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摘 要：自古以来，错误无论在教师的眼中，还是在学生的眼中，都是令人深恶痛绝的. 教师和学生都很难面对自己的错误. 但事实上这些错误是“美丽”的，因为它往往潜藏了许多我们深不可知的教育潜能. 本文通过几个数学纠错案例与各位同仁一起来看一下这些“美丽的错误”的教育潜能.
关键词：错误；教育潜能；财富
作为一名教师，你一定在学生的作业或试卷中批阅过各种错误. 看到纸上的“×”，你是烦恼？生气？心情沉重……还是会不会有一点点喜欢呢？许多教师视错误为洪水猛兽，唯恐避之不及. 可是“人非圣贤，孰能无过 ”，更何况“学生的错误都是有价值的”. 事实上，对于教师而言，学生的错误是一笔丰厚的“财富”，这些“财富”能让你追溯学生的思路，从中你能看到智慧的火花；这些”财富”能让你反思你的教学，从中受益；这些”财富”能让你看到学生的欠缺，帮助他们弥补；这些财富也能让你看到学生的可爱，让你会心一笑.
火眼金睛——通过辨错深化对知识本质的理解
?摇在学习过程中，不同的学生有着不同的知识背景、不同的情感体验、不同的表达方式和参差不齐的思维水平，因此，出错在所难免. 出错，是因为学生还不成熟，认识问题往往带有片面性；出错，是因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的；出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有研究、创新和超越. 教师不应将错误视之为洪水猛兽，唯恐避之不及，或“快刀斩乱麻”，以一个“错”字堵住学生的嘴，再接二连三地提问，直至得出“正确答案”；或亲自“上阵”，把正确答案“双手奉上”；或“堵”或“送”，都置学生的实际于不顾. 可以想到，不让学生经历实践、获得体验，企图直接拉住学生迈向“错”的脚步，结果就可能阻断他们迈向成功的道路. 布鲁纳说“学生的错误都是有价值的”，教师不仅应该引导学生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去伪存真”，让学生带着火眼金睛发现错误，还要适当地设置一些有一定思维价值、能激发学生惊奇感的问题，让学生在辨析错误的同时激发学生学习探索的兴趣，并带着如何解决这些问题的强烈愿望去迁移知识、分析思考，从而加深对知识本质的理解.
?摇案例1 在探索分式方程“增根”产生的原因之后，笔者出示了一解方程的错解：x2=3x，等式两边同时除以x得x=3. 对于这个结果学生惊奇了，他们发现这与他们用常规解法得出的解少了一个——x=0. 这极大地提高了学生的学习兴趣，并产生了认知冲突，从而给学生创造一个寻找“错误”的机会，学生很自觉地去寻找此解法的错误原因. 不长时间就有学生站起来回答说：方程两边不能都除以x，因为只有x确保它不为0时才可以使用，而此题x=0恰好是这个方程的一个根，这就出现了“失根”的情况.笔者又适时出示了另一解方程的错解： x=6x，两边都除以x得：1=6，此题同样因为错误地运用了等式性质，致使出现了荒唐的结果. 这样的教学将课堂的主动权交给学生，让学生在辨错的过程中发现了知识的联系点，巩固了等式性质的应用，相信学生在今后的学习中碰到应用该等式性质的时候会“小心行事”，避免重蹈覆辙.
对症下药——通过纠错培养良好的思维品质
?摇教师不仅要引导学生能从知识的定义、本质出发辨错，更要引导学生学会对错误进行对症下药，帮助学生找出错误的来源并发展该问题，找到更成熟的解法和一般结论. 笔者尝试在典型的纠错过程中让学生暴露思维，以积极的态度去面对错误和失败，通过纠错回顾解题的思路，引导学生积极整理思维过程，寻找错误原因，寻求出知识点与数学思想方法上的漏缺，概括总结出一般方法和规律，使解题过程清晰，思维条理化、精确化和概括化，收到较好的效果.
