摘要：函数是贯穿高中数学教学的主线，函数也是解决问题的基本数学模型。函数应用主要反映在两个方面：一是用函数思想描述、分析、讨论其他的数学内容；二是用函数模型解决简单的实际问题。本文通过对例题的探讨，分析了运用函数在解决实际问题中可能出现的误区。
　　关键词：函数应用问题；数学模型；数学思想方法
　　提高数学素质，核心是要提高学生对数学思想方法的认识、理解和掌握，贴近社会生产和生活实际的数学应用问题，体现了数学基本方法的灵活应用和基本数学思想的渗透。函数知识应用十分广泛，利用函数知识解应用问题是数学应用题的主要类型之一。
　　一、解函数应用问题的主要步骤
　　第一步：阅读理解、认真审题。读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概况出来的数学实质。分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数化。审题是要抓住题目中关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归实现应用问题向数学问题的转化。
　　第二步：引进数学符号，建立数学模型。一般设自变量为，函数为，根据问题已知条件，建立函数关系式，实现问题的数学化。
　　第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题予以解答，求的结果。
　　第四步：转译成具体问题做出解答。
　　二、两类函数模型
　　（一）数学模型为无理函数问题。
　　例1：有甲、乙两种商品，经营销售这种商品所能获得的利润依次是P（万元）和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系，有经验公式：P=x5，Q=35x，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大的利润是多少？
　　分析：应根据题意，建立利润与投入资金之间的函数关系，求的函数关系式，然后在转化为求函数最大值问题，换元法是求无理函数最值的常用方法。
　　解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为（3-x）万元，总利润y万元，根据题意有y=15x+353-x（0≤x≤3）。
　　令3-x=t，则x=3-t2，0≤t≤3。
　　∴y=15（3-t2）+35t=-15（t-32）2+2120，t∈[0，3]
　　当t=32时，ymax=1.05，此时x=0.75，3-x=2.25
　　由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得最大利润1.05万元。
　　（二）函数模型为y=ax+bx型。
　　例2：某工厂对某种原料的全年需要量是Qt，为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购进。已知每次订购费用是a元，全年保管费用率是p，它与每次购进的数量xt及全年保管费元S之间的关系是S=12px。问全年订购多少次，才能是订购费用与保管费之和最少？并求出这个最少费用之和（为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数）。
　　解：全年订购费为a·Qx，全年保管费为S=12px，订购费与保管费之和为y=a·Qx+12px。
　　由于a·Qx+12px≥212paQ=2paQ，
　　当且仅当a·Qx=12px，即x=2pxQp时取等号，即最优批量订购量为x0=2aQppt，最少费用之和为ymin=2paQ，全年最佳订购次数n=Qx0=2paQ2a（次），故全年订购2paQ2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ元。
　　三、函数应用问题中的“误区”
　　（一）忽视从实际出发确定函数的定义域致错。
　　例3：某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两条隔壁建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）。
　　（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指出其定义域。
　　（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价。
　　错解：（1）污水处理池的长为x米，则宽为200x米，总造价
　　y=400（2x+2×200x）+248×200x×2+80×200
　　=800（x+324x）+16000（0　　（2）y=800（x+324x）+16000≥800·2324+16000=44800，当且仅当x=324x，即x=324=18
　　最低造价为44800元。
　　错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域0　　正解：（1）y=800（x+324x）+16000，∵200x≤16，∴x≥12.5，则定义域[12.5，16]。
　　（2）y=800（x+324x）+16000，y'=800（1-324x2）在定义域[12.5，16]上为减函数，所以长和宽分别为16米，12.5米时，总造价最低且为45000元。
　　（二）由于对实际问题理解不全面而致错。
　　例4：在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车距与车速v（单位：km/小时）的平方和车身长（单位：m）的乘积成正比，且最小车距不得少于半个车身长。假定车身长为l（单位：m），且当车速为50（km/小时）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量Q最大？
　　（车流量=車速车距+车身长）
　　错解：d=kv2l，将v=50，d=l代入得k=12500，∴d=12500v2l，又将d=12l代入得v=252，由题意得d=12500v2l（v≥252），将Q=1000vd+l=1000vl（1+v22500）（v≥252），∵1000l（1v+v2500）≤1000l·21v·v2500=25000l 　　∴当且仅当v=50时，Qmax=25000l
　　综上所知：v=50（km/h）取最大值。
　　错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程是错误的，即虽然车速要求不低于252（km/h），所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数。
　　正解：依题意，得d=12l（v≤252）12500v2l（v>252），
　　则Q=1000vd+l=1000v3l2（v≤252）1000vl（1+v22500）（v>252），显然，当v≤252时，Q是v的增函数，
　　∴v=252时，Qmax=1000v32l=5000023l，
　　当v>252时，∵1000l（1v+v2500）≤1000l·21v·v2500=25000l，当且仅当v=50时，Qmax=25000l，综上所述，当v=50（km/h）时车流量Q取到最大值。
　　（三）结果与事实不符而致错。
　　例5：WAP手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟），按30元计费；超过500分钟的部分按0.15/分钟计费。假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟计费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。
　　（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式；
　　（2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？
　　（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
　　错解：（1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
　　y=0，0　　0.5x，1≤x<60
　　30，60≤x≤500
　　0.15x，x>500
　　（2）当x=20×60=1200分钟，x>500，应付y=30+0.15×1200=180元。
　　（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为600分钟。
　　错解分析：此题错解主要是对“超过500分钟的部分按0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，是30元包月用500分钟的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而可上网时间才多了100分钟，与事实不符。
　　正解：（1）設上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
　　y=0，　　0.5x，1≤x<60
　　30，60≤x≤500
　　30+0.15（x-500），x>500
　　（2）当x=20×60=1200分钟，x>500，应付y=30+0.15（1200-500）=135元
　　（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为900分钟。
　　函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤，注意避免进入以上几个误区。
　　参考文献
　　[1]《普通高中课程标准》.
　　[2]《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》教师用书，北京师范大学出版社.
　　[3]《数学学习方法博览》，现代教育出版社.