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【摘要】 几何教学中的留白可以促进学生思维的发展，也可以激发学生学习主动性。教师应该适当地运用留白艺术：新课开始时用留白创设情境、讲解题例时用留白激发思考、课后小结时用留白促进反思、订正错题时用留白举一反三，从而体现学生的主体作用，也是高超教学艺术的一种展示。
【关键词】 初中数学 课堂教学 留白艺术
【中图分类号】 G421 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2013）02（b）-0142-02
留白是中国画的一种重要的技法，是一种“超然象外”的艺术形象。比如齐白石画虾时，只是用笔稍作点化，纸上初看只是几点小墨，而整体观察起来，一只只栩栩如生的虾早已跃然纸上。日常生活中，我们去一个陌生地方，不论网上地图怎么详细，打听的时候别人说得再仔细，心里总是没底，只有自己亲身去过一次，这条路在脑子里就有清晰的概念了。
“数学是训练思维的体操”，以学生为主体的学习过程就是亲身前往的过程，边走边思考，印象深刻，因为有自已的思维体验在里面。几何教学中较多的思维论证过程，光靠教师的灌输是难以实现理想的效果的，我们的课堂训练要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等活动，实现以静制动，以看似平静的课堂气氛营造积极思考的训练实效，从而实现“此时无声胜有声”的效果。
1 情境导入设留白，实现思维的启航
笔者发现，近几年来，我们的教师总是习惯于用一大堆问题来让学生讨论，过去的满堂灌逐渐被现在的满堂问所替代，究其实，还是没有抓住学生的主体探究。拿图形的对称性这一知识点来说，由于小学已经有过这方面的学习，初中生学习这块内容并不难，但我们的老师还是不断提一些关于对称的问题，最终还是把学生的学习热情消耗在教师的提问之下。其实这块内容的学习只要让学生在小学的基础上加深印象并掌握一些基本技能即可，也并没有必要让学生来回答。
苏联著名的教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不讲的东西，就好比学生思维的引爆器，马上使学生在思维中出现问题，而思维的碰撞会使学生思维翱翔在更高更远的数学殿堂上。”课堂留白艺术在这方面就起到了独特的作用。
案例1
在学习对称图形的时候，教师出示如下任务：
首先同学们在生活中寻找圆形的物品，想办法描出一个圆形的轮廓；第二，引导同学们把自己画出的圆形裁剪下来；第三，同学们动手把自己的圆折叠，要求重合；第四，画出重合的折叠线——对称轴；第五，同学们思考，这条对称轴是唯一的吗，还能不能再画几条；第六，所有的对称轴的共同特征；最后，通过题目总结圆对称的特点。
评析：上述教学导入，没有华丽的情景，也不用繁琐的提问，有的只是学生的自主探究与交流，教师只在学生中间“闲庭信步”。把机会让给学生，自然可以引发学生向数学知识更深更广的时间、空间范围内做探究。
2 巩固知识用留白，引发经验的激活
著名的数学家阿基米德说过：“给我一个支点，我可以把整个地球撬起。”数学教师在课堂教学中的知识讲解与适当留白，就是为学生提供一个展示自我的支点。留白就是为学生枯燥的数学学习中留出展示自我的机会，学生在这其中爆发出的创造能力与智慧火花定会让人惊喜，因为学生的数学学习潜力是无限的。
案例2 教学三角形这块知识时，为了让学生能巩固下旧知识，一教师布置如下任务：
（1）绘制锐角三角形与钝角三角形，总结三角形的一般特征；（2）画出并裁剪特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、直角等腰三角形；（3）通过折叠研究三角形的角平分线、高，以及特殊三角形的对称性与其他基本特征。