许多学生在解题时往往满足于求出一解，导致不完整解题. 教师要引导学生探究分析出现漏解情况的原因，积累经验，强化数学分类的严密性，分类标准的科学化，促使学生的思维水平有层次、有步骤地向更优化的方向发展.
案例2 为美化环境，在某小区内用30 m2的草皮铺设一块长为10 m的等腰三角形绿地，求这个等腰三角形绿地的另两边长.
错解：（1）当AB为底边时，如图1，设AB=10，则AD=BD=5. 又S△ABC=AB•CD=30，故CD =6， 由勾股定理可得AC=BC=（m）.
（2）当AB为腰时，如图2，AB=AC=10，由面积易得CD=6，从而AD==8 m，BD=2 m，因此BC=2（m）.
图2
学生的上述解法虽然进行了分类，看似正确，但仍漏了一种情况：当AB为腰且三角形为钝角三角形时，如图3，AB=BC=10，AD=AB+BD=18，所以AC==6（m）.
本题是一个无图附题，引导学生思考时，不能忽视图形的位置或形状，应寻找出它们的内在联系，探索出一般规律，思维方式不能单一，对基本图形的基本性质和图形关系要熟练掌握，且能正确运用. 因此，对于本题分类标准的制定不仅要考虑到图形的基本性质还需考虑到图形的位置或形状. 遇到等腰三角形时，这是一个极易出现多解的问题.在这两个基本原则的基础上再制定分类标准时，可以先按图形的性质分成AB为底边与AB为腰两大类后再依据图形的位置关系即以高CD在△ABC的形内外两个方面对前两类进行细化分类，当然亦可先考虑图形位置再考虑图形性质，由此进行分类.
将计就计——通过错解激发创新思维
英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用它是不可原谅的”. 在数学教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是没有必要的. 而课堂上发生的错误并非是一文不值的，它往往反映了学生的思维能力，反映了学生的真实想法，这其中总会包含着合理的成分. 教师应该善于巧用错误，善于发现错误背后隐藏的教育价值，引领学生从错中找出合理的一面，从错中找出与正确方法之间的联系，把“错误”资源巧妙地予以运用，不仅能让学生尽快走出误区，还能激发学生的创新思维.
案例3 七年级期末复习课中笔者给出了一个化简题目：+，并请两位学生板演，其中一位学生通过通分求出正确的结果，而另一位学生解的过程是：原式＝3（x-1）+2（2-x）=3x-3+4-2x=x+1. 当笔者点评这个学生的解法时，引来了一些嘲笑，于是笔者立即问：错在哪儿呢？学生回答道：“把方程变形（去分母）搬到解计算题上了，结果丢了分母.” 这个做错的学生面红耳赤，低下了头. 但这时笔者来了一个“顺水推舟，将错就错”：“刚才这位同学把计算题当作方程来解，虽然解法错了，但却给我们一个启示，若能将该题去掉分母来解，其“解法”确实简洁明快，因此我们能否考虑利用解方程的方法来解它呢？”由此一个新颖的解法也出来了.
解：设 +＝A，
去分母得：3（x-1）+2（2-x）=6A，
去括号得：3x-3+4-2x=6A，
合并同类项得：x+1=6A，
解得：A=.
所以此题的结果是.
这位做错题目的学生终于笑了. 这时学生都赞叹这种用方程的解法很有创意，同时这种新颖的解法也唤回了这位学生的自信. 这种方式化腐朽为神奇，产生了意想不到的教学效果. 其实，像上面的类似错误是教师经常碰到的，学生解题错误的原因是多方面的，而“错解”往往有它合理的一面，它多是学生在新旧知识之间的符号、表象或概念、命题之间的联系上出现了编码错误，或是产生负迁移，这是学习过程中的正常现象. 也只有这种真实的思维才能真正反映出学习过程的客观规律，它实际上往往带有普遍性，因而可以以此作为很好的教学资源. 因此，教师对待学生的错误要客观辨证的分析，不必“如临大敌”，倒是应该冷静地剖析学生“错解”中的合理成分，研究它的起因，研究它与正确方法之间的联系，然后把“错误”资源合理地予以运用.
