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[摘 要] 构建优质高效的课堂是每位教师积极追求的目标。在课堂教学中渗透科学研究的思想和方法，充分挖掘教材的内涵，拓展学生的思维，引导学生积极参与教师的科研工作，积极尝试以创新训练为导向的常微分方程的课堂教学改革。
[关键词] 常微分方程;课堂教学;创新训练
[基金项目] 温州大学校级教学改革项目（16jg33）
[作者简介] 郭正光（1980—），男，湖北黄冈人，理学博士，副教授，硕士生导师，主要从事流体力学方程组的数学理论研究。
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2020）36-0270-02 [收稿日期] 2019-10-25
常微分方程是分析数学的范畴，它建立在数学分析和高等代数的知识体系之上，又是微分几何、泛函分析和数理方程等后续课程的基础，是数学与应用数学专业本科生的主干课程之一，在数学专业人才培养方面起着重要的作用。本文以大学生创新训练为突破口，积极探索常微分方程的课堂教学改革，本着立足课堂，拓宽教材，激发兴趣，积极引导学生参与创新训练的教学理念，逐步提高教学质量和完善人才培养体系。
课堂教学改革的重要性和必要性不言而喻。关于常微分方程课堂教学的改革方案也有一些丰富的成果，如蒋桂凤[1]教授就谈到，常微分方程课堂的趣味化教学法，在课堂教学中引入数学家的故事，引导学生树立正确的价值观;把不同类型的微分方程对应生活中的小故事，激发学生的学习兴趣以及组织学生进行案例研讨，有效提高学生解决实际问题的能力。周霞[2]等认为，基于“雨课堂”的教学可以激发学生学习的兴趣和自主性，打破师生互动“时空”限制，实现师生互动“不下线”，做到精准教学，提升课程教学效果。蒲武军[3]建议融入数学文化，提高学生数学修养。欧乾忠[4]则强调在常微分方程的教学中融入数学建模的思想方法，配合数学典型模型，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生解决实际问题的能力，培养其创新能力和科研能力，从而使学生的综合素质得到提高。杜波[5]利用翻转课堂技术，颠覆传统的課堂教学模式，通过现代传媒技术使学生在课前完成课程内容的学习，将疑难问题再通过课堂教学来解决。胡良根等[6]以常微分方程课程中解的存在唯一性定理为例，探讨“融合背景、剖析思想、延伸课堂、应用分析”为设计理念，培养学生分析问题、解决问题和科研创新的能力。本文主要探讨如何从教材和学生的学习实际着手，通过充分挖掘教材的内涵，设置科学合理的问题，课堂教学时积极引导学生关注数学的发展，科研反哺教学，不断激发学生的学习兴趣和科研热情。
一、 立足课堂，紧扣教材
课堂教学是教师向学生传授知识的一个最直接的途径，教师和学生都要充分利用好有限的课堂学习时间和交流的机会，积极创造丰富活跃的课堂氛围，让学生真正喜欢该门课程的课堂气氛，从而有更强的获得感。以常微分方程的课堂为例，教师一般会关注向学生传授方程或者方程组的解法，这也是该门课程学习的基本要求，学生需要熟练掌握一些特殊类型方程的初等解法，我们发现大部分的教材均对此用很大的篇幅给出具体的求解方法，作者所在单位选用的是东北师范大学微分方程教研室编写的常微分方程的教材[7]。教材从基本概念入手，介绍了可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、全微分方程、一阶隐式方程、可降解的高阶方程、一阶微分方程组、二阶常系数线性非齐次方程等的求解方法，这样走来步步深入，先给出必要的预备理论知识，然后着重介绍方程的解法，学生在教师的指导下按照这个思路去学习和思考，对于解常见的微分方程而言一般会有不错的收获。
二、拓展教材，设置问题
