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摘 要：上海的私家车牌照采用拍卖的形式，竞争激烈，千金难求，因此研究拍卖价格的变动趋势对沪牌价格预测具有较高的现实意义。车牌拍卖价格序列符合时间序列的性质，ARIMA模型根据历史信息和变动趋势对未来信息进行预测，能较好地把握时间序列的动态规律。因此，首先通过ARIMA模型拟合沪牌往期拍卖价格，得出沪牌价格的变动趋势。此外，沪牌拍卖价格不仅与历史信息有关，还受到外部回归量的影响，在ARIMA模型的基础上，首次加入两个外部回归量，即中标率和警示价，从而得到基于外部回归量的ARIMA模型。通过对预测结果的对比分析，利用历史数据对沪牌价格进行拟合，预测结果和实际值十分接近，能够有效地预测沪牌价格，且相对于传统ARIMA模型，基于外部回归量的ARIMA模型的预测效果更好。
关键词：ARIMA模型;外部回归量;中标率;警示价;沪牌;价格预测
中图分类号：F224 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2021）10-0086-05
随着时代的进步，经济的快速增长，私家车逐渐成为家庭必需品，对车牌的需求也随之激增，上海作为国内最大的一线城市，采用拍卖竞争的规则来发售车牌，每个月的拍卖都异常激烈，而上海生活节奏快，人们往往没有过多的精力去持续关注车牌价格的变动，无法准确预测车牌的拍卖价格，导致竞拍失败，车牌拍卖逐渐成为社会关注的热点问题。因此，对上海拍照拍卖价格的预测研究具有较高的现实意义。目前沪牌价格预测的相关研究很少，臧其事利用神经网络模型预测沪牌拍卖价格，得到其在长期内呈现上涨趋势的结论[1];龚晓和郭进利基于沪牌拍卖的历史价格，利用三次指数平滑对沪牌牌价格进行预测，同时研究了投放数量、投标人数和历史数据与车牌月平均价格的相关性，在短期内预测效果较好[2]。
本文在前人工作的基础上，利用理论分析和实证分析相结合，研究上海车牌的价格预测问题。首先构建ARIMA模型，研究历史价格对沪牌价格预测的情况;其次，加入两个外部回归量：警示价和中标率，对模型进行改进;最后，对比两种方法的预测效果，发现加入外部回归量的ARIMA模型的预测误差更小，效果更好，对沪牌拍卖的价格预测具有一定的指导作用。
一、理论基础与问题描述
ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average model）模型，即自回归积分滑动平均模型，是博克斯（Geogre E.P.Box）和詹金斯（Gwilym M.Jenkins）于1968年所提出的一种时序分析模型[3～5]。ARIMA模型假定事物的变化符合渐进过程，过去的变动状况是影响事物未来走势的重要因素，而当前和未来因素的影响则微乎其微，因此可根据时间序列的历史信息和确定趋势来预测未来的信息。该模型的基本原理是：构成时序的单个序列值虽然具有不确定，但在剔除掉随机影响因素后，整个序列的变动趋势具有一定的规律性，可以研究序列变动的特点和规律，并以此对未来进行预测分析。该模型存在一定的缺陷，只适用于短期预测，若使用该模型进行长期预测，则预测误差将会比较大。国内外应用ARIMA模型的文献和案例较为丰富，肖龙阶和仲伟俊利用ARIMA模型对我国1997年以来大庆石油价格进行拟合，模拟预测值与实际值的误差很小，短期预测效果良好[3];刘红梅利用ARIMA模型，提出了股票价格序列的一步动态预测方法，预测股价的短期走势[4];Ohyver和Pudjihastuti利用ARIMA模型预测稻米的价格，以对稻米市场进行监督和控制[5];Birylo等利用ARIMA分析了水预算的预测准确性[6];但目前未有文献将ARIMA模型应用于车牌拍卖价格的研究。
