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【摘要】 本文构建了基于班级灰色关联度分析的公平奖学金分配模型,首先构建了基于三角模糊数的互反矩阵, 使完全人为主观的因素模糊化,这在一定程度上削弱了人为主观性,然后再利用层次分析法(AHP)求出各个准则层对目标层的权重,再利用基于灰色关联度分析的灰色综合评价,求出各班级的灰色关联性系数,进而得出各班级的排名,根据各班级的排名进行合理､公平的奖学金分配.
【关键词】 三角模糊数 层次分析法 灰色综合评价 奖学金分配
1. 前言
在高速发展的当今社会,分配问题越来越受到人们的重视,尤其在学校里面,每年的奖学金应如何分配才能体现公平性､合理性,已引起各个阶层的关注 .不同的学校对奖学金有不同的分配原则,然而,以班级为单位来分配奖学金名额,不仅体现了集体的团队合作能力,同时也可以很好地反映个人对集体的贡献问题.本文构建了基于班级灰色关联度分析的公平奖学金分配模型,对奖学金公平分配问题进行了探讨,以利于体现奖学金分配的公平性与合理性.
2. 灰色关联度分析中评价指标确定的原则
① 全面性原则.即所选的指标要能涵盖反映班级整体水平的各个因素,并且在保证评价目标可实现的条件下,尽量简化指标体系.
② 科学性原则. 即指标体系的设计要力求科学,准确的反映学校各班级的整体水平.
③ 系统性原则. 指标体系必须层次结构合理,协调统一,在比较全面反映班级的基本状况的同时,还要能为班级间的整体综合评价提供必要的数据.
④ 可行性与可操作性原则.即设计的指标应具有可采集性和可量化的特点,各项指标应能够有效测量或统计.
3. 各指标权重的确定
3.1基于三角模糊数的互反矩阵的建立
利用三角模糊数Mij = (lij,mij,uij)表示评价因素ui对评价因素uj的重要性判断结果. 其中mij是度量该结果的可能值,一般用表 1 所示的 1-9 标度法进行确定, lij和uij表示判断的模糊程度. uj对ui的重要性为
Mji = Mij-1 =, , .
(ⅰ) 建立单位模糊判断矩阵
假设有 t 位调查对象,其中第k位 (k = 1,2, …, t) 调查对象对n个因素依次两两比较(只需进行 次) ,即得单位模糊判断矩阵
M(k) = (Mij(k))n×n,其中M(k) = (lij(k),mij(k),uij(k)).
(ⅱ) 集结单位模糊判断矩阵
根据t位调查对象的具体情况分别给以权数rk,则由三角模糊数的运算规则可将他们各自的单位模糊判断矩阵M = (Mij)n×n集结为模糊判断矩阵,其元素
Mij=(lij,mij,uij) = (lij(k),mij(k),uij(k)•rk)=
lij(k)rk,mij(k)rk,uij(krk .
(ⅲ) 三角模糊判断矩阵的转化
三角模糊数判断矩阵转化为非模糊数判断矩阵的实质就是利用一定的方法将三角模糊数对应于某一非模糊数.这里将三角模糊数 M 对应于其均值面积 S(M) .
设三角模糊数M = (l,m,u) ,其α截集
Mα = [l(α),u(α)](0 ≤ α ≤ 1),记m= .
显然,m 为 M 的α截集Mα的平均值,即[l(α),u(α)] 的中点.
定义S(M)=m dα.
其几何意义就是 M 的均值面积,如图1所示.
经计算,三角模糊数 M = (l,m,u)的均值面积:
S(M) =.
(ⅰ) 将三角模糊数转化为非模糊数
根据上面的讨论,三角模糊数Mij = (1ij,mij,uij)可转化为非模糊数(实数)aij′ =,由aij′即可构成非模糊矩阵A′ = (aij′)n×n .
(ⅱ) 互反性调整
若aij′aji′≠1 ,则 A′不是互反矩阵,可作如下调整:
aij′ =.
这样,调整后的矩阵A = (aij)n×n即为互反矩阵,并可对它进行一致性检验.
3.2 基于三角模糊矩阵的层次分析法
Step1: 一致性检验
定义一致性指标:CI =(λ是互反矩阵的最大特征根,n为唯一非零特征根).CI 越大,不一致越严重,为衡量CI 的大小,引入随机一致性指标 RI——随机模拟得到aij,形成A,计算CI 即得RI.
表 2:Saaty的结果
定义一致性比率: CR =.