评析：三角形的知识点多，很多都是小学学过的基础知识，如果都由教师一一讲解，也许条理会更清楚，学生听起来也比较轻松。但是很可能印象不深，听过就忘。而采取诱导方式，一步步给学生留出充足的琢磨时间与空间，也许所花时间较多，却既能促使学生主动探索，又能激发学生的学习兴趣。很多三角形的知识点都是在学生动手摸索、自我总结的过程中慢慢得出，层层消化，与学生原有的知识结构内化为一体，而不是由教师讲解所得。这样步步深入、处处留白，给学生一种追随挖掘的欲望，使学生的思维在数学课堂上始终处于活跃状态，思路开阔主动参与。在层层深入的过程中，由浅到深、由易到难，逐渐进入新课程内容的学习。
3 讲解题例有留白，享受创新的乐趣
数学知识点的掌握总是通过题例的演练来落实的。例题一般是教师在备课时就已经选择好，演算步骤也是早已一步步安排得当。但是学生是一个能动性很强的主体，在例题演算的过程中不同思维方式会碰撞出火花，这是我们可以采用教师中规中矩的步骤作为讲解的主轴，而学生的其他解题方式作为题例解题思路的留白，留与学生进一步的讨论空间，激发他们的独立思维。
案例3 四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G。求证：∠E=∠F
题目中四边形ABCD为平行四边形，再加上延长的BE=DF，同学们的一般解题思路多为从证明三角形EBC与三角形ADF全等入手来证明∠E=∠F。这样解题的思路是比较清晰的，也充分利用了平行四边形的知识点。当同学们都做好题目之后，教师可以提出：还有没有其他的解题思路呢？
不一样的解题方法如下：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AB=CD
又∵BE=DF ∴AE=CF
又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形。
∴∠E=∠F
分 析：引导学生从另一个角度看图形——四边形AFCE有没有可能是一个平行四边形？这样引导学生学会从不同的角度思考问题，开拓视野，活跃思维，增加兴趣，享受成功的喜悦。 4 课后小结置留白，促进引申与反思
课后小结可以对一堂课的主要内容进行回顾总结，使新的知识点能够在学生的知识结构中清晰定位，理清思路。它是一堂新课的重要环节。可是很多初中的学生不很习惯进行小结，觉得是浪费时间：老师你不是刚刚都讲过了吗，又重复什么呢。于是很多的同学在课堂小结时就不认真听讲，觉得是炒冷饭。这时教师就可以在对本堂课教学内容回顾的同时，抛出几个引申问题，使课堂小结真正起到提纲挈领、承前启后的作用
例4：在总结图形的对称轴时候，教师可以留下问题：除了学到的几种多边形，其他多边形的对称是不是也是如此，还是会有什么不同？
分析：这样留下一定的悬疑，激发学生的好奇心，促进他们对所学知识的反思，同时也为下一步的课程内容学习埋下伏笔。另外数学习题练习尤其要讲究做题的效益，即做题后有多大收获，这就需要在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过，把它们联系起来，就会得到更多的经验和教训，更重要的是养成善于思考的好习惯，这将大大有利于今后的学习。
5 订正错题亦留白，在创新中优化思维
人总是在错误中学习与进步。我们小时候学习走路，学习骑自行车，都是摔倒了爬起来，爬起来再摔倒，在这个循序渐进的过程中，我们学会了健步如飞，我们学会了单车快行。这些技术伴随我们终身，就算很长时间不骑车，也不会忘记。很多初中的学生怕数学课，女生尤其如此。其实他们不是怕学习的困难，而是怕学习中的犯错。因此正确对待习题中的错误也是非常重要的环节。正是因为对学生错误悦纳和欣赏，才使学生的好奇心和创造力在出错中发出异常的光彩。
例5.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD 的中点，且AE⊥BE，试证明：AB=BC+AD。