关键词：错误；教育潜能；财富
作为一名教师，你一定在学生的作业或试卷中批阅过各种错误. 看到纸上的“×”，你是烦恼？生气？心情沉重……还是会不会有一点点喜欢呢？许多教师视错误为洪水猛兽，唯恐避之不及. 可是“人非圣贤，孰能无过 ”，更何况“学生的错误都是有价值的”. 事实上，对于教师而言，学生的错误是一笔丰厚的“财富”，这些“财富”能让你追溯学生的思路，从中你能看到智慧的火花；这些”财富”能让你反思你的教学，从中受益；这些”财富”能让你看到学生的欠缺，帮助他们弥补；这些财富也能让你看到学生的可爱，让你会心一笑.
火眼金睛——通过辨错深化对知识本质的理解
?摇在学习过程中，不同的学生有着不同的知识背景、不同的情感体验、不同的表达方式和参差不齐的思维水平，因此，出错在所难免. 出错，是因为学生还不成熟，认识问题往往带有片面性；出错，是因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的；出错，才会有点拨、引导和解惑，才会有研究、创新和超越. 教师不应将错误视之为洪水猛兽，唯恐避之不及，或“快刀斩乱麻”，以一个“错”字堵住学生的嘴，再接二连三地提问，直至得出“正确答案”；或亲自“上阵”，把正确答案“双手奉上”；或“堵”或“送”，都置学生的实际于不顾. 可以想到，不让学生经历实践、获得体验，企图直接拉住学生迈向“错”的脚步，结果就可能阻断他们迈向成功的道路. 布鲁纳说“学生的错误都是有价值的”，教师不仅应该引导学生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去伪存真”，让学生带着火眼金睛发现错误，还要适当地设置一些有一定思维价值、能激发学生惊奇感的问题，让学生在辨析错误的同时激发学生学习探索的兴趣，并带着如何解决这些问题的强烈愿望去迁移知识、分析思考，从而加深对知识本质的理解.
?摇案例1 在探索分式方程“增根”产生的原因之后，笔者出示了一解方程的错解：x2=3x，等式两边同时除以x得x=3. 对于这个结果学生惊奇了，他们发现这与他们用常规解法得出的解少了一个——x=0. 这极大地提高了学生的学习兴趣，并产生了认知冲突，从而给学生创造一个寻找“错误”的机会，学生很自觉地去寻找此解法的错误原因. 不长时间就有学生站起来回答说：方程两边不能都除以x，因为只有x确保它不为0时才可以使用，而此题x=0恰好是这个方程的一个根，这就出现了“失根”的情况.笔者又适时出示了另一解方程的错解： x=6x，两边都除以x得：1=6，此题同样因为错误地运用了等式性质，致使出现了荒唐的结果. 这样的教学将课堂的主动权交给学生，让学生在辨错的过程中发现了知识的联系点，巩固了等式性质的应用，相信学生在今后的学习中碰到应用该等式性质的时候会“小心行事”，避免重蹈覆辙.
对症下药——通过纠错培养良好的思维品质
?摇教师不仅要引导学生能从知识的定义、本质出发辨错，更要引导学生学会对错误进行对症下药，帮助学生找出错误的来源并发展该问题，找到更成熟的解法和一般结论. 笔者尝试在典型的纠错过程中让学生暴露思维，以积极的态度去面对错误和失败，通过纠错回顾解题的思路，引导学生积极整理思维过程，寻找错误原因，寻求出知识点与数学思想方法上的漏缺，概括总结出一般方法和规律，使解题过程清晰，思维条理化、精确化和概括化，收到较好的效果.
许多学生在解题时往往满足于求出一解，导致不完整解题. 教师要引导学生探究分析出现漏解情况的原因，积累经验，强化数学分类的严密性，分类标准的科学化，促使学生的思维水平有层次、有步骤地向更优化的方向发展.
