因而在非对称函数中蕴含了许多丰富的不等式问题、变量取值范围问题，近年来很多高考或质检的函数压轴试题经常以此为素材，综合考查同学们的创新能力和数学素养.非对称函数问题若能参照对称函数问题在“准对称”的状态下进行合理对照迁移，便可使我们清晰顺畅地追溯数学命题的本源，有利于我们把握数学问题的实质和关键所在，从而找准解题的切入点.
例1（2010天津理数）已知函数f（x）=xe-x（x∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）；
（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1 x2>2.
解析：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.第（1）小题由f′（x）=（1-x）e-x可得：f（x）的递增区间为（-∞，1），递减区间为（1， ∞），故其在x=1处取得极大值f（1）=1e；第（2）小题关键构造函数F（x）=f（x）-g（x），利用导数知识证明F（x）>0在（1， ∞）上恒成立；第（3）小题只要利用第（2）小题的不等式模型结合第（1）小题的函数单调性即可得证.
然而，对于这样一道典型的高考试题不应仅停留在就题解题上，假如本题没有第（2）小题作铺垫提示，恐怕第（3）小题很多人就无从下手了；但有了第（2）小题，则第（3）小题纯粹只剩下代换转化、变形整理等基本工作了.对于本题解答大多同学都是似懂非懂、云里雾里的被动接受.老师认为：掌握本题的关键应在于弄清问题产生的背景，实际上我们由第（1）小题结果以及函数值的符号、趋势，不难勾勒出函数f（x）=xe-x的图象（如图），图中直线x=1是函数f（x）=xe-x的“准对称轴”，由于“准对称轴”两边增减幅度不同，当f（x1）=f（x2）时，可直观得到：x1 x2>2，这就是第（2）、（3）小题的问题来源.
下面我们从代数角度分析证明思路：（根据已知条件，不妨预设x1∈（0，1），x2∈（1， ∞）.
x1 x2>2x1>2-x2（注意到x1，2-x2均小于1）
f（x1）>f（2-x2）（f（x）在（-∞，1）上单调递增）
f（x2）>f（2-x2）（已知f（x1）=f（x2））
f（x）>f（2-x）在（1， ∞）上成立
F（x）=f（x）-f（2-x）>0在（1， ∞）上成立.
于是解决问题的切入点转为常规的构造函数运用导数知识证明不等式恒成立问题.
点评：这种对照函数图象分析问题的方式或许更为自然合理、形象直观，尤其是对第（1）、（2）小题的设置缘由变得更加明朗清晰，从而让同学们站在更高层面审视数学问题的来龙去脉，同时也使本题解法更具主动性、深刻性和广阔性！另外，用“准对称”眼光看待函数图象，让普通的非对称函数曲线不再枯燥生硬，变得更为亲切贴近、更具美感灵气！
例2（2011年辽宁理21）已知函数f（x）=lnx-ax2 （2-a）x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a>0，证明：当0
（3）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）<0.
解析：本题与例1有着异曲同工之妙！ 先由f′（x）=1x-2ax 2-a=-（2x 1）（ax-1）x（x>0）得到：i）若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0， ∞）上单调递增；
ii）若a>0，f（x）在（0，1a）上单调递增；在（1a， ∞）上单调递减.
结合函数定义域及函数值变化趋势作出f（x）的示意图：
当a>0，图中直线x=1a是函数f（x）的“准对称轴”，由“准对称轴”两边增减幅度不同，可先直观“承认”第（2）小题中的不等关系，进而得到第（3）小题中两个零点x1，x2（0
于是第（3）小题可由第（2）小题中的结论等价得到：f（2a-x1）>f（x1）=f（x2），再结合f（x）在（1a， ∞）上单调递减证得x1 x2>2a，以此入手便可实现本题证明.
例3已知函数f（x）=lnx-ax，a为常数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，试证明：x1x2>e2.
解析：本题第（2）小题原始解答十分繁琐，让人摸不透问题的主线.其实由（1）求得：
i）若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（0， ∞）上单调递增；
ii）若a>0，f（x）在（0，1a）上单调递增；在（1a， ∞）上单调递减.
当f（1a）>0即0
再根据f（x1）=f（x2）=0替换为lnx1 lnx2>2，从而得到x1x2>e2.
点评：从上述高考典例可以看出：借助图形直观以及“准对称”的观点，可让我们形象感知数量不等关系在“准对称”函数模型中的客观存在和解题意义，大大降低了思维的抽象性和问题的门槛，并且这种“准对称”函数问题在近年高考函数压轴题型中崭露头角，方兴未艾，应引起我们足够的重视和关注！
例4已知函数f（x）=lnx 12x2-2x 32.
（1）若f′（x1）=f′（x2），求x1 x2的取值范围；
（2）若x1 x2=2，试判断f（x1） f（x2）的符号；
（3）若f（x1） f（x2）=0，求x1 x2的取值范围.
解析：由f′（x）=1x x-2=（x-1）2x≥0得函数f（x）在定义域（0， ∞）上单调递增，且注意到f′（x）在（0，1）上单调递减，在（1， ∞）上单调递增，于是函数f（x）的图象在（0，1）上呈上凸，在（1， ∞）上呈下凸，点P（1，0）是拐点（如图）.类似的，点P（1，0）是函数f（x）的“准对称中心”，由于点P（1，0）左右两边增速不同，可凭图形直观得到：
若x1 x2=2，则f（x1） f（x2）≤0（当且仅当x1=x2时取“=”）；
若f（x1） f（x2）=0，则x1 x2≥2（当且仅当x1=x2时取“=”）.
据此，可猜想第（3）小题中x1 x2的取值范围为[2， ∞）.理由可类比例1分析如下：
（根据已知条件，不妨预设x1∈（0，1]，x2∈[1， ∞））
x1 x2≥2x2≥2-x1（注意到x2，2-x1均不小于1）
f（x2）≥f（2-x1）（f（x）在[1， ∞）上单调递增）
-f（x1）≥f（2-x1）（已知f（x1） f（x2）=0）
-f（x）≥f（2-x）在（0，1]上成立
F（x）=f（x） f（2-x）≤0在（0，1]上成立.
利用导数知识可求得F（x）max=F（1）=0，从而上述猜想得证.
点评：老师主张借助函数图象以直观感知、形象对照为认识手段，在获得相关猜想的基础上再给出推理论证，这样做可以为同学们铺设合适的学习台阶，减少难度，又可以为同学们理解抽象的非对称函数性质提供有力的支撑，使“准对称”函数的学习过程通俗化、形象化，有助于培养同学们的数学核心思维能力，并逐步形成处理“准对称”函数问题的通性通法！