上海车牌拍卖的按照“价格优先，时间优先”的规则成交，拍卖时限为60分钟，拍卖过程可分为两个时段，前30分钟为“首次出价时段”，所有竞标者在不超过当月警示价的情况下，自由出价，出价成功后，系统会根据所有竞拍者的出价，从高到低进行排序，假设当月共M个竞拍者，共发放N张牌照（M>N），当时的最低成交价，即为第N个价格;后30分钟为“修改出价阶段”，竞拍者在第一阶段所确定的最低成交价的基础上修改，竞拍者可以根据自己的预估修改出价，修改幅度必须是100元的整数，最大幅度为9 900元，每位竞拍者有2次修改机会，此阶段系统会给出目前接受的出价区间，为最低成交价的正负300，修改后的价格应在此区间内，否则出价失败。在出价截至时，系统根据最后确定的出价排序，确定最低成交价格，从高到低依次中标。“价格优先”是指投标出价大于最低成交价，优先成交，即中标者时最终出价中的前N位優先中标;当投标出价金额正好等于最低成交价格时，则按照“时间优先”的原则，出价时间早的投标人优先中标[7]。对于竞拍者来说，出价过程复杂且面临许多不确定性，影响上海车牌当期拍卖价格的主要因素有车牌投放数量、投标人数、警示价以及历史价格，如何有效地预测上海车牌的平均价格，具有很强的现实意义。
本文主要使用两种方式对沪牌价格进行预测，分别是ARIMA模型和加入外部回归量的ARIMA模型。
ARIMA模型的形式为：
考虑到外部因素的影响，加入外部回归量后，改进得到的基于外部回归量的ARIMA模型为：
二、数据预处理
沪牌拍卖每月进行一次，故本文选取了上海车牌拍卖的月平均成交价，考虑到早期的拍卖政策变动和数据的时效性，本文选取时间从2008年1月至2019年6月，共136个样本数据作为时间序列。由于警示价是2013年4月才开始列入拍卖规则，因此中标率和警示价选取了2013年4月至2019年6月的数据，共74个样本数据，数据来源于上海本地宝数据库。上海私家车牌照拍卖平均价格、竞拍人数及中标率变动趋势如图1和图2所示，可以发现，上海的私家车牌照拍卖的平均价格，随着时间的推移，呈逐步上升的趋势，这说明，随着生活水平的提高，人们对私家车牌照的需求在日益增加，间接导致车牌价格的不断增长;竞拍人数随时间推移不断增加，而上海私家车牌照的中标率却在2013年以后急剧下降，目前稳定在3%～7%。这说明，上海的私家车拍照面临供不应求的局面，超低的中标率进一步加大了竞拍者面临的拍卖压力和难度。基于此，本文对历史数据进行标准化处理，消除量纲影响，分别使用ARIMA模型和基于外部回归量的ARIMA模型拟合数据，对上海2019年下半年和2020年初的车牌月平均拍卖价格进行预测。 三、实证分析
（一）传统ARIMA模型
首先利用R软件绘制原始数据月平均成交价的时序图，从图3中可以看出，月平均成交价序列具有递增的趋势，且为非平稳序列，因此需对该序列进行差分处理，一阶差分后如图4所示，可以看出差分后的序列近似平稳，均值在0附近震荡。时序图只能对数据的序列平稳性进行粗略判断，本文进一步采用单位根检验法，对一阶差分后的数据进行检验，通过ADF检验，得到的p值小于显著水平。因此，该序列已经达到平稳状态，差分阶数d=1。
通过R编程得到ACF自相关图和PACF偏自相关图[8]，由图5可以看出，自相关图和偏自相关图均具有截尾性，且均在滞后3阶时截尾，后续的序列均在误差范围内。因此，可以确定自相关和偏自相关的阶数分别为3，模型确定为ARIMA（3，1，3）。利用数据进行拟合可得ARIMA（3，1，3）的参数，带入可得模型为：
（二）加入外部回归量的ARIMA模型
由于警示价是自2013年4月才列入拍卖规则，因此采用2013年4月至2018年11月的数据，在传统ARIMA模型的基础上加入警示价和中标率对模型进行拟合，可得模型为：
其中，X1为外部回归量——上月沪牌中标率，X2为外部回归量——当月的警示价，Yt为第t期的月平均成交价，？着t为第t期的扰动项。通过Ljung-Box检验P值等于0.976，大于显著性水平，说明该模型有效，可以进行下一步预测。
（三）模型的预测及效果分析
基于上述参数估计和模型的检验结果，利用带外部回归量ARIMA（3，1，3）模型对2018年12月至2019年11月的月平均成交价进行预测，通过计算，月平均成交价的预测值和实际值的比较如表1所示;使用传统的ARIMA（3，1，3）模型进行预测，结果如下页表2所示，两种模型的预测效果对比如下页图6所示。
从短期时间的预测结果可以看出，基于外部回歸量的ARIMA模型所得的预测值与实际值绝对误差较小，相对误差均控制在0.65%以内，平均相对误差仅为0.39%;传统的ARIMA模型的预测效果在短时间内（2019年7—12月）较好，其中一部分原因是2019年整年的警示价相同，但由于在2020年1月警示价发生了变化，导致实际值发生了跳跃，传统的ARIMA模型未将中标率和警示价这两个外部回归量考虑在内，从而导致此后一系列预测值与实际值相差较大，不能准确地预测车牌价格。对比分析，加入外部回归量的ARIMA模型更有效，能提高预测的准确度，更好地对车牌拍卖提供参考价值。
