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在教学实践中，笔者发现一个有趣的现象：学生无论是画长方体还是正方体，都更偏爱于向右侧倾斜的角度。于是，笔者对北京市两所小学100名六年级小学生进行了一次测试作图能力的问卷调查，其中一项调查内容是考查学生画任意大小的长方体和正方体的水平。此项结果显示，78.9%的学生即使他们的作图不够准确，但是呈现出的立体图形方向一致是向斜右侧倾斜的（见图1），只有7%的学生选择了左侧倾斜的角度或其他角度。由此引发的问题是，不同的学生应该具有不同的观察角度，但是为什么他们观察到的、画出来的图形都是向右侧倾斜的？如何解决学生观察物体角度的单一性？
一、画法单一源于理解困难
学生在学习了长方体和正方体的特征后，都知道它们有6个面、12条棱和8个顶点，并且每两个面、每四条棱互相平行。但是，在平面上呈现出来的正方体和长方体却发生了变化，能够被学生看到的只有3个面、9条棱和7个顶点。其次，为了真实地将立体图形在平面上表达出来，通常将长方体和正方体的前后两个面画成长方形或正方形，而两个侧面和上下两个面用平行四边形来替代。另外，个别棱的长度以及一些角度也要发生相应的变化。前后两个面的棱长长度不变，而原来垂直于前后两个面的四条棱长度要变成原长度的一半，并向右侧或左侧倾斜45°角。在此基础上，为了兼顾长方体和正方体的性质，看不到的边要与它的对应边平行且长度相等，一般用虚线将它们呈现出来。这时，一个完整、真实的立体图形才在平面上呈现给学生。这种呈现立体图形的画法专业上叫做斜二测画法，这种画法简单、机械，画出的长方体和正方体特别规范，所以被教材和教师广泛接受。
但是，对学生来说，要适应数量、角度、长度和形状四个方面的变化，他们所知道的三维物体性质与所看到的图形的差异使他们产生了认知冲突，因此要面对许多无法解决的困惑。这成为学生理解平面上正方体和长方体图形产生困难的主要原因。所以，学生选择了一个相对简单的角度来画出他们看到的长方体或正方体，而不需考虑实际看到的情况。
二、来自教科书中的呈现方式
应该指出的是，教科书中的立体图形存在着呈现的角度和种类过于单一的问题。比如，人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书·数学》一年级上册第32页《认识图形和物体》一节，给出的正方体和长方体的平面图都一致采用了向右侧倾斜的角度，即呈现出来的立体图形应该是观察者从右侧看到的。在同一版本五年级下册《认识长方体与正方体》一节教材第28页中，也采用了这一角度将长方体和正方体呈现给学生（见图2）。
同样的现象也出现在北京师范大学出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书·数学》中。例如，此版本五年级下册第13页《长方体（一）》中，采用了向右倾斜的角度呈现立体图形的平面图。同一册书《长方体（二）》中，让学生求体积的练习，也采用了一致的角度。观察其他年级的教科书也不难发现，教材中主要采用斜二测画法呈现给学生立体图形，并且角度以向右倾斜占主要部分。
除了呈现角度的单一性外，教材呈现给学生的长方体和正方体实物的种类也过于单一。仔细阅读人教版数学教材和北师大版数学教材可以发现，在学生学习观察物体或认识立体图形的相关章节里，例子中的实物大多为盒子类、电器类或小木块等物体。这样的方式虽然有利于学生直观地认识立体图形，但不能扩大学生的视野和知识面，丰富数学与生活的联系。同时，过于单一的角度和种类也不利于对学生空间观念以及想象力和创造力的培养。
三、多角度观察，多样化呈现
