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所谓多维型思维，是指在思维的总进程中，由多个思维指向、多个思维起点、多个逻辑规则、多个评价标准、多个思维结论组成的多渠道逻辑线索的思维模式，其富有网络性特征、主体性特点，思维流畅、交通，不拘泥常规常法，善于开拓、变异。在数学教学中，教师注重多维性数学思维的培养和训练，有利于学生掌握知识间的内在联系，透彻地理解教材，巩固所学的知识，并能激发学习兴趣，开阔知识视野，培养分析能力、探索能力、解决问题的能力。
一题之“多”是指：一题多解、一题多变、一题多问、一题多用、一题多联等几个方面。实践证明：一题之“多”是进行多维型数学思维训练的有效方法，下面各举一例以说之，请同行们指正。
一、一题多解，拓广思路，发散数学思维
例1：已知X+Y=1，求X+Y的最小值。
解法一：（利用变元法）把Y=1-X代入X+Y得：
X+Y=X+（1-X）=2（X-）+，
∴当X=时，X+Y的最小值为。
解法二：（利用判别式法）设m=X+Y，
则m=X+（1-X），即2X-2X+1-m=0。
∵X∈R，
∴判别式△=（-2）-4×2（1-m）≥0，得m≥，
∴X+Y的最小值为。
解法三：（利用点到直线的距离公式）把X+Y=1看作一条直线方程（如图1），把求X+Y的最小值的问题转化为直线AB上找一点C（X，Y），使C到原点的距离为最小。作OC⊥AB，垂足C点即为所求的点。
∵|OC|==，∴|OC|=，∴X+Y的最小值为。
解法四：（利用三角函数的性质）设X+Y=n（n≥0），令X=ncosθ，Y=nsinθ，代入X+Y=1中，得ncosθ+nsinθ=1，n==，n=≥，∴X+Y的最小值为。
解法五：（利用基本不等式的性质）∵X+Y=1，和为定值，XY当且仅当X=Y=时有最大值，∴X+Y=（X+Y）-2XY=1-2XY≥1-=即X+Y有最小值为。
通过上述多种解法，学生的思维始终处于一种“追求从另一个角度思考”的动的状态，这不仅可使学生获得多种解题途径和方法，将不同章节的数学知识从横向加以串通和融化，而且有利于拓宽知识视野，开拓解题思路，提高解题能力，更培养了思维的敏捷性。
二、一题多变，活跃思路，深化数学思维
例2：7个人坐在一条长凳上，如果甲、乙两人必须坐在一起，有多少种不同的坐法？
将本题的某些条件进行简单变换、深挖、推广，可演变成一连串的排列组合题：
1. 7个人并排站成一行，①甲、乙、丙三人要站在一起；②3个女生要站在一起，4个男生也要站在一起；③其中3个女生、4个男生，男生要间隔站；④甲、乙两人之间要站1人；⑤乙必须站在甲右边（可以不相邻），问以上分别有多少种不同站法？
2. 4只白球，3只红球摆成一排，红球全摆在一起，有多少种摆法？
3.某铁路调车场有7股道，要停放4列火车（每股一列），其中有3股靠在一起的股道无车，有多少种不同的停法？
4.从7名男生中选出5名，从4名女生中选出2名站成一行，有多少种不同站法？若其中2名女生必须站在一起，又有多少种不同的站法？
5. 7个人值班，分早、中、夜三班，每班至少2人，有多少种不同的安排方法？
将题目演变、拓广，使原来一道题，变成多类题，无疑能提高学生举一反三、触类旁通的能力。利用这些变题对学生进行启发、诱导、联系、对比，有利于学生摸素解题规律，提高分析能力和解题能力，从而培养学生思维的灵活性。
三、一题多问，展开思路，引导数学思维
例3：把长、宽各为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角（如图2），求：
1.顶点B和D的距离；
2.BD与平面ADC所成的角；
3.二面角B—AD—C的度数；