四、结论与展望
本文分别应用了传统的ARIMA模型和加入外部回归量的ARIMA模型对沪牌拍卖价格的预测进行了研究，利用历史价格、中标率和警示价对模型进行拟合。结果表明，传统的ARIMA模型在短期内（在同一年份警示价保持不变时）的预测效果较好，但如果警示价发生变动，如果不加入外部回归量，长期的预测误差较大。而加入外部回归量后的ARIMA模型预测的准确度较高，相对误差稳定在0.65%以内，可以应用此模型预测沪牌价格，为车牌拍卖过程中的出价环节提供参考。此外，本文只考虑了中标率和警示价两个外部回归量，实际的车牌拍卖过程复杂，政策变动、竞拍者的心理活动等因素均会对车牌均价产生影响，在后续的研究中可以引入合理的测度方法，对上海车牌均价预测进行更深入的研究。
参考文献：
[1] 臧其事.基于神经网路的上海车牌价格预测模型[J].科技情报开发与经济，2008，（2）：94-96.
[2] 龚晓，郭进利.基于三次指数平滑法的沪牌拍卖月均价预测[J].上海理工大学学报，2018，（1）：27-32.
[3] 肖龙阶，仲伟俊.基于ARIMA模型的我国石油价格预测分析[J].南京航空航天大学学报：社会科学版，2009，（4）：41-46.
[4] 刘红梅.ARIMA模型在股票价格预测中的应用[J].广西轻工业，2008，（6）：92-93.
[5] Margaretha Ohyver，Herena Pudjihastuti.Arima Model for Forecasting the Price of Medium Quality Rice to Anticipate Price Fluctuations[J].Procedia Computer Science，2018，（135）：707-711.
[6] M.Birylo，Z.Rzepecka，J.Kuczynska-Siehien，J.Nastula.Analysis of water budget prediction accuracy using ARIMA models[J].Water Science & Technology：Water Supply，2018，（3）：156-159.
[7] 罗维.多物品拍卖理论及其在车牌拍卖中的应用[D].上海：上海交通大学，2008.
[8] Ruey S.Tsay.The introduction to analysis of financial data with R[M].北京：机械工业出版社，2013.
[责任编辑 辰 敏]
关键词：ARIMA模型;外部回归量;中标率;警示价;沪牌;价格预测
中图分类号：F224 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2021）10-0086-05
随着时代的进步，经济的快速增长，私家车逐渐成为家庭必需品，对车牌的需求也随之激增，上海作为国内最大的一线城市，采用拍卖竞争的规则来发售车牌，每个月的拍卖都异常激烈，而上海生活节奏快，人们往往没有过多的精力去持续关注车牌价格的变动，无法准确预测车牌的拍卖价格，导致竞拍失败，车牌拍卖逐渐成为社会关注的热点问题。因此，对上海拍照拍卖价格的预测研究具有较高的现实意义。目前沪牌价格预测的相关研究很少，臧其事利用神经网络模型预测沪牌拍卖价格，得到其在长期内呈现上涨趋势的结论[1];龚晓和郭进利基于沪牌拍卖的历史价格，利用三次指数平滑对沪牌牌价格进行预测，同时研究了投放数量、投标人数和历史数据与车牌月平均价格的相关性，在短期内预测效果较好[2]。
本文在前人工作的基础上，利用理论分析和实证分析相结合，研究上海车牌的价格预测问题。首先构建ARIMA模型，研究历史价格对沪牌价格预测的情况;其次，加入两个外部回归量：警示价和中标率，对模型进行改进;最后，对比两种方法的预测效果，发现加入外部回归量的ARIMA模型的预测误差更小，效果更好，对沪牌拍卖的价格预测具有一定的指导作用。
一、理论基础与问题描述
ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average model）模型，即自回归积分滑动平均模型，是博克斯（Geogre E.P.Box）和詹金斯（Gwilym M.Jenkins）于1968年所提出的一种时序分析模型[3～5]。ARIMA模型假定事物的变化符合渐进过程，过去的变动状况是影响事物未来走势的重要因素，而当前和未来因素的影响则微乎其微，因此可根据时间序列的历史信息和确定趋势来预测未来的信息。该模型的基本原理是：构成时序的单个序列值虽然具有不确定，但在剔除掉随机影响因素后，整个序列的变动趋势具有一定的规律性，可以研究序列变动的特点和规律，并以此对未来进行预测分析。该模型存在一定的缺陷，只适用于短期预测，若使用该模型进行长期预测，则预测误差将会比较大。国内外应用ARIMA模型的文献和案例较为丰富，肖龙阶和仲伟俊利用ARIMA模型对我国1997年以来大庆石油价格进行拟合，模拟预测值与实际值的误差很小，短期预测效果良好[3];刘红梅利用ARIMA模型，提出了股票价格序列的一步动态预测方法，预测股价的短期走势[4];Ohyver和Pudjihastuti利用ARIMA模型预测稻米的价格，以对稻米市场进行监督和控制[5];Birylo等利用ARIMA分析了水预算的预测准确性[6];但目前未有文献将ARIMA模型应用于车牌拍卖价格的研究。
上海车牌拍卖的按照“价格优先，时间优先”的规则成交，拍卖时限为60分钟，拍卖过程可分为两个时段，前30分钟为“首次出价时段”，所有竞标者在不超过当月警示价的情况下，自由出价，出价成功后，系统会根据所有竞拍者的出价，从高到低进行排序，假设当月共M个竞拍者，共发放N张牌照（M>N），当时的最低成交价，即为第N个价格;后30分钟为“修改出价阶段”，竞拍者在第一阶段所确定的最低成交价的基础上修改，竞拍者可以根据自己的预估修改出价，修改幅度必须是100元的整数，最大幅度为9 900元，每位竞拍者有2次修改机会，此阶段系统会给出目前接受的出价区间，为最低成交价的正负300，修改后的价格应在此区间内，否则出价失败。在出价截至时，系统根据最后确定的出价排序，确定最低成交价格，从高到低依次中标。“价格优先”是指投标出价大于最低成交价，优先成交，即中标者时最终出价中的前N位優先中标;当投标出价金额正好等于最低成交价格时，则按照“时间优先”的原则，出价时间早的投标人优先中标[7]。对于竞拍者来说，出价过程复杂且面临许多不确定性，影响上海车牌当期拍卖价格的主要因素有车牌投放数量、投标人数、警示价以及历史价格，如何有效地预测上海车牌的平均价格，具有很强的现实意义。
本文主要使用两种方式对沪牌价格进行预测，分别是ARIMA模型和加入外部回归量的ARIMA模型。
ARIMA模型的形式为：
考虑到外部因素的影响，加入外部回归量后，改进得到的基于外部回归量的ARIMA模型为：
二、数据预处理
沪牌拍卖每月进行一次，故本文选取了上海车牌拍卖的月平均成交价，考虑到早期的拍卖政策变动和数据的时效性，本文选取时间从2008年1月至2019年6月，共136个样本数据作为时间序列。由于警示价是2013年4月才开始列入拍卖规则，因此中标率和警示价选取了2013年4月至2019年6月的数据，共74个样本数据，数据来源于上海本地宝数据库。上海私家车牌照拍卖平均价格、竞拍人数及中标率变动趋势如图1和图2所示，可以发现，上海的私家车牌照拍卖的平均价格，随着时间的推移，呈逐步上升的趋势，这说明，随着生活水平的提高，人们对私家车牌照的需求在日益增加，间接导致车牌价格的不断增长;竞拍人数随时间推移不断增加，而上海私家车牌照的中标率却在2013年以后急剧下降，目前稳定在3%～7%。这说明，上海的私家车拍照面临供不应求的局面，超低的中标率进一步加大了竞拍者面临的拍卖压力和难度。基于此，本文对历史数据进行标准化处理，消除量纲影响，分别使用ARIMA模型和基于外部回归量的ARIMA模型拟合数据，对上海2019年下半年和2020年初的车牌月平均拍卖价格进行预测。 三、实证分析
（一）传统ARIMA模型
首先利用R软件绘制原始数据月平均成交价的时序图，从图3中可以看出，月平均成交价序列具有递增的趋势，且为非平稳序列，因此需对该序列进行差分处理，一阶差分后如图4所示，可以看出差分后的序列近似平稳，均值在0附近震荡。时序图只能对数据的序列平稳性进行粗略判断，本文进一步采用单位根检验法，对一阶差分后的数据进行检验，通过ADF检验，得到的p值小于显著水平。因此，该序列已经达到平稳状态，差分阶数d=1。
