论文部分内容阅读
摘要：本文运用方差GAMMA模型对外汇收益分布特征进行对比拟合分析，并结合几种被选汇率数据对模型参数进行估计。KS检验和卡方拟合优度检验的实证结果表明V.G.模型比Black-Schloes模型有更高的拟合度，说明了V.G.模型比Black-Schloes模型更好地模拟汇率收益动态运动过程。
关键词：V.G.模型；外汇；收益分布
Abstract：The article examines the characteristics of foreign exchange returns distribution，coupling with kinds of foreign exchange datas， figures out parameters of model by using variance gamma model.The empirically results ofKolmogorov-Smirnov test and goodness of fit chi-square test shows that V.G. Model，comparing with Black-Schloes Model tset， provides larger degree of goodness-of-fit and better models the dynamics of foreign-exchange.
Key Word：V.G.model，foreign exchange，returnsdistribution
中图分类号：F830文献标识码：A文章编号：1674-2265（2009）03-0024-02
一、引言
在外汇期权定价方面，无论是利用Black-Schloes模型，还是利用例如Mentle Carlo数值方法，都建立在基础资产（本文为汇率）的价格运动过程服从对数正态分布的假设条件之上。然而，市场实证分析的结论是基于对数正态分布的期权定价会产生定价偏差，这就是著名的隐含波动率微笑和波动率期限结构。按照Black-Schloes模型，波动率应为常量，而隐含波动率微笑则表明：对于深价外或价内期权，波动率较高，从而低估价内、价外期权；对于平价期权，波动率较低，从而高估了平价期权。在上世纪80年代中期，当绝对多数交易员都认为汇率服从对数正态分布时，一些交易员则敏锐发现波动率微笑现象，结果这些交易员获得了丰厚的额外收益，但是到80年代末额外收益则很难获得，说明市场基本都承认汇率不服从对数正态分布的假设。根据波动率微笑，相对于对数正态分布，基础资产的价格分布应该呈现更大的峰度和肥尾现象（John Hull，2006）。
针对传统观点即外汇收益服从对数正态分布的不足，本文首次提出对称的V.G.模型 来反映外汇收益分布的高峰厚尾现象，并且本文随后的数据模拟和实证分析的结果证明了V.G.模型比对数正态模型更能反映外汇收益的特征。
二、模型
V.G.过程的实证经验属性有:（1）资产日收益率V.G.分布相对于正态分布呈现厚尾，但对长周期收益率分布趋于正态；（2）有限矩；（3）V.G.过程为连续时间、稳定增量、无限可分的过程，V.G.分布为独立同分布。属性（1）基本与实证的对数汇率分布相符，属性（2）和（3）则说明V.G.过程与布朗运动过程一样有很好的性质，便于期权定价。V.G.模型由布朗运动和服从Gamma分布的随机时变构成。令：
其中：随机时变 服从均值为1、方差为v的gamma分布， 为波动率，为扩散系数，W是标准布朗运动。
从V.G.过程的Lévy测度
可知：V.G.过程是纯跳跃过程，且在任何不重叠时间间隔内，具有无限的到达率，即无限次跳跃，其中绝大部分跳跃的强度小，这一方面反映了汇率有时产生剧烈波动，大部分时间波动幅度小的现象；另一方面也说明V.G.过程没有鞅部分，从而不能用期权定价非常有用的工具—鞅原理来处理V.G.过程和描述汇率运动过程。更进一步可以注意到v控制着分布函数尾部概率和峰度，因为增加v的值，就会降低Lévy测度的衰变率，从而提高了大幅度跳跃的可能性，进而增大了分布函数尾部概率和峰度。这点也可以从V.G.过程的前四阶矩得知。
令表示第t交易日的汇率，令，则有：
其中：m为预期收益率，w在black-Sscholes模型下为0，但在V.G.模型下 。
的密度函数
其中 为gamma函数， 为修正的第二类bessel函数。
三、数据及实证结果
（一）数据来源
本文选取了从2006年9月5日到2008年8月8日间（共500个交易日）交易最为活跃的欧元兑美元、英镑兑美元、美元兑加元、美元兑瑞士法郎和美元兑日元汇率数据，数据均来自TV Trader交易软件。所有汇率数据均为收盘价，且为经过调整后的中间价。
（二）参数估计①