教材中大部分习题基础性较强，若教师仔细去挖掘一定会发现一些开放性或者相对有难度的问题，教师需要在此处进行适当拓展，既源于教材又要高于教材的要求，激发学生学习的兴趣和科学探索的精神。很多时候，学生学习的主动性首先取决于对所学课程的浓厚兴趣，当然这是建立在对这门课程的内容与性质充分了解的基础上，因此教师应充分向学生说明常微分方程的重要性以激发学生的学习兴趣。教师要介绍常微分方程课程与其他学科联系和作用，常微分方程课程是解决实际问题的重要工具，可以通过具体的实例阐释这门课程的实际应用性，如某些年份的全国数学建模竞赛中的常微分方程问题，微分方程研究的最新进展以及一些公开的与方程紧密相连的数学问题等。课堂上鼓励学生提问题，从学生的疑问中找问题，精心设计问题让学生回答，课后安排一定的时间让学生参与讨论。在习题的设置上注意渗透数学建模的思想，让学生通过做数学题、思考数学问题来获得数学学习的成就感。本人的具体做法是在讲授一阶常微分方程的应用时，除了提供教材中给定的问题，同时还进行拓展。从马尔萨斯人口模型讲到Logistic模型，通过模型的建立、求解、验证、比较等过程让学生掌握建模的基本步骤，更重要的是对模型解的深入思考与评价，通过比较获得不同的体验，挖掘深层次的问题，比如生物数学中的传染病模型，循序渐进引导学生积极思考，而这些问题的求解都在学生的能力范围之内，教师只需要提供适当的帮助即可，最终让学生思考这些数学模型背后的实际现象，通过模型的求解获得对该实际现象的理解与认知，比如在研究传染病模型时，学生对模型的理解要联系疾病控制领域关于某一特定空间区域传染病疫情暴发的预测与有效防控。
三、科研反哺教学
教师在课堂教学中可以向学生传递最新的科研动向，将最新的科研成果以通俗易懂的方式传达给学生，在拉近学生与教师距离的同时激发学生将来投身科学研究的热情。本人在讲授常微分方程这门课程的过程中，成功立项了两项学校的本科生科研创新课题。其一是用积分因子求解常微分方程的问题，教材中给出的办法有限制，很多方程并不能直接套用教材中的公式去解决。于是，我让几个感兴趣的同学组成一个科研合作小组，充分调动学生学习的积极性，并有意识培养学生的互助协作精神，目的是让他们在课堂学习之余，主动提升自己各方面的能力，在学习中研究，在研究中学习，让数学学习成为一种积极的享受。其二是关于二阶变系数常微分方程的求解问题，教材中没有现成的公式，只对于一些特殊形式的方程告诉大家可以找到通解。我让另外三个同学组成一个小组，具体探讨二阶变系数常微分方程的求解策略及其在求变分极值问题中的应用。此课题实际上来自我本人研究一类非线性浅水波问题时需要解决变分问题的最佳常数衍变出来的，我尽量提炼出结合学生学习实际的问题，避开那些看上去很复杂的背景（毕竟学生了解的很有限），以一个小课题的形式展现出来。这组同学通过查阅文献，积极讨论，挖掘与所学知识之间的联系，最终撰写出一篇小论文，很好地完成了课题任务，课题组的一名同学在毕业时还顺利考上了研究生，他感叹得益于我给他们提供的研究课题，激发了他继续攻读研究生的热情。
参考文献
[1]蒋桂凤.常微分方程课堂的趣味化教学法[J].台州学院学报，（2018）40：81-83+89.
[2]周霞，张克磊，刘期怀.基于“雨课堂”的“常微分方程”课程教学改革与实践[J].教育现代化，2018，49：131-135.
[3]蒲武军，高等师范院校常微分方程教学改革的探索与实践[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2018，（6）：105-107.
[4]欧乾忠.在常微分方程教学中融入数学建模思想探析[J].贺州学院学报，2012（4）：139-141.
[5]杜波，翻转课堂及其在常微分教学中的应用[J].阴山学刊，2018（32）：152-153.
[6]甘怡清，胡良根.以科研创新为导向的常微分方程教学设计[J].大学数学，2018（34）：123-126.