当CR < 0.1时,能通过一致性检验;当CR > 0.1时,不能通过一致性检验,则须修改原来的互反矩阵M,直至通过一致性检验.
Step2:运用AHP算法求W
求出A的所有特征根λ1,λ2,…,λn .
分别求出权向量(特征向量)W = (ω1,ω2,…,ωn)
在此基础上,通过计算,归一化后即可得评价因素的权重集,进而可对实际问题进行模糊综合评价.
3.3 基于灰色关联度分析的灰色综合评价
灰色综合评判主要是依据以下模型:R = E × W.
其中:R = [r1,r2,…,rm]T为m个被评价对象的综合评判结果向量;W = [ω1,ω2,…,ωn]T 为n个评价指标的权重分配向量,其中 ωj =1;
E为各指标的评价矩阵:
E = ξ1(1) ξ1(2) … ξ1(n)ξ2(1) ξ2(2) … ξ2(n)┊ ┊┊ξm(1) ξm(2) …ξm(n)
ξi(k)为第i个方案中的第k个指标与第k个最优指标的关联系数.
根据R的数值进行排序.
Step1: 确定最优指标值F*
设F* = [j1*,j2*,…,jn*],式中jk*(k = 1,2,…,n)为第k个指标的最优值.此最优值可以是诸方案的最优值(若指标为极大型指标,则取该指标在各方案中的最大值,若为极小型指标,则取该指标在各方案中的最小值),也可以是评估者公认的最优值,选定最优指标集后,可以构造矩阵D.
D = j1* j2* … jn*jj … j┊ ┊┊j1* j2* … jn*
式中jki为第i个方案第k个指标的原始数据.
Step2:指标值的规范化处理
由于评价指标间通常是有不同的量纲和数量级,故不能直接进行比较.为了保证结果的可靠性,因此需要对指标原始值进行规范化处理.
设第k个指标的变化区间是[j ,j ],j 为第k个指标在所有方案中的最小值, j 为第k个指标在所有方案中的最大值,则可以用下列公式对原始数据进行标准化处理为C∈(0,1).
对于极大值型指标的规范化处理公式:
C=, i = 1,2,…,m;k = 1,2,…,n.
对于极小值型指标的规范化处理公式:
C=, i = 1,2,…,m;k = 1,2,…,n.
这样,矩阵D就变成矩阵C.
Step3:计算综合评价结果
根据灰色系统理论,将{C*} = [C,C,…,C]作为参考数列,将{C} = C,C,…,C作为被比较数列,则用关联系数分析法分别求得第i个方案第k个指标与第k个最优指标的关联系数ξi(k),即
ξi(k) =.
式中ρ为分辨系数,ρ∈[0,1],一般取ρ = 0.5.
由ξi(k)即得E,这样综合评价结果为:R = E × W,
即ri =W(k)ξi(k).
若关联度ri越大则说明{Ci}与最优指标{C*}越接近,即第i个方案越优于其他各方案,据此,可根据ri的大小排出各方案的优劣次序.
4. 公平奖学金分配方案
假设影响班级评选奖学金的因素指标为x1,x2,…,xn,对于这n个指标的灰色关联系数,可以把它进行归一化:R = [r1,r2,…,rn]
设总体优秀一等奖个数是p,第i个班公平分配到的优秀一等奖个数为pi :
p =pi,记si = Ri • p (i = 1,2,…,n).
显然如果Si是整数,则Si = Pi,如果Si不是整数,需要如下模型来建立公平分配方案.
令Ti = Ri•p-[Ri • p] (i = 1,2,…,n).
其中[Ri • p] 即小于或等于Ri • p的最大整数.Ti 称为第i个班级的绝对不公平度.
Gi = (i = 1,2,…,n).
Gi称为第i个班级的相对不公平度.
剩余名额数p - [Ri • p]就根据n个班的相对不公平度Gi的排序进行从高到低分配.从而每个班公平的分配的优秀一等奖个数矩阵为:P = [P1P2…Pn].
5. 结束语
本文通过从构建三角模糊数的正反矩阵入手, 使完全人为主观的因素模糊化,这在一定程度上削弱了人为主观性,再经过灰色综合评价,求出班级间的灰色关联性系数,进而提出合理的奖学金公平分配方案.
【参考文献】
[1] 姜启源, 谢金星.数学模型(第三版).北京:高等教育出版社,2006.
[2] 许谦.确定模糊评价综合因素权重的一个方法.大学数学,2005,21(1):99-103.