本文利用密度函数（3），运用Matlab软件，采用最大似然估计法来进行参数估计。参数估计时为了避免不恰当的参数初始值赋值引起估计的参数值远偏离其真实值，本文采用最小二乘法来对参数初始值赋值（参数估计见表1）。
（三）拟合优度检验
本文通过KS距离检验和卡方拟合优度检验来测度Black-Scholes模型和V.G.模型的拟合优劣程度。（检验结果见表2）。
KS距离检验即Kolmogorov-Smirnov检验是测试检验某组数据是否来自某一分布，原理是若原假设H0成立，则KS距离较小。KS距离定义为考虑变量所有可能值的实际分布和理论分布之间距离绝对值最大值，即其中是实际累积分布函数，是原假设的理论分布函数。
拟合优度检验是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从某种理论分布或某种假设分布所作的假设检验，原理是判断样本观察频数（Observed frequency）与理论（期望）频数（Expected frequency ）之差是否由抽样误差所引起，统计量
从表格2可以看出，KS距离检验和卡方拟合优度检验都显示V.G.模型比Black-Scholes模型有更好的拟合优度。
四、结论
本文先介绍了用于模拟汇率动态运动过程的V.G.模型，然后以当前交易量最为活跃的几种汇率数据为基础，通过KS距离检验和卡方拟合优度检验对比检测Black-Scholes模型和V.G.模型的拟合优劣程度。实证结果显示V.G.模型比Black-Scholes模型有更好的拟合优度，即V.G.模型比Black-Scholes模型能更好地模拟汇率运动过程，而汇率运动过程是外汇期权定价及其风险管理的基础，所以V.G.模型对Black-Scholes模型的改进对外汇期权定价及外汇期权风险管理有很大帮助。
注：
①本文在用Matlab软件进行参数估计和模型拟合优度检验时部分参考了Gerald Recktenwald的Matlab代码。
参考文献：
[1]John C.Hull.Options，“Futures and Other Derivatives(sixth edition)”[M](2006). PrenticeHall.pp.331-332.
[2]Dilip B.Madan and Eugene Seneta. “The Variance Gamma(V.G.) Model for Share Market Returns[J]”.The Journal of Business， Vol.63，N0.4， Oct.，1990，pp.511-524.
（特约编辑 齐稚平）
关键词：V.G.模型；外汇；收益分布
Abstract：The article examines the characteristics of foreign exchange returns distribution，coupling with kinds of foreign exchange datas， figures out parameters of model by using variance gamma model.The empirically results ofKolmogorov-Smirnov test and goodness of fit chi-square test shows that V.G. Model，comparing with Black-Schloes Model tset， provides larger degree of goodness-of-fit and better models the dynamics of foreign-exchange.
Key Word：V.G.model，foreign exchange，returnsdistribution
中图分类号：F830文献标识码：A文章编号：1674-2265（2009）03-0024-02
一、引言
在外汇期权定价方面，无论是利用Black-Schloes模型，还是利用例如Mentle Carlo数值方法，都建立在基础资产（本文为汇率）的价格运动过程服从对数正态分布的假设条件之上。然而，市场实证分析的结论是基于对数正态分布的期权定价会产生定价偏差，这就是著名的隐含波动率微笑和波动率期限结构。按照Black-Schloes模型，波动率应为常量，而隐含波动率微笑则表明：对于深价外或价内期权，波动率较高，从而低估价内、价外期权；对于平价期权，波动率较低，从而高估了平价期权。在上世纪80年代中期，当绝对多数交易员都认为汇率服从对数正态分布时，一些交易员则敏锐发现波动率微笑现象，结果这些交易员获得了丰厚的额外收益，但是到80年代末额外收益则很难获得，说明市场基本都承认汇率不服从对数正态分布的假设。根据波动率微笑，相对于对数正态分布，基础资产的价格分布应该呈现更大的峰度和肥尾现象（John Hull，2006）。