[7]东北师范大学微分方程教研室编.常微分方程[M].第二版.北京：高等教育出版社，2005.
[关键词] 常微分方程;课堂教学;创新训练
[基金项目] 温州大学校级教学改革项目（16jg33）
[作者简介] 郭正光（1980—），男，湖北黄冈人，理学博士，副教授，硕士生导师，主要从事流体力学方程组的数学理论研究。
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2020）36-0270-02 [收稿日期] 2019-10-25
常微分方程是分析数学的范畴，它建立在数学分析和高等代数的知识体系之上，又是微分几何、泛函分析和数理方程等后续课程的基础，是数学与应用数学专业本科生的主干课程之一，在数学专业人才培养方面起着重要的作用。本文以大学生创新训练为突破口，积极探索常微分方程的课堂教学改革，本着立足课堂，拓宽教材，激发兴趣，积极引导学生参与创新训练的教学理念，逐步提高教学质量和完善人才培养体系。
课堂教学改革的重要性和必要性不言而喻。关于常微分方程课堂教学的改革方案也有一些丰富的成果，如蒋桂凤[1]教授就谈到，常微分方程课堂的趣味化教学法，在课堂教学中引入数学家的故事，引导学生树立正确的价值观;把不同类型的微分方程对应生活中的小故事，激发学生的学习兴趣以及组织学生进行案例研讨，有效提高学生解决实际问题的能力。周霞[2]等认为，基于“雨课堂”的教学可以激发学生学习的兴趣和自主性，打破师生互动“时空”限制，实现师生互动“不下线”，做到精准教学，提升课程教学效果。蒲武军[3]建议融入数学文化，提高学生数学修养。欧乾忠[4]则强调在常微分方程的教学中融入数学建模的思想方法，配合数学典型模型，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生解决实际问题的能力，培养其创新能力和科研能力，从而使学生的综合素质得到提高。杜波[5]利用翻转课堂技术，颠覆传统的課堂教学模式，通过现代传媒技术使学生在课前完成课程内容的学习，将疑难问题再通过课堂教学来解决。胡良根等[6]以常微分方程课程中解的存在唯一性定理为例，探讨“融合背景、剖析思想、延伸课堂、应用分析”为设计理念，培养学生分析问题、解决问题和科研创新的能力。本文主要探讨如何从教材和学生的学习实际着手，通过充分挖掘教材的内涵，设置科学合理的问题，课堂教学时积极引导学生关注数学的发展，科研反哺教学，不断激发学生的学习兴趣和科研热情。
一、 立足课堂，紧扣教材
课堂教学是教师向学生传授知识的一个最直接的途径，教师和学生都要充分利用好有限的课堂学习时间和交流的机会，积极创造丰富活跃的课堂氛围，让学生真正喜欢该门课程的课堂气氛，从而有更强的获得感。以常微分方程的课堂为例，教师一般会关注向学生传授方程或者方程组的解法，这也是该门课程学习的基本要求，学生需要熟练掌握一些特殊类型方程的初等解法，我们发现大部分的教材均对此用很大的篇幅给出具体的求解方法，作者所在单位选用的是东北师范大学微分方程教研室编写的常微分方程的教材[7]。教材从基本概念入手，介绍了可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、全微分方程、一阶隐式方程、可降解的高阶方程、一阶微分方程组、二阶常系数线性非齐次方程等的求解方法，这样走来步步深入，先给出必要的预备理论知识，然后着重介绍方程的解法，学生在教师的指导下按照这个思路去学习和思考，对于解常见的微分方程而言一般会有不错的收获。
二、拓展教材，设置问题