案例2 为美化环境，在某小区内用30 m2的草皮铺设一块长为10 m的等腰三角形绿地，求这个等腰三角形绿地的另两边长.
错解：（1）当AB为底边时，如图1，设AB=10，则AD=BD=5. 又S△ABC=AB•CD=30，故CD =6， 由勾股定理可得AC=BC=（m）.
（2）当AB为腰时，如图2，AB=AC=10，由面积易得CD=6，从而AD==8 m，BD=2 m，因此BC=2（m）.
图2
学生的上述解法虽然进行了分类，看似正确，但仍漏了一种情况：当AB为腰且三角形为钝角三角形时，如图3，AB=BC=10，AD=AB+BD=18，所以AC==6（m）.
本题是一个无图附题，引导学生思考时，不能忽视图形的位置或形状，应寻找出它们的内在联系，探索出一般规律，思维方式不能单一，对基本图形的基本性质和图形关系要熟练掌握，且能正确运用. 因此，对于本题分类标准的制定不仅要考虑到图形的基本性质还需考虑到图形的位置或形状. 遇到等腰三角形时，这是一个极易出现多解的问题.在这两个基本原则的基础上再制定分类标准时，可以先按图形的性质分成AB为底边与AB为腰两大类后再依据图形的位置关系即以高CD在△ABC的形内外两个方面对前两类进行细化分类，当然亦可先考虑图形位置再考虑图形性质，由此进行分类.
将计就计——通过错解激发创新思维
英国心理学家贝恩布里奇说：“错误人皆有之，作为教师不利用它是不可原谅的”. 在数学教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是没有必要的. 而课堂上发生的错误并非是一文不值的，它往往反映了学生的思维能力，反映了学生的真实想法，这其中总会包含着合理的成分. 教师应该善于巧用错误，善于发现错误背后隐藏的教育价值，引领学生从错中找出合理的一面，从错中找出与正确方法之间的联系，把“错误”资源巧妙地予以运用，不仅能让学生尽快走出误区，还能激发学生的创新思维.
案例3 七年级期末复习课中笔者给出了一个化简题目：+，并请两位学生板演，其中一位学生通过通分求出正确的结果，而另一位学生解的过程是：原式＝3（x-1）+2（2-x）=3x-3+4-2x=x+1. 当笔者点评这个学生的解法时，引来了一些嘲笑，于是笔者立即问：错在哪儿呢？学生回答道：“把方程变形（去分母）搬到解计算题上了，结果丢了分母.” 这个做错的学生面红耳赤，低下了头. 但这时笔者来了一个“顺水推舟，将错就错”：“刚才这位同学把计算题当作方程来解，虽然解法错了，但却给我们一个启示，若能将该题去掉分母来解，其“解法”确实简洁明快，因此我们能否考虑利用解方程的方法来解它呢？”由此一个新颖的解法也出来了.
解：设 +＝A，
去分母得：3（x-1）+2（2-x）=6A，
去括号得：3x-3+4-2x=6A，
合并同类项得：x+1=6A，
解得：A=.
所以此题的结果是.
这位做错题目的学生终于笑了. 这时学生都赞叹这种用方程的解法很有创意，同时这种新颖的解法也唤回了这位学生的自信. 这种方式化腐朽为神奇，产生了意想不到的教学效果. 其实，像上面的类似错误是教师经常碰到的，学生解题错误的原因是多方面的，而“错解”往往有它合理的一面，它多是学生在新旧知识之间的符号、表象或概念、命题之间的联系上出现了编码错误，或是产生负迁移，这是学习过程中的正常现象. 也只有这种真实的思维才能真正反映出学习过程的客观规律，它实际上往往带有普遍性，因而可以以此作为很好的教学资源. 因此，教师对待学生的错误要客观辨证的分析，不必“如临大敌”，倒是应该冷静地剖析学生“错解”中的合理成分，研究它的起因，研究它与正确方法之间的联系，然后把“错误”资源合理地予以运用.