针对传统观点即外汇收益服从对数正态分布的不足，本文首次提出对称的V.G.模型 来反映外汇收益分布的高峰厚尾现象，并且本文随后的数据模拟和实证分析的结果证明了V.G.模型比对数正态模型更能反映外汇收益的特征。
二、模型
V.G.过程的实证经验属性有:（1）资产日收益率V.G.分布相对于正态分布呈现厚尾，但对长周期收益率分布趋于正态；（2）有限矩；（3）V.G.过程为连续时间、稳定增量、无限可分的过程，V.G.分布为独立同分布。属性（1）基本与实证的对数汇率分布相符，属性（2）和（3）则说明V.G.过程与布朗运动过程一样有很好的性质，便于期权定价。V.G.模型由布朗运动和服从Gamma分布的随机时变构成。令：
其中：随机时变 服从均值为1、方差为v的gamma分布， 为波动率，为扩散系数，W是标准布朗运动。
从V.G.过程的Lévy测度
可知：V.G.过程是纯跳跃过程，且在任何不重叠时间间隔内，具有无限的到达率，即无限次跳跃，其中绝大部分跳跃的强度小，这一方面反映了汇率有时产生剧烈波动，大部分时间波动幅度小的现象；另一方面也说明V.G.过程没有鞅部分，从而不能用期权定价非常有用的工具—鞅原理来处理V.G.过程和描述汇率运动过程。更进一步可以注意到v控制着分布函数尾部概率和峰度，因为增加v的值，就会降低Lévy测度的衰变率，从而提高了大幅度跳跃的可能性，进而增大了分布函数尾部概率和峰度。这点也可以从V.G.过程的前四阶矩得知。
令表示第t交易日的汇率，令，则有：
其中：m为预期收益率，w在black-Sscholes模型下为0，但在V.G.模型下 。
的密度函数
其中 为gamma函数， 为修正的第二类bessel函数。
三、数据及实证结果
（一）数据来源
本文选取了从2006年9月5日到2008年8月8日间（共500个交易日）交易最为活跃的欧元兑美元、英镑兑美元、美元兑加元、美元兑瑞士法郎和美元兑日元汇率数据，数据均来自TV Trader交易软件。所有汇率数据均为收盘价，且为经过调整后的中间价。
（二）参数估计①
本文利用密度函数（3），运用Matlab软件，采用最大似然估计法来进行参数估计。参数估计时为了避免不恰当的参数初始值赋值引起估计的参数值远偏离其真实值，本文采用最小二乘法来对参数初始值赋值（参数估计见表1）。
（三）拟合优度检验
本文通过KS距离检验和卡方拟合优度检验来测度Black-Scholes模型和V.G.模型的拟合优劣程度。（检验结果见表2）。
KS距离检验即Kolmogorov-Smirnov检验是测试检验某组数据是否来自某一分布，原理是若原假设H0成立，则KS距离较小。KS距离定义为考虑变量所有可能值的实际分布和理论分布之间距离绝对值最大值，即其中是实际累积分布函数，是原假设的理论分布函数。
拟合优度检验是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从某种理论分布或某种假设分布所作的假设检验，原理是判断样本观察频数（Observed frequency）与理论（期望）频数（Expected frequency ）之差是否由抽样误差所引起，统计量
从表格2可以看出，KS距离检验和卡方拟合优度检验都显示V.G.模型比Black-Scholes模型有更好的拟合优度。
四、结论
本文先介绍了用于模拟汇率动态运动过程的V.G.模型，然后以当前交易量最为活跃的几种汇率数据为基础，通过KS距离检验和卡方拟合优度检验对比检测Black-Scholes模型和V.G.模型的拟合优劣程度。实证结果显示V.G.模型比Black-Scholes模型有更好的拟合优度，即V.G.模型比Black-Scholes模型能更好地模拟汇率运动过程，而汇率运动过程是外汇期权定价及其风险管理的基础，所以V.G.模型对Black-Scholes模型的改进对外汇期权定价及外汇期权风险管理有很大帮助。
注：
①本文在用Matlab软件进行参数估计和模型拟合优度检验时部分参考了Gerald Recktenwald的Matlab代码。
参考文献：
[1]John C.Hull.Options，“Futures and Other Derivatives(sixth edition)”[M](2006). PrenticeHall.pp.331-332.
[2]Dilip B.Madan and Eugene Seneta. “The Variance Gamma(V.G.) Model for Share Market Returns[J]”.The Journal of Business， Vol.63，N0.4， Oct.，1990，pp.511-524.
（特约编辑 齐稚平）