这个题目很多同学做错。从图形看，很容易纠缠于证明三角形ABE与三角形BCE的关系之中。对已知条件中的E为DC中点不知如何利用，整个题目让人感觉无从下手。直角三角形的斜边与梯形的底边之间关系的转换，很难联系在一起。订正错误时，教师启发：是不是可以添加辅助线对图像进行转换，而有的学生死命地在图中间打辅助线，还是没有结果，教师又引导道：当我们找不到问题出路的时候怎么办呢？有个学生就接：山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。过了三分钟，有学生说可以想办法把梯形的两条底边，变成一条边。再来证明两条边相等，这样思路更清晰一些。
又过了一分钟，有同学尝试把AD平移到BC，即延长BC到F，使CF=AD，这样只要证明AB=BF就可以了。同学们想到要证明两条边相等，就要证明他们是一个等腰三角形，或者证明两个全等三角形，于是想到了把EF链接，形成一个新的三角形BEF，这样一来，要证明三角形ABE与三角形BEF全等就可以了。如图：
教师在面对教学中的错误资源时，不简单的予以否定，可作适当留白，反而会给课堂注入新的生力，使课堂呈现出峰回路转、柳暗花明的面貌。因此，数学教师可以在错题批改与指导订正的时候，把学生的错误看成机遇。因为学生会做错，是因为她在解题的思路出现了偏差，思维的通道暂时没有打通、知识点掌握不够明确所致。这时候教师通过指导学生订正错题，可以纠正偏差，同时提供相似的情景以检验学生的知识点的掌握程度，同时也引导学生举一反三，进一步熟练解题方法，体验创新思维的乐趣。这样看来，从错误的体验到正确思路的形成就是在教学留白之际悄然产生的，留白之妙处可见一斑。
《数学课程标准》指出，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。这就要求教师在课堂上要留足时间和空间，启发学生、组织学生探究讨论，训练学生思维，培养学生的自学能力、与人合作交流能力，全面提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。课堂“留白”，不是空白，它是动静的和谐，是张弛的结合，可以呈现虚实相映、形神兼备的艺术境界，创造出此“于无风处觅鱼踪”、“于无声中听惊雷”的作用。
参考文献
[1] 颜林忠，陈丽芬.数学教学留白不空白[J].教学与管理.2011（5）.
[2] 是轶群.美术课堂“留白”留出无限精彩[J].新课程.2010（9）.
[3] 赵宏义.也谈初中数学课堂教学的“留白”艺术[J].教学探究.2012（5）.
【关键词】 初中数学 课堂教学 留白艺术
【中图分类号】 G421 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2013）02（b）-0142-02
留白是中国画的一种重要的技法，是一种“超然象外”的艺术形象。比如齐白石画虾时，只是用笔稍作点化，纸上初看只是几点小墨，而整体观察起来，一只只栩栩如生的虾早已跃然纸上。日常生活中，我们去一个陌生地方，不论网上地图怎么详细，打听的时候别人说得再仔细，心里总是没底，只有自己亲身去过一次，这条路在脑子里就有清晰的概念了。
“数学是训练思维的体操”，以学生为主体的学习过程就是亲身前往的过程，边走边思考，印象深刻，因为有自已的思维体验在里面。几何教学中较多的思维论证过程，光靠教师的灌输是难以实现理想的效果的，我们的课堂训练要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等活动，实现以静制动，以看似平静的课堂气氛营造积极思考的训练实效，从而实现“此时无声胜有声”的效果。
1 情境导入设留白，实现思维的启航
笔者发现，近几年来，我们的教师总是习惯于用一大堆问题来让学生讨论，过去的满堂灌逐渐被现在的满堂问所替代，究其实，还是没有抓住学生的主体探究。拿图形的对称性这一知识点来说，由于小学已经有过这方面的学习，初中生学习这块内容并不难，但我们的老师还是不断提一些关于对称的问题，最终还是把学生的学习热情消耗在教师的提问之下。其实这块内容的学习只要让学生在小学的基础上加深印象并掌握一些基本技能即可，也并没有必要让学生来回答。
苏联著名的教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不讲的东西，就好比学生思维的引爆器，马上使学生在思维中出现问题，而思维的碰撞会使学生思维翱翔在更高更远的数学殿堂上。”课堂留白艺术在这方面就起到了独特的作用。
