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[摘 要] 教师应正确把握学生知识生成的最近发展区，安排好背景导入，把大题化小，让学生弄清各个数量间的关联，让学生凭借已经建立起来的数量关系或模型，从复杂的问题背景中抽象出知识的关联，回归数学本质，顺着梯子登阶爬墙，自然生长.
[关键词] 自然生长；数学本质；最近发展区
问题提出
（2014山东德州中考题）如图1，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离.
教学需求分析
1. 适用对象
该题适用于初二学生复习或初三中考复习.
2. 内容分析
本题以直角坐标系为背景进行命题，重点考查了学生对全等三角形的判定、方位角、图形的旋转、图形的翻折等相关基础知识或技能的掌握. 而初二数学教材中等腰三角形的性质、勾股定理、图形的旋转、图形的翻折（轴对称）等知识都是初中数学学习的基础，也是学好图形与几何的关键和重点. 为此，在复习中有必要把这些知识进行融合，提高学生的应用能力.
3. 目标分析
本题的问题设置有深度，集基础知识和数学思想方法于一体. 该题在基础复习或检测时作为压轴题，其目的主要是考查学生对图形的翻折、旋转或截长补短法的运用. 通过此题解决思路的探讨、开发、思考，能帮助学生系统而有效地复习这一部分内容的核心知识；同时能向学生说明，复习必须回归数学本质，从而达到帮助学生积累并解决问题的活动经验，以及提高解决几何综合题的能力，达到知识的自然生长.
4. 教学理念
教学设计时本着以问题为载体、以活动为依托、以能力培养为导向的原则，尽量让学生抓住数学本质，促使学生思维的自然生长. 为了落实好梳理与建构、交流与应用的关系，笔者立足于“关注自然生长与回归数学本质”，进行解题教学.
2. 方法迁移
4. 试题透析
回归问题提出，即2014年山东德州中考题.
师：图1能抽取出刚才学习的模型吗？
生1：能，延长AE，BF，相交于点H，四边形AOBH就是刚刚探究过的模型，如图9.
师：题目中满足哪些条件呢？
生1：∠OBH ∠A=180°，AO=BO，E，F分别是AH，BH上的点，且∠EOF=∠AOB.
师：根据条件，通过怎样转化，可求出EF？
生1：将△AEO绕点O顺时针旋转至△BKO，使得OA与OB重合，通过△EFO≌△KFO转化为EF=AE BF.
生2：也可以延长HB至点K，使得BK=AE，连接OK，通过证△AOE≌△BOK，△FEO≌△FKO，转化为EF=AE BF.
教学分析？摇 通过解读试题图形，使学生从中抽取出刚刚刻画的几何模型，这对引导学生对试题解法的深入探究意义重大. 教师以问题为载体，搭就学生探究的平台，让学生自然生长，自然发展.
5. 延伸发展
如图10，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式BD2 CE2=DE2始终成立，请说明理由.
师：知识是相互联系的，在三角形条件中，你会证明吗？
生3：如图10，将△ADB绕点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，得△AHC，连接EH. 通过证△ADE≌△AHE，转化为等式CH2 CE2=HE2，得证.
师：请同学们重新审题，除了旋转法以外，还有其他方法吗？
生4：过点C作HC⊥EC，使HC=BD，连接AH，EH，通过全等同样可证.
师：这就相当于把△ADB绕点A旋转，与刚才生3的证明大同小异. 继续探究，看看是否可以借助翻折来证明.
生5：如图11，将△ABD沿边AD翻折，得到△AHD，将△ACE沿边AE翻折，得到△AHE，结论转化为等式DH2 HE2=DE2，得证.
说明：也可以过点A作AH，使AH=AB，且∠HAD=∠BAD，连接DH，EH. 证△ADB≌△ADH，△AEH≌△AEC，转化为等式DH2 HE2=DE2，得证.
教学分析 充分探究试题多解，能培养学生的发散性思维，防止学生思维固化. 通过添加不同的辅助线，能让学生在玩数学的过程中自主探究，解题方法就会自然呈现，自然生长.
6. 拓展练习
教学反思
1. “自然生长”是教学之道
自然就是最美的，数学解题教学亦是如此. 而衡量是否自然，就要看其思路是否顺其自然，解法是否干脆利落，表达是否简洁明快. 苏东坡的《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”中强调“横看”“侧看”“远看”“近看”“高看”“低看”，形象地给我们展示了“自然生长”的精髓. 其特点就是给足其自然生长的时间和空间，让学生自己对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系中观察、思考、整合，重要的是能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力.