4.AC与BD所成的角；
5.AC与BD的距离；
6.AD与BC的距离。
图２
解这样的一题多问，学生可系统地复习立体几何中有关角、距离的概念，从一题多问中展开思路，活跃思路，使数学思维得以引导和发散，同时可培养学生的解题能力，有事半功倍的效果。
四、一题多用，开阔思路，拓宽数学思维
例4：求证：（a+b+c）（++）≥9（a、b、c∈R）。
证明：∵a、b、c∈R，∴a+b+c≥3，＞0。
同向不等式相乘即可证得。
运用本题可较敏捷地证得下列各题：
1.已知a、b、c是实数，求证：++≥。
2.若loga＞0，loga＞0，loga＞0，mnl=a，求证：loga+loga+loga=logm+logn+logl。
3.求证：在锐角△ABC中，有tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA≥9。
4.设h，h，h及γ不分别为△ABC三边上的高及内切圆半径，且h+h+h=9γ，证明：△ABC是正三角形。
数学中的每一题均源于一题型，共性于一题型，解法于一题型，解题时应重视总结、分析，善于通过解完一题，得出一个题型，并运用这一题型去猎取较广、较难的问题。一题多用的训练可使知识由浅入深，思维更加宽广、活跃，让学生有所知、有所得、有所行，受益匪浅。
五、一题多联，深入思路，发展数学思维
例5：设X、X、X…都是正数，求证：+++…++≥X+X…+X。
联想1：联想到平均不等式：
+X≥2X，+X≥2X，…，+X≥2X，+X≥2X，同向不等式相加可证之。
联想2：联想到构造二次函数：
设左边=μ，
令f（t）=（∑X）t-2（∑X）t+μ=（t-）+（t-）+…+（t-）。
联想3，联想到柯西不等式：
（X+X+X+…+X）=（·+·+…+·+·）≤（X+X+…+X+X）（++…++）。
解题与联想是分不开的，在解题教学中，教师应引导学生带着问题从各个方向进行联想，促使学生的思维向多层次、多方位发散，解决问题的能力不断提高。一题多联的训练可以拓展学生的视野，使学生的思维广阔，对于活跃学生的思维，诱发创造因子的萌动大有裨益 。
一题之“多”是指：一题多解、一题多变、一题多问、一题多用、一题多联等几个方面。实践证明：一题之“多”是进行多维型数学思维训练的有效方法，下面各举一例以说之，请同行们指正。
一、一题多解，拓广思路，发散数学思维
例1：已知X+Y=1，求X+Y的最小值。
解法一：（利用变元法）把Y=1-X代入X+Y得：
X+Y=X+（1-X）=2（X-）+，
∴当X=时，X+Y的最小值为。
解法二：（利用判别式法）设m=X+Y，
则m=X+（1-X），即2X-2X+1-m=0。
∵X∈R，
∴判别式△=（-2）-4×2（1-m）≥0，得m≥，
∴X+Y的最小值为。
解法三：（利用点到直线的距离公式）把X+Y=1看作一条直线方程（如图1），把求X+Y的最小值的问题转化为直线AB上找一点C（X，Y），使C到原点的距离为最小。作OC⊥AB，垂足C点即为所求的点。
∵|OC|==，∴|OC|=，∴X+Y的最小值为。
解法四：（利用三角函数的性质）设X+Y=n（n≥0），令X=ncosθ，Y=nsinθ，代入X+Y=1中，得ncosθ+nsinθ=1，n==，n=≥，∴X+Y的最小值为。
解法五：（利用基本不等式的性质）∵X+Y=1，和为定值，XY当且仅当X=Y=时有最大值，∴X+Y=（X+Y）-2XY=1-2XY≥1-=即X+Y有最小值为。
通过上述多种解法，学生的思维始终处于一种“追求从另一个角度思考”的动的状态，这不仅可使学生获得多种解题途径和方法，将不同章节的数学知识从横向加以串通和融化，而且有利于拓宽知识视野，开拓解题思路，提高解题能力，更培养了思维的敏捷性。