案例1
在学习对称图形的时候，教师出示如下任务：
首先同学们在生活中寻找圆形的物品，想办法描出一个圆形的轮廓；第二，引导同学们把自己画出的圆形裁剪下来；第三，同学们动手把自己的圆折叠，要求重合；第四，画出重合的折叠线——对称轴；第五，同学们思考，这条对称轴是唯一的吗，还能不能再画几条；第六，所有的对称轴的共同特征；最后，通过题目总结圆对称的特点。
评析：上述教学导入，没有华丽的情景，也不用繁琐的提问，有的只是学生的自主探究与交流，教师只在学生中间“闲庭信步”。把机会让给学生，自然可以引发学生向数学知识更深更广的时间、空间范围内做探究。
2 巩固知识用留白，引发经验的激活
著名的数学家阿基米德说过：“给我一个支点，我可以把整个地球撬起。”数学教师在课堂教学中的知识讲解与适当留白，就是为学生提供一个展示自我的支点。留白就是为学生枯燥的数学学习中留出展示自我的机会，学生在这其中爆发出的创造能力与智慧火花定会让人惊喜，因为学生的数学学习潜力是无限的。
案例2 教学三角形这块知识时，为了让学生能巩固下旧知识，一教师布置如下任务：
（1）绘制锐角三角形与钝角三角形，总结三角形的一般特征；（2）画出并裁剪特殊三角形：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、直角等腰三角形；（3）通过折叠研究三角形的角平分线、高，以及特殊三角形的对称性与其他基本特征。
评析：三角形的知识点多，很多都是小学学过的基础知识，如果都由教师一一讲解，也许条理会更清楚，学生听起来也比较轻松。但是很可能印象不深，听过就忘。而采取诱导方式，一步步给学生留出充足的琢磨时间与空间，也许所花时间较多，却既能促使学生主动探索，又能激发学生的学习兴趣。很多三角形的知识点都是在学生动手摸索、自我总结的过程中慢慢得出，层层消化，与学生原有的知识结构内化为一体，而不是由教师讲解所得。这样步步深入、处处留白，给学生一种追随挖掘的欲望，使学生的思维在数学课堂上始终处于活跃状态，思路开阔主动参与。在层层深入的过程中，由浅到深、由易到难，逐渐进入新课程内容的学习。
3 讲解题例有留白，享受创新的乐趣
数学知识点的掌握总是通过题例的演练来落实的。例题一般是教师在备课时就已经选择好，演算步骤也是早已一步步安排得当。但是学生是一个能动性很强的主体，在例题演算的过程中不同思维方式会碰撞出火花，这是我们可以采用教师中规中矩的步骤作为讲解的主轴，而学生的其他解题方式作为题例解题思路的留白，留与学生进一步的讨论空间，激发他们的独立思维。
案例3 四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G。求证：∠E=∠F
题目中四边形ABCD为平行四边形，再加上延长的BE=DF，同学们的一般解题思路多为从证明三角形EBC与三角形ADF全等入手来证明∠E=∠F。这样解题的思路是比较清晰的，也充分利用了平行四边形的知识点。当同学们都做好题目之后，教师可以提出：还有没有其他的解题思路呢？
不一样的解题方法如下：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AB=CD
又∵BE=DF ∴AE=CF
又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形。
∴∠E=∠F
分 析：引导学生从另一个角度看图形——四边形AFCE有没有可能是一个平行四边形？这样引导学生学会从不同的角度思考问题，开拓视野，活跃思维，增加兴趣，享受成功的喜悦。 4 课后小结置留白，促进引申与反思
课后小结可以对一堂课的主要内容进行回顾总结，使新的知识点能够在学生的知识结构中清晰定位，理清思路。它是一堂新课的重要环节。可是很多初中的学生不很习惯进行小结，觉得是浪费时间：老师你不是刚刚都讲过了吗，又重复什么呢。于是很多的同学在课堂小结时就不认真听讲，觉得是炒冷饭。这时教师就可以在对本堂课教学内容回顾的同时，抛出几个引申问题，使课堂小结真正起到提纲挈领、承前启后的作用