“自然生长”可以开阔学生的思路，培养学生的发散性思维及联想能力. “自然生长”能让学生学会多角度分析，学会由表及里抓住事物的本质，找出事物之间的内在联系；学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会贯通.
笔者认为，复习课重要的不是“怎么讲”，而应该是“怎么引”. 教师不能从分析到总结、从原题到变式一手包办，应针对教学内容设计一连串的引导问题，引导学生分析，让学生自己探索、经历、体会、建构，从而把握知识本质，自然生长.
2. “自然生长”要落实“最近发展区”
数学学科具有高度的抽象性和严密的逻辑性，数学学习必须通过思维去把握，去理解数学的实质. 在教学中，教师的讲解必须贴近学生的思维发展水平，要遵循学生的思维发展规律，从而提高学生的思维能力，优化学生的思维结构. 自然的解法就是从题目条件出发，跨度不大，容易想到，易于理解. 客观讲，引题的难度已经超出大多数初二年级学生的认知水平，即使中考也只有最后的综合题可能达到这样的难度. 所以我们没必要、也不应该把它放在没有任何知识铺垫的情况下呈现在学生面前. 教师要正确把握学生知识生成的最近发展区，安排好背景导入或者把题目适当分解，把大题化小，让学生弄清各个数量之间存在的等量关系或有关公式，这样学生就能凭借已经建立起来的数量关系或模型，从复杂的题目背景 图形中抽象出知识的关联，就能顺着梯子登阶爬墙，轻松入门，自然生长.
3. “自然生长”要关注数学本质
数学学习是向学生提供解决社会生活实际问题所必要的数学基础知识和基本技能. 数学研究的是抽象概念，运用的是抽象方法. 数学思想方法的教学有利于学生对数学本质的整体把握，数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的知识结构，理解知识本质，提高学生的数学思维水平，建立科学的数学观，从而发展数学、运用数学、自然生长. 因此，教师教学时要充分考虑到数学思想方法的渗透，帮助学生有效地积累数学基本活动经验，抓住数学知识本质，从而提高解决综合题的能力.
[关键词] 自然生长；数学本质；最近发展区
问题提出
（2014山东德州中考题）如图1，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离.
教学需求分析
1. 适用对象
该题适用于初二学生复习或初三中考复习.
2. 内容分析
本题以直角坐标系为背景进行命题，重点考查了学生对全等三角形的判定、方位角、图形的旋转、图形的翻折等相关基础知识或技能的掌握. 而初二数学教材中等腰三角形的性质、勾股定理、图形的旋转、图形的翻折（轴对称）等知识都是初中数学学习的基础，也是学好图形与几何的关键和重点. 为此，在复习中有必要把这些知识进行融合，提高学生的应用能力.
3. 目标分析
本题的问题设置有深度，集基础知识和数学思想方法于一体. 该题在基础复习或检测时作为压轴题，其目的主要是考查学生对图形的翻折、旋转或截长补短法的运用. 通过此题解决思路的探讨、开发、思考，能帮助学生系统而有效地复习这一部分内容的核心知识；同时能向学生说明，复习必须回归数学本质，从而达到帮助学生积累并解决问题的活动经验，以及提高解决几何综合题的能力，达到知识的自然生长.
4. 教学理念
教学设计时本着以问题为载体、以活动为依托、以能力培养为导向的原则，尽量让学生抓住数学本质，促使学生思维的自然生长. 为了落实好梳理与建构、交流与应用的关系，笔者立足于“关注自然生长与回归数学本质”，进行解题教学.
2. 方法迁移
4. 试题透析
回归问题提出，即2014年山东德州中考题.
师：图1能抽取出刚才学习的模型吗？
生1：能，延长AE，BF，相交于点H，四边形AOBH就是刚刚探究过的模型，如图9.
师：题目中满足哪些条件呢？
生1：∠OBH ∠A=180°，AO=BO，E，F分别是AH，BH上的点，且∠EOF=∠AOB.
师：根据条件，通过怎样转化，可求出EF？
生1：将△AEO绕点O顺时针旋转至△BKO，使得OA与OB重合，通过△EFO≌△KFO转化为EF=AE BF.