[3] 肖钰,李华. 基于三角模糊数的判断矩阵的改进及其应用[J] . 模糊系统与数学,2003,17(2):59-64.
[4] 王彩华,宋连天. 模糊论方法学[M] . 北京:中国建筑工业出版社,1998.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
【关键词】 三角模糊数 层次分析法 灰色综合评价 奖学金分配
1. 前言
在高速发展的当今社会,分配问题越来越受到人们的重视,尤其在学校里面,每年的奖学金应如何分配才能体现公平性､合理性,已引起各个阶层的关注 .不同的学校对奖学金有不同的分配原则,然而,以班级为单位来分配奖学金名额,不仅体现了集体的团队合作能力,同时也可以很好地反映个人对集体的贡献问题.本文构建了基于班级灰色关联度分析的公平奖学金分配模型,对奖学金公平分配问题进行了探讨,以利于体现奖学金分配的公平性与合理性.
2. 灰色关联度分析中评价指标确定的原则
① 全面性原则.即所选的指标要能涵盖反映班级整体水平的各个因素,并且在保证评价目标可实现的条件下,尽量简化指标体系.
② 科学性原则. 即指标体系的设计要力求科学,准确的反映学校各班级的整体水平.
③ 系统性原则. 指标体系必须层次结构合理,协调统一,在比较全面反映班级的基本状况的同时,还要能为班级间的整体综合评价提供必要的数据.
④ 可行性与可操作性原则.即设计的指标应具有可采集性和可量化的特点,各项指标应能够有效测量或统计.
3. 各指标权重的确定
3.1基于三角模糊数的互反矩阵的建立
利用三角模糊数Mij = (lij,mij,uij)表示评价因素ui对评价因素uj的重要性判断结果. 其中mij是度量该结果的可能值,一般用表 1 所示的 1-9 标度法进行确定, lij和uij表示判断的模糊程度. uj对ui的重要性为
Mji = Mij-1 =, , .
(ⅰ) 建立单位模糊判断矩阵
假设有 t 位调查对象,其中第k位 (k = 1,2, …, t) 调查对象对n个因素依次两两比较(只需进行 次) ,即得单位模糊判断矩阵
M(k) = (Mij(k))n×n,其中M(k) = (lij(k),mij(k),uij(k)).
(ⅱ) 集结单位模糊判断矩阵
根据t位调查对象的具体情况分别给以权数rk,则由三角模糊数的运算规则可将他们各自的单位模糊判断矩阵M = (Mij)n×n集结为模糊判断矩阵,其元素
Mij=(lij,mij,uij) = (lij(k),mij(k),uij(k)•rk)=
lij(k)rk,mij(k)rk,uij(krk .
(ⅲ) 三角模糊判断矩阵的转化
三角模糊数判断矩阵转化为非模糊数判断矩阵的实质就是利用一定的方法将三角模糊数对应于某一非模糊数.这里将三角模糊数 M 对应于其均值面积 S(M) .
设三角模糊数M = (l,m,u) ,其α截集
Mα = [l(α),u(α)](0 ≤ α ≤ 1),记m= .
显然,m 为 M 的α截集Mα的平均值,即[l(α),u(α)] 的中点.
定义S(M)=m dα.
其几何意义就是 M 的均值面积,如图1所示.
经计算,三角模糊数 M = (l,m,u)的均值面积:
S(M) =.
(ⅰ) 将三角模糊数转化为非模糊数
根据上面的讨论,三角模糊数Mij = (1ij,mij,uij)可转化为非模糊数(实数)aij′ =,由aij′即可构成非模糊矩阵A′ = (aij′)n×n .
(ⅱ) 互反性调整
若aij′aji′≠1 ,则 A′不是互反矩阵,可作如下调整:
aij′ =.
这样,调整后的矩阵A = (aij)n×n即为互反矩阵,并可对它进行一致性检验.
3.2 基于三角模糊矩阵的层次分析法
Step1: 一致性检验
定义一致性指标:CI =(λ是互反矩阵的最大特征根,n为唯一非零特征根).CI 越大,不一致越严重,为衡量CI 的大小,引入随机一致性指标 RI——随机模拟得到aij,形成A,计算CI 即得RI.
表 2:Saaty的结果
定义一致性比率: CR =.
当CR < 0.1时,能通过一致性检验;当CR > 0.1时,不能通过一致性检验,则须修改原来的互反矩阵M,直至通过一致性检验.
Step2:运用AHP算法求W
求出A的所有特征根λ1,λ2,…,λn .