例4：在总结图形的对称轴时候，教师可以留下问题：除了学到的几种多边形，其他多边形的对称是不是也是如此，还是会有什么不同？
分析：这样留下一定的悬疑，激发学生的好奇心，促进他们对所学知识的反思，同时也为下一步的课程内容学习埋下伏笔。另外数学习题练习尤其要讲究做题的效益，即做题后有多大收获，这就需要在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过，把它们联系起来，就会得到更多的经验和教训，更重要的是养成善于思考的好习惯，这将大大有利于今后的学习。
5 订正错题亦留白，在创新中优化思维
人总是在错误中学习与进步。我们小时候学习走路，学习骑自行车，都是摔倒了爬起来，爬起来再摔倒，在这个循序渐进的过程中，我们学会了健步如飞，我们学会了单车快行。这些技术伴随我们终身，就算很长时间不骑车，也不会忘记。很多初中的学生怕数学课，女生尤其如此。其实他们不是怕学习的困难，而是怕学习中的犯错。因此正确对待习题中的错误也是非常重要的环节。正是因为对学生错误悦纳和欣赏，才使学生的好奇心和创造力在出错中发出异常的光彩。
例5.如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD 的中点，且AE⊥BE，试证明：AB=BC+AD。
这个题目很多同学做错。从图形看，很容易纠缠于证明三角形ABE与三角形BCE的关系之中。对已知条件中的E为DC中点不知如何利用，整个题目让人感觉无从下手。直角三角形的斜边与梯形的底边之间关系的转换，很难联系在一起。订正错误时，教师启发：是不是可以添加辅助线对图像进行转换，而有的学生死命地在图中间打辅助线，还是没有结果，教师又引导道：当我们找不到问题出路的时候怎么办呢？有个学生就接：山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。过了三分钟，有学生说可以想办法把梯形的两条底边，变成一条边。再来证明两条边相等，这样思路更清晰一些。
又过了一分钟，有同学尝试把AD平移到BC，即延长BC到F，使CF=AD，这样只要证明AB=BF就可以了。同学们想到要证明两条边相等，就要证明他们是一个等腰三角形，或者证明两个全等三角形，于是想到了把EF链接，形成一个新的三角形BEF，这样一来，要证明三角形ABE与三角形BEF全等就可以了。如图：
教师在面对教学中的错误资源时，不简单的予以否定，可作适当留白，反而会给课堂注入新的生力，使课堂呈现出峰回路转、柳暗花明的面貌。因此，数学教师可以在错题批改与指导订正的时候，把学生的错误看成机遇。因为学生会做错，是因为她在解题的思路出现了偏差，思维的通道暂时没有打通、知识点掌握不够明确所致。这时候教师通过指导学生订正错题，可以纠正偏差，同时提供相似的情景以检验学生的知识点的掌握程度，同时也引导学生举一反三，进一步熟练解题方法，体验创新思维的乐趣。这样看来，从错误的体验到正确思路的形成就是在教学留白之际悄然产生的，留白之妙处可见一斑。
《数学课程标准》指出，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。这就要求教师在课堂上要留足时间和空间，启发学生、组织学生探究讨论，训练学生思维，培养学生的自学能力、与人合作交流能力，全面提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。课堂“留白”，不是空白，它是动静的和谐，是张弛的结合，可以呈现虚实相映、形神兼备的艺术境界，创造出此“于无风处觅鱼踪”、“于无声中听惊雷”的作用。
参考文献
[1] 颜林忠，陈丽芬.数学教学留白不空白[J].教学与管理.2011（5）.
[2] 是轶群.美术课堂“留白”留出无限精彩[J].新课程.2010（9）.
[3] 赵宏义.也谈初中数学课堂教学的“留白”艺术[J].教学探究.2012（5）.