由此可见，学生在观察平面上的立体图形时存在困难以及教科书中呈现的图形角度和种类过于单一是导致学生观察物体角度单一和画法单一的主要原因。解决这个问题，首先要强调让学生从不同的角度观察物体，提高学生视觉分析的技能。视觉分析的能力是指学生能够发现一些物体独特的、不同的特征的能力。多角度的观察可以让学生经历分类、对比的过程，可以提高学生这种区分、辨别的能力，增强学生对立体图形的感知。学生观察物体的过程是一个由三维世界到二维图形逐渐过渡的过程。因此，观察不同角度的立体图形平面图与多角度观察实物一样重要。这就需要教材和教师呈现出多角度、多样化的图形。
对比中国各版本的小学数学教材与美国McGraw-Hill公司出版的加利福尼亚州小学数学教材（以下简称加州版教材），可以明显发现，加州版教材无论是在认识不同立体图形还是在求立体图形体积的知识中，其呈现立体图形的角度和种类选择都更具有多样性。
例如，加州版教材California Mathematics Grade5第568页practice and problem solving一栏，题中要求学生画出立体图形的正面、侧面与上面并呈现出了不同角度的长方体和正方体让学生观察（见图3）。相比之下，中国教材在介绍长方体和正方体时，只给出了两个同一观察角度的立体图形平面图。
又如，同一版本教材California Mathematics Grade6第610页认识不同立体图形练习以及第616页求体积的题目里，教材呈现出立体图形的角度也是多种多样的（见图4）。
这使学生可以见识到不同角度的立体图形，并观察到不同角度下哪些部分是看不到的，哪些部分需要用虚线来表示，使二维与三维在头脑中的转化更加透明、娴熟、迅速。此外，在加州版教材中《认识立体图形》部分的实物图中可以发现，学生通过对蜡烛、金鱼缸、古建筑物、罐头盒、储物盒、露营帐篷、狗窝甚至人造卫星等多种物体的认识和感知，更能沟通数学知识学习与现实生活经验的联系，加深对整体与部分关系的理解，开阔视野并丰富他们的文化知识。
尽管我们生活在三维的世界中，但是大部分数学材料都是通过二维图形呈现给儿童的，而通过二维图形呈现给学生三维世界的一个主要教学工具就是教科书。数学课程标准强调学生空间观念的形成。因此，要想让学生对立体图形的理解更透彻，对今后的学习打下更扎实的基础，多样化的教学素材以及让学生多角度的感知立体图形是不可忽视的。
（责编 黄春香）
一、画法单一源于理解困难
学生在学习了长方体和正方体的特征后，都知道它们有6个面、12条棱和8个顶点，并且每两个面、每四条棱互相平行。但是，在平面上呈现出来的正方体和长方体却发生了变化，能够被学生看到的只有3个面、9条棱和7个顶点。其次，为了真实地将立体图形在平面上表达出来，通常将长方体和正方体的前后两个面画成长方形或正方形，而两个侧面和上下两个面用平行四边形来替代。另外，个别棱的长度以及一些角度也要发生相应的变化。前后两个面的棱长长度不变，而原来垂直于前后两个面的四条棱长度要变成原长度的一半，并向右侧或左侧倾斜45°角。在此基础上，为了兼顾长方体和正方体的性质，看不到的边要与它的对应边平行且长度相等，一般用虚线将它们呈现出来。这时，一个完整、真实的立体图形才在平面上呈现给学生。这种呈现立体图形的画法专业上叫做斜二测画法，这种画法简单、机械，画出的长方体和正方体特别规范，所以被教材和教师广泛接受。
但是，对学生来说，要适应数量、角度、长度和形状四个方面的变化，他们所知道的三维物体性质与所看到的图形的差异使他们产生了认知冲突，因此要面对许多无法解决的困惑。这成为学生理解平面上正方体和长方体图形产生困难的主要原因。所以，学生选择了一个相对简单的角度来画出他们看到的长方体或正方体，而不需考虑实际看到的情况。
二、来自教科书中的呈现方式