通过R编程得到ACF自相关图和PACF偏自相关图[8]，由图5可以看出，自相关图和偏自相关图均具有截尾性，且均在滞后3阶时截尾，后续的序列均在误差范围内。因此，可以确定自相关和偏自相关的阶数分别为3，模型确定为ARIMA（3，1，3）。利用数据进行拟合可得ARIMA（3，1，3）的参数，带入可得模型为：
（二）加入外部回归量的ARIMA模型
由于警示价是自2013年4月才列入拍卖规则，因此采用2013年4月至2018年11月的数据，在传统ARIMA模型的基础上加入警示价和中标率对模型进行拟合，可得模型为：
其中，X1为外部回归量——上月沪牌中标率，X2为外部回归量——当月的警示价，Yt为第t期的月平均成交价，？着t为第t期的扰动项。通过Ljung-Box检验P值等于0.976，大于显著性水平，说明该模型有效，可以进行下一步预测。
（三）模型的预测及效果分析
基于上述参数估计和模型的检验结果，利用带外部回归量ARIMA（3，1，3）模型对2018年12月至2019年11月的月平均成交价进行预测，通过计算，月平均成交价的预测值和实际值的比较如表1所示;使用传统的ARIMA（3，1，3）模型进行预测，结果如下页表2所示，两种模型的预测效果对比如下页图6所示。
从短期时间的预测结果可以看出，基于外部回歸量的ARIMA模型所得的预测值与实际值绝对误差较小，相对误差均控制在0.65%以内，平均相对误差仅为0.39%;传统的ARIMA模型的预测效果在短时间内（2019年7—12月）较好，其中一部分原因是2019年整年的警示价相同，但由于在2020年1月警示价发生了变化，导致实际值发生了跳跃，传统的ARIMA模型未将中标率和警示价这两个外部回归量考虑在内，从而导致此后一系列预测值与实际值相差较大，不能准确地预测车牌价格。对比分析，加入外部回归量的ARIMA模型更有效，能提高预测的准确度，更好地对车牌拍卖提供参考价值。
四、结论与展望
本文分别应用了传统的ARIMA模型和加入外部回归量的ARIMA模型对沪牌拍卖价格的预测进行了研究，利用历史价格、中标率和警示价对模型进行拟合。结果表明，传统的ARIMA模型在短期内（在同一年份警示价保持不变时）的预测效果较好，但如果警示价发生变动，如果不加入外部回归量，长期的预测误差较大。而加入外部回归量后的ARIMA模型预测的准确度较高，相对误差稳定在0.65%以内，可以应用此模型预测沪牌价格，为车牌拍卖过程中的出价环节提供参考。此外，本文只考虑了中标率和警示价两个外部回归量，实际的车牌拍卖过程复杂，政策变动、竞拍者的心理活动等因素均会对车牌均价产生影响，在后续的研究中可以引入合理的测度方法，对上海车牌均价预测进行更深入的研究。
参考文献：
[1] 臧其事.基于神经网路的上海车牌价格预测模型[J].科技情报开发与经济，2008，（2）：94-96.
[2] 龚晓，郭进利.基于三次指数平滑法的沪牌拍卖月均价预测[J].上海理工大学学报，2018，（1）：27-32.
[3] 肖龙阶，仲伟俊.基于ARIMA模型的我国石油价格预测分析[J].南京航空航天大学学报：社会科学版，2009，（4）：41-46.
[4] 刘红梅.ARIMA模型在股票价格预测中的应用[J].广西轻工业，2008，（6）：92-93.
[5] Margaretha Ohyver，Herena Pudjihastuti.Arima Model for Forecasting the Price of Medium Quality Rice to Anticipate Price Fluctuations[J].Procedia Computer Science，2018，（135）：707-711.
[6] M.Birylo，Z.Rzepecka，J.Kuczynska-Siehien，J.Nastula.Analysis of water budget prediction accuracy using ARIMA models[J].Water Science & Technology：Water Supply，2018，（3）：156-159.
[7] 罗维.多物品拍卖理论及其在车牌拍卖中的应用[D].上海：上海交通大学，2008.
[8] Ruey S.Tsay.The introduction to analysis of financial data with R[M].北京：机械工业出版社，2013.
[责任编辑 辰 敏]