二、一题多变，活跃思路，深化数学思维
例2：7个人坐在一条长凳上，如果甲、乙两人必须坐在一起，有多少种不同的坐法？
将本题的某些条件进行简单变换、深挖、推广，可演变成一连串的排列组合题：
1. 7个人并排站成一行，①甲、乙、丙三人要站在一起；②3个女生要站在一起，4个男生也要站在一起；③其中3个女生、4个男生，男生要间隔站；④甲、乙两人之间要站1人；⑤乙必须站在甲右边（可以不相邻），问以上分别有多少种不同站法？
2. 4只白球，3只红球摆成一排，红球全摆在一起，有多少种摆法？
3.某铁路调车场有7股道，要停放4列火车（每股一列），其中有3股靠在一起的股道无车，有多少种不同的停法？
4.从7名男生中选出5名，从4名女生中选出2名站成一行，有多少种不同站法？若其中2名女生必须站在一起，又有多少种不同的站法？
5. 7个人值班，分早、中、夜三班，每班至少2人，有多少种不同的安排方法？
将题目演变、拓广，使原来一道题，变成多类题，无疑能提高学生举一反三、触类旁通的能力。利用这些变题对学生进行启发、诱导、联系、对比，有利于学生摸素解题规律，提高分析能力和解题能力，从而培养学生思维的灵活性。
三、一题多问，展开思路，引导数学思维
例3：把长、宽各为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角（如图2），求：
1.顶点B和D的距离；
2.BD与平面ADC所成的角；
3.二面角B—AD—C的度数；
4.AC与BD所成的角；
5.AC与BD的距离；
6.AD与BC的距离。
图２
解这样的一题多问，学生可系统地复习立体几何中有关角、距离的概念，从一题多问中展开思路，活跃思路，使数学思维得以引导和发散，同时可培养学生的解题能力，有事半功倍的效果。
四、一题多用，开阔思路，拓宽数学思维
例4：求证：（a+b+c）（++）≥9（a、b、c∈R）。
证明：∵a、b、c∈R，∴a+b+c≥3，＞0。
同向不等式相乘即可证得。
运用本题可较敏捷地证得下列各题：
1.已知a、b、c是实数，求证：++≥。
2.若loga＞0，loga＞0，loga＞0，mnl=a，求证：loga+loga+loga=logm+logn+logl。
3.求证：在锐角△ABC中，有tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA≥9。
4.设h，h，h及γ不分别为△ABC三边上的高及内切圆半径，且h+h+h=9γ，证明：△ABC是正三角形。
数学中的每一题均源于一题型，共性于一题型，解法于一题型，解题时应重视总结、分析，善于通过解完一题，得出一个题型，并运用这一题型去猎取较广、较难的问题。一题多用的训练可使知识由浅入深，思维更加宽广、活跃，让学生有所知、有所得、有所行，受益匪浅。
五、一题多联，深入思路，发展数学思维
例5：设X、X、X…都是正数，求证：+++…++≥X+X…+X。
联想1：联想到平均不等式：
+X≥2X，+X≥2X，…，+X≥2X，+X≥2X，同向不等式相加可证之。
联想2：联想到构造二次函数：
设左边=μ，
令f（t）=（∑X）t-2（∑X）t+μ=（t-）+（t-）+…+（t-）。
联想3，联想到柯西不等式：
（X+X+X+…+X）=（·+·+…+·+·）≤（X+X+…+X+X）（++…++）。
解题与联想是分不开的，在解题教学中，教师应引导学生带着问题从各个方向进行联想，促使学生的思维向多层次、多方位发散，解决问题的能力不断提高。一题多联的训练可以拓展学生的视野，使学生的思维广阔，对于活跃学生的思维，诱发创造因子的萌动大有裨益 。