导数是新教材中增加的内容，它在研究函数的变化率，解决函数的单调性及极值（最值）等问题时能为学生提供一种有效的途径和较简便的手段，但在具体应用时，也应熟悉并理解以下几个关系，以防出错。
　　
　　一、需明确导数与切线斜率的关系
　　
　　导数的几何意义指出：函数在某点处的切线斜率即为函数在该点处的导数值。但利用该几何意义求曲线的切线方程时，要注意对切点位置的具体分析。
　　1.要检验在“某点处”中的“某点”是否在曲线上。
　　例1：求y=3x -4x+2过点M（0，0）的切线方程。
　　错解：f′（x）=6x-4，y′| =-4，所以切线方程为y=-4x。
　　分析：此题中（0，0）不在曲线上，应先设出切点坐标，再解之。
　　正解：设切点坐标为A（x ，y ），
　　由导数几何意义知：切线斜率为6x -4，所以6x -4= （1）
　　又A在曲线上，故3x-4x +2=y （2）
　　由（1）（2）联立解之得：x =± ，所以切点坐标为（ ， ）或（- ， ），所以切线方程为y=（2 -4）x或y=-（2 +4）x。
　　2.要注意区分“在点处”与“过点处”求曲线方程时的区别，其中在点处的点必为切点，过点处的点不一定是切点，在解题时要注意审题，加以区别。
　　例2：已知函数f（x）=x -x+2，试问：过点P（1，2）的曲线y=f（x）的切线有几条？如果是一条，写出该切线的方向向量；如果是两条，求出两直线的夹角；如果是三条，写出直线方程。
　　解：设切点为P （x ，y ），
　　∵f′（x）=3x -1，∴切线斜率为f′（x ）=3x-1，
　　过P 的切线方程为：y-y =（3x-1）（x-x ）。
　　将P（1，2）代入得：2-（x-x +2）=（3x-1）（1-x ）
　　∴（x -1） （2x +1）=0，
　　∴x =- 或x =1。
　　∴过P的切线有两条，切点为（- ， ）和（1，2），斜率为f′（- ）=- ，f′（1）=2，
　　∴tanα=| |= ，∴α=arctan 。
　　
　　二、需明确导数与函数单调性的关系
　　
　　人教版数学第三册（选修1）上给出：设函数y=f（x）在某个区间内有导数，如果在此区间内f′（x）＞0，则f（x）在此区间内为增函数，如果f′（x）＜0，则f（x）在此区间内为减函数。要用导数判断好函数的单调性，除掌握以上依据外，还应明确以下两点：
　　1.f′（x）＞0与f（x）为增函数的关系
　　由上知，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，但反之不一定。如f（x）=x 在（-∞，+∞）上为增函数，但f′（x）≥0，∴f′（x）＞0是f（x）为增函数的充分不必要条件。
　　2.f′（x）≥0与f（x）为增函数的关系
　　由上分析：f（x）为增函数，则一定可推出f′（x）≥0，但反之亦不成立。
　　因为f′（x）≥0为f′（x）＞0或f′（x）=0，两者有一成立即可，当函数f（x）在某区间内恒有f′（x）=0时，即f（x）为常数函数，此时f（x）就不具备单调性，∴f′（x）≥0为f（x）是增函数的必要不充分条件。
　　例3：已知函数f（x）= -（4m-1）x +（15m -2m-7）x+2在R上为增函数，则m的取值范围为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇。
　　点评：此题在教学过程中，学生多从f′（x）＞0出发，得：x -2（4m-1）x+15m -2m-7＞0对x∈R恒成立，即Δ＜0，∴m∈（2，4）。
　　事实上，由以上两点可知，此处应f′（x）≥0，即Δ≤0，故最后m∈［2，4］。
　　函数的单调性为函数的一条重要性质，我们一定要理解好以上两个关系，用导数判断好函数的单调性。
　　
　　三、需明确导数与极值的关系
　　
　　利用导数求极值可分为三步：
　　1.求导数f′（x）；
　　2.求方程f′（x）=0的根；
　　3.检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右两边的符号，确定极值。
　　例4：导数f（x）=（x -1） +2的极值点为（）
　　（A）x=1?摇?摇（B）x=-1?摇?摇（C）x=-1，1或0?摇?摇（D）x=0
　　点评：学生解答时较多选择了C，解答如下：
　　f（x）=x -3x +3x +1，f′（x）=6x -12x +6x=6x（x -1） ，
　　∵f′（x）=0，
　　∴x =0，x =1，x =-1；
　　故选择C。
　　但事实上，在x =1，x =-1处，f′（x）左右两边符号未发生变化，所以1，-1不是函数f（x）的极值点，答案为D。
　　所以，在这里我们需明确，函数在某处取得极值，则函数在此处导数必等于0；反之，若导数在某处值为零，则函数在该处不一定取得极值，还需进一步检验f′（x）在f′（x）=0的根的左右两边的符号变化。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”