教材中大部分习题基础性较强，若教师仔细去挖掘一定会发现一些开放性或者相对有难度的问题，教师需要在此处进行适当拓展，既源于教材又要高于教材的要求，激发学生学习的兴趣和科学探索的精神。很多时候，学生学习的主动性首先取决于对所学课程的浓厚兴趣，当然这是建立在对这门课程的内容与性质充分了解的基础上，因此教师应充分向学生说明常微分方程的重要性以激发学生的学习兴趣。教师要介绍常微分方程课程与其他学科联系和作用，常微分方程课程是解决实际问题的重要工具，可以通过具体的实例阐释这门课程的实际应用性，如某些年份的全国数学建模竞赛中的常微分方程问题，微分方程研究的最新进展以及一些公开的与方程紧密相连的数学问题等。课堂上鼓励学生提问题，从学生的疑问中找问题，精心设计问题让学生回答，课后安排一定的时间让学生参与讨论。在习题的设置上注意渗透数学建模的思想，让学生通过做数学题、思考数学问题来获得数学学习的成就感。本人的具体做法是在讲授一阶常微分方程的应用时，除了提供教材中给定的问题，同时还进行拓展。从马尔萨斯人口模型讲到Logistic模型，通过模型的建立、求解、验证、比较等过程让学生掌握建模的基本步骤，更重要的是对模型解的深入思考与评价，通过比较获得不同的体验，挖掘深层次的问题，比如生物数学中的传染病模型，循序渐进引导学生积极思考，而这些问题的求解都在学生的能力范围之内，教师只需要提供适当的帮助即可，最终让学生思考这些数学模型背后的实际现象，通过模型的求解获得对该实际现象的理解与认知，比如在研究传染病模型时，学生对模型的理解要联系疾病控制领域关于某一特定空间区域传染病疫情暴发的预测与有效防控。
三、科研反哺教学
教师在课堂教学中可以向学生传递最新的科研动向，将最新的科研成果以通俗易懂的方式传达给学生，在拉近学生与教师距离的同时激发学生将来投身科学研究的热情。本人在讲授常微分方程这门课程的过程中，成功立项了两项学校的本科生科研创新课题。其一是用积分因子求解常微分方程的问题，教材中给出的办法有限制，很多方程并不能直接套用教材中的公式去解决。于是，我让几个感兴趣的同学组成一个科研合作小组，充分调动学生学习的积极性，并有意识培养学生的互助协作精神，目的是让他们在课堂学习之余，主动提升自己各方面的能力，在学习中研究，在研究中学习，让数学学习成为一种积极的享受。其二是关于二阶变系数常微分方程的求解问题，教材中没有现成的公式，只对于一些特殊形式的方程告诉大家可以找到通解。我让另外三个同学组成一个小组，具体探讨二阶变系数常微分方程的求解策略及其在求变分极值问题中的应用。此课题实际上来自我本人研究一类非线性浅水波问题时需要解决变分问题的最佳常数衍变出来的，我尽量提炼出结合学生学习实际的问题，避开那些看上去很复杂的背景（毕竟学生了解的很有限），以一个小课题的形式展现出来。这组同学通过查阅文献，积极讨论，挖掘与所学知识之间的联系，最终撰写出一篇小论文，很好地完成了课题任务，课题组的一名同学在毕业时还顺利考上了研究生，他感叹得益于我给他们提供的研究课题，激发了他继续攻读研究生的热情。
参考文献
[1]蒋桂凤.常微分方程课堂的趣味化教学法[J].台州学院学报，（2018）40：81-83+89.
[2]周霞，张克磊，刘期怀.基于“雨课堂”的“常微分方程”课程教学改革与实践[J].教育现代化，2018，49：131-135.
[3]蒲武军，高等师范院校常微分方程教学改革的探索与实践[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2018，（6）：105-107.
[4]欧乾忠.在常微分方程教学中融入数学建模思想探析[J].贺州学院学报，2012（4）：139-141.
[5]杜波，翻转课堂及其在常微分教学中的应用[J].阴山学刊，2018（32）：152-153.
[6]甘怡清，胡良根.以科研创新为导向的常微分方程教学设计[J].大学数学，2018（34）：123-126.
[7]东北师范大学微分方程教研室编.常微分方程[M].第二版.北京：高等教育出版社，2005.