应该指出的是，教科书中的立体图形存在着呈现的角度和种类过于单一的问题。比如，人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书·数学》一年级上册第32页《认识图形和物体》一节，给出的正方体和长方体的平面图都一致采用了向右侧倾斜的角度，即呈现出来的立体图形应该是观察者从右侧看到的。在同一版本五年级下册《认识长方体与正方体》一节教材第28页中，也采用了这一角度将长方体和正方体呈现给学生（见图2）。
同样的现象也出现在北京师范大学出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书·数学》中。例如，此版本五年级下册第13页《长方体（一）》中，采用了向右倾斜的角度呈现立体图形的平面图。同一册书《长方体（二）》中，让学生求体积的练习，也采用了一致的角度。观察其他年级的教科书也不难发现，教材中主要采用斜二测画法呈现给学生立体图形，并且角度以向右倾斜占主要部分。
除了呈现角度的单一性外，教材呈现给学生的长方体和正方体实物的种类也过于单一。仔细阅读人教版数学教材和北师大版数学教材可以发现，在学生学习观察物体或认识立体图形的相关章节里，例子中的实物大多为盒子类、电器类或小木块等物体。这样的方式虽然有利于学生直观地认识立体图形，但不能扩大学生的视野和知识面，丰富数学与生活的联系。同时，过于单一的角度和种类也不利于对学生空间观念以及想象力和创造力的培养。
三、多角度观察，多样化呈现
由此可见，学生在观察平面上的立体图形时存在困难以及教科书中呈现的图形角度和种类过于单一是导致学生观察物体角度单一和画法单一的主要原因。解决这个问题，首先要强调让学生从不同的角度观察物体，提高学生视觉分析的技能。视觉分析的能力是指学生能够发现一些物体独特的、不同的特征的能力。多角度的观察可以让学生经历分类、对比的过程，可以提高学生这种区分、辨别的能力，增强学生对立体图形的感知。学生观察物体的过程是一个由三维世界到二维图形逐渐过渡的过程。因此，观察不同角度的立体图形平面图与多角度观察实物一样重要。这就需要教材和教师呈现出多角度、多样化的图形。
对比中国各版本的小学数学教材与美国McGraw-Hill公司出版的加利福尼亚州小学数学教材（以下简称加州版教材），可以明显发现，加州版教材无论是在认识不同立体图形还是在求立体图形体积的知识中，其呈现立体图形的角度和种类选择都更具有多样性。
例如，加州版教材California Mathematics Grade5第568页practice and problem solving一栏，题中要求学生画出立体图形的正面、侧面与上面并呈现出了不同角度的长方体和正方体让学生观察（见图3）。相比之下，中国教材在介绍长方体和正方体时，只给出了两个同一观察角度的立体图形平面图。
又如，同一版本教材California Mathematics Grade6第610页认识不同立体图形练习以及第616页求体积的题目里，教材呈现出立体图形的角度也是多种多样的（见图4）。
这使学生可以见识到不同角度的立体图形，并观察到不同角度下哪些部分是看不到的，哪些部分需要用虚线来表示，使二维与三维在头脑中的转化更加透明、娴熟、迅速。此外，在加州版教材中《认识立体图形》部分的实物图中可以发现，学生通过对蜡烛、金鱼缸、古建筑物、罐头盒、储物盒、露营帐篷、狗窝甚至人造卫星等多种物体的认识和感知，更能沟通数学知识学习与现实生活经验的联系，加深对整体与部分关系的理解，开阔视野并丰富他们的文化知识。
尽管我们生活在三维的世界中，但是大部分数学材料都是通过二维图形呈现给儿童的，而通过二维图形呈现给学生三维世界的一个主要教学工具就是教科书。数学课程标准强调学生空间观念的形成。因此，要想让学生对立体图形的理解更透彻，对今后的学习打下更扎实的基础，多样化的教学素材以及让学生多角度的感知立体图形是不可忽视的。
（责编 黄春香）