分别求出权向量(特征向量)W = (ω1,ω2,…,ωn)
在此基础上,通过计算,归一化后即可得评价因素的权重集,进而可对实际问题进行模糊综合评价.
3.3 基于灰色关联度分析的灰色综合评价
灰色综合评判主要是依据以下模型:R = E × W.
其中:R = [r1,r2,…,rm]T为m个被评价对象的综合评判结果向量;W = [ω1,ω2,…,ωn]T 为n个评价指标的权重分配向量,其中 ωj =1;
E为各指标的评价矩阵:
E = ξ1(1) ξ1(2) … ξ1(n)ξ2(1) ξ2(2) … ξ2(n)┊ ┊┊ξm(1) ξm(2) …ξm(n)
ξi(k)为第i个方案中的第k个指标与第k个最优指标的关联系数.
根据R的数值进行排序.
Step1: 确定最优指标值F*
设F* = [j1*,j2*,…,jn*],式中jk*(k = 1,2,…,n)为第k个指标的最优值.此最优值可以是诸方案的最优值(若指标为极大型指标,则取该指标在各方案中的最大值,若为极小型指标,则取该指标在各方案中的最小值),也可以是评估者公认的最优值,选定最优指标集后,可以构造矩阵D.
D = j1* j2* … jn*jj … j┊ ┊┊j1* j2* … jn*
式中jki为第i个方案第k个指标的原始数据.
Step2:指标值的规范化处理
由于评价指标间通常是有不同的量纲和数量级,故不能直接进行比较.为了保证结果的可靠性,因此需要对指标原始值进行规范化处理.
设第k个指标的变化区间是[j ,j ],j 为第k个指标在所有方案中的最小值, j 为第k个指标在所有方案中的最大值,则可以用下列公式对原始数据进行标准化处理为C∈(0,1).
对于极大值型指标的规范化处理公式:
C=, i = 1,2,…,m;k = 1,2,…,n.
对于极小值型指标的规范化处理公式:
C=, i = 1,2,…,m;k = 1,2,…,n.
这样,矩阵D就变成矩阵C.
Step3:计算综合评价结果
根据灰色系统理论,将{C*} = [C,C,…,C]作为参考数列,将{C} = C,C,…,C作为被比较数列,则用关联系数分析法分别求得第i个方案第k个指标与第k个最优指标的关联系数ξi(k),即
ξi(k) =.
式中ρ为分辨系数,ρ∈[0,1],一般取ρ = 0.5.
由ξi(k)即得E,这样综合评价结果为:R = E × W,
即ri =W(k)ξi(k).
若关联度ri越大则说明{Ci}与最优指标{C*}越接近,即第i个方案越优于其他各方案,据此,可根据ri的大小排出各方案的优劣次序.
4. 公平奖学金分配方案
假设影响班级评选奖学金的因素指标为x1,x2,…,xn,对于这n个指标的灰色关联系数,可以把它进行归一化:R = [r1,r2,…,rn]
设总体优秀一等奖个数是p,第i个班公平分配到的优秀一等奖个数为pi :
p =pi,记si = Ri • p (i = 1,2,…,n).
显然如果Si是整数,则Si = Pi,如果Si不是整数,需要如下模型来建立公平分配方案.
令Ti = Ri•p-[Ri • p] (i = 1,2,…,n).
其中[Ri • p] 即小于或等于Ri • p的最大整数.Ti 称为第i个班级的绝对不公平度.
Gi = (i = 1,2,…,n).
Gi称为第i个班级的相对不公平度.
剩余名额数p - [Ri • p]就根据n个班的相对不公平度Gi的排序进行从高到低分配.从而每个班公平的分配的优秀一等奖个数矩阵为:P = [P1P2…Pn].
5. 结束语
本文通过从构建三角模糊数的正反矩阵入手, 使完全人为主观的因素模糊化,这在一定程度上削弱了人为主观性,再经过灰色综合评价,求出班级间的灰色关联性系数,进而提出合理的奖学金公平分配方案.
【参考文献】
[1] 姜启源, 谢金星.数学模型(第三版).北京:高等教育出版社,2006.
[2] 许谦.确定模糊评价综合因素权重的一个方法.大学数学,2005,21(1):99-103.
[3] 肖钰,李华. 基于三角模糊数的判断矩阵的改进及其应用[J] . 模糊系统与数学,2003,17(2):59-64.
[4] 王彩华,宋连天. 模糊论方法学[M] . 北京:中国建筑工业出版社,1998.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”