生2：也可以延长HB至点K，使得BK=AE，连接OK，通过证△AOE≌△BOK，△FEO≌△FKO，转化为EF=AE BF.
教学分析？摇 通过解读试题图形，使学生从中抽取出刚刚刻画的几何模型，这对引导学生对试题解法的深入探究意义重大. 教师以问题为载体，搭就学生探究的平台，让学生自然生长，自然发展.
5. 延伸发展
如图10，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式BD2 CE2=DE2始终成立，请说明理由.
师：知识是相互联系的，在三角形条件中，你会证明吗？
生3：如图10，将△ADB绕点A逆时针旋转，使得AB与AC重合，得△AHC，连接EH. 通过证△ADE≌△AHE，转化为等式CH2 CE2=HE2，得证.
师：请同学们重新审题，除了旋转法以外，还有其他方法吗？
生4：过点C作HC⊥EC，使HC=BD，连接AH，EH，通过全等同样可证.
师：这就相当于把△ADB绕点A旋转，与刚才生3的证明大同小异. 继续探究，看看是否可以借助翻折来证明.
生5：如图11，将△ABD沿边AD翻折，得到△AHD，将△ACE沿边AE翻折，得到△AHE，结论转化为等式DH2 HE2=DE2，得证.
说明：也可以过点A作AH，使AH=AB，且∠HAD=∠BAD，连接DH，EH. 证△ADB≌△ADH，△AEH≌△AEC，转化为等式DH2 HE2=DE2，得证.
教学分析 充分探究试题多解，能培养学生的发散性思维，防止学生思维固化. 通过添加不同的辅助线，能让学生在玩数学的过程中自主探究，解题方法就会自然呈现，自然生长.
6. 拓展练习
教学反思
1. “自然生长”是教学之道
自然就是最美的，数学解题教学亦是如此. 而衡量是否自然，就要看其思路是否顺其自然，解法是否干脆利落，表达是否简洁明快. 苏东坡的《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”中强调“横看”“侧看”“远看”“近看”“高看”“低看”，形象地给我们展示了“自然生长”的精髓. 其特点就是给足其自然生长的时间和空间，让学生自己对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系中观察、思考、整合，重要的是能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力.
“自然生长”可以开阔学生的思路，培养学生的发散性思维及联想能力. “自然生长”能让学生学会多角度分析，学会由表及里抓住事物的本质，找出事物之间的内在联系；学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会贯通.
笔者认为，复习课重要的不是“怎么讲”，而应该是“怎么引”. 教师不能从分析到总结、从原题到变式一手包办，应针对教学内容设计一连串的引导问题，引导学生分析，让学生自己探索、经历、体会、建构，从而把握知识本质，自然生长.
2. “自然生长”要落实“最近发展区”
数学学科具有高度的抽象性和严密的逻辑性，数学学习必须通过思维去把握，去理解数学的实质. 在教学中，教师的讲解必须贴近学生的思维发展水平，要遵循学生的思维发展规律，从而提高学生的思维能力，优化学生的思维结构. 自然的解法就是从题目条件出发，跨度不大，容易想到，易于理解. 客观讲，引题的难度已经超出大多数初二年级学生的认知水平，即使中考也只有最后的综合题可能达到这样的难度. 所以我们没必要、也不应该把它放在没有任何知识铺垫的情况下呈现在学生面前. 教师要正确把握学生知识生成的最近发展区，安排好背景导入或者把题目适当分解，把大题化小，让学生弄清各个数量之间存在的等量关系或有关公式，这样学生就能凭借已经建立起来的数量关系或模型，从复杂的题目背景 图形中抽象出知识的关联，就能顺着梯子登阶爬墙，轻松入门，自然生长.
3. “自然生长”要关注数学本质
数学学习是向学生提供解决社会生活实际问题所必要的数学基础知识和基本技能. 数学研究的是抽象概念，运用的是抽象方法. 数学思想方法的教学有利于学生对数学本质的整体把握，数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的知识结构，理解知识本质，提高学生的数学思维水平，建立科学的数学观，从而发展数学、运用数学、自然生长. 因此，教师教学时要充分考虑到数学思想方法的渗透，帮助学生有效地积累数学基本活动经验，抓住数学知识本质，从而提高解决综合题的能力.