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[摘 要] “以问导学”是一种以解决问题为中心组织教学的模式，旨在让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的过程，经历师生共同探索、发现和创造，完成数学知识的自建构，以获取数学知识和数学能力.
[关键词] 以问导学；勾股定理；实际问题
学贵有疑，学生要学习数学知识、发展数学解题能力，要经过“观察模仿、自发领悟、自觉分析、形成能力”阶段，要让学生形成解决问题的能力，教师的首要任务是质疑. 波利亚的《怎样解题》可以认为是比较早的以解决问题为主要任务的教学模式，书中的精髓“怎样解题表”激发了无数师生的数学潜能. “怎样解题表”虽不是万能方法，当然也不存在万能方法，但它给我们提供了一种如何去解决问题的参照. 即“以问导学”模式的基本流程：创设情境，提出问题→师生合作，分析问题→解决问题，得出结论→运用新知，巩固提高. 教师的教学过程以一个个精心设置的“问题”呈现出来，层层设疑，步步推进，启发学生沿着教学目标前进.
苏教版八年级上册“勾股定理的简单应用”是初中数学的重点内容，利用勾股定理进行直角三角形边长的计算在几何计算中应用极其广泛. “勾股定理的简单应用”的教学目标是“能熟练运用勾股定理进行计算，会用勾股定理解决简单的实际问题”. 在本节课中，“以问导学”可以让学生更深刻地掌握勾股定理的内容和计算方法，更熟练地学会用勾股定理知识解决实际问题. 下面以这节课为例，进行阐述.
以问启航，温故而激趣
兴趣永远是最好的老师. 在课堂教学中，通过温故旧知识的方法同样可以激发学生参与课堂的兴趣. 比如，教学时，教师提出问题：上节课我们已经掌握了勾股定理的内容及公式的变形，那么你认为勾股定理在实际问题的解决中有什么作用呢？
生1：在直角三角形中可以由已知两边的长求出第三边的长.
生2：在特殊的直角三角形（如含有30°角的直角三角形和等腰直角三角形）中，已知一边的长度可以求出另外两边的长度.
师：通过上节课的学习，大家都已掌握勾股定理的内容及简单运用，其实勾股定理在生活中也有广泛的运用.
熟悉的知识会让学生对今天的学习倍感兴趣、充满好奇，学习的兴趣由此而发，思维之门也为学习敞开.
以问启思，探究而启智
探究是思维的灵魂所在，其在关注学生深度学习、提升学生学科能力的培养中起到了至关重要的作用. 教师用问题启发学生的探究思维、引领探究方向、启迪探究智慧，能让学生在问题中真正参与到深入探究的历程中.
探究1一个门框的尺寸如图1所示，一块长为3 m、宽为2.2 m的薄木板能不能从门框内通过？为什么？
思考：（1）薄木板怎样通过？（生：斜过来即可）
（2）在长方形ABCD中，谁是斜着能通过的最大长度？（生：对角线AC的长）
（3）薄木板能否通过，关键是比较谁与谁的长短？（生：比较AC的长度与木板的宽度）
解：（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2=AB2 BC2=12 22=5，所以AC=≈2.24. 因为AC>2.2，所以木板能从门框内通过.
设计意图 该问题作为本课所学内容的起始问题，难度较低，基本适宜所有能力层次的学生，有利于提高学生的课堂参与度，给学生充分的信心；另一方面，以生活中较为常见的实际问题为例，能讓学生深刻体会数学与生活的密切关系，从而对本节课的内容产生兴趣.
探究2 如图2，一架3 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为2.5 m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子的底端B也外移0.5 m吗？
思考：（1）梯子底端B随着梯子顶端A下滑而外移到点D，那么谁的长度就是梯子外移的距离？（生：BD的长度）
（2）BD等于什么？要求BD的长，关键是要求出谁和谁的长？（生：BD=OD-OB，要求BD的长，关键是要求出OD和OB的长）
（3）梯子在下滑的过程中，哪个量保持不变？（生：梯子的长度保持不变）
（4）如何求OD和OB？你能板书出来吗？
生：（4）在Rt△AOB中，
OB===，
在Rt△COD中，OD===，所以BD=OD-OB=-≈0.58（m）. 所以梯子的底端B向外移动了约0.58 m.
设计意图 此问题比上一个问题难度稍高，应引导学生得出“梯子在下滑的过程中本身的长度保持不变”是解决问题的关键. 教师在此过程中的任务是设置好具有梯度的问题，教会学生由浅入深、由表及里地观察问题和分析问题，为解决问题做好准备.
小结 利用问题的形式启发学生对本节课所使用的方法与思想进行总结，能启迪学生站在归纳、总结的角度启发学生思考，促进学生思维增长，以此真正促进学生智慧生长.
师：你觉得用勾股定理解决实际问题的关键是什么？
生1：我觉得关键是找到直角三角形.
生2：我认为关键是审清题意，明确已知什么，求什么.
师：你们总结得都很好，数学中的任何实际问题都要在审清题意的前提下构造我们所熟悉的数学模型，即运用勾股定理解决实际问题的思路是“实际问题→数学问题”.
以问启训，实训而致用
知识与技能只有得到实实在在的训练才能知道我们掌握了多少，而这种应用只有置身于实际的生产、生活、社会情境之中，才能彰显其学科价值. 为此，实战式的训练能非常有效地促进知识与技能的巩固，能促进方法与思想的生长.
问题1 如图3，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟要从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那小鸟至少要飞行多少米？
问题2 小东拿着一根长竹竿进入一个宽3 m的城门，他先横着，结果拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1 m，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，问竿长几米. （方式：学生独立完成后小组交流，然后全班展示）
师：你们是如何解决上述两个问题的呢？
生1：对于问题1，我们小组的做法和答案都是一致的，由“两点之间，线段最短”，可知小鸟飞行的最短距离是两个树梢（分别记为A，C）之间线段的长，可建立如图4所示的直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长.
生2：对于问题2，我们小组的答案是一致的，都是5 m. 我认为问题2和探究1中的木板能否通過门框的问题相似，不同之处在于已知条件. 问题2没有告知门高和竹竿的长度，但由“竿比城门高1 m”可设未知数，得出竿的长度和城门的高度，再利用勾股定理建立方程即可.
师：刚才大家通过自己的努力分析问题、解决问题，互帮互助，掌握了用勾股定理解决实际问题的方法，“竹竿入门”是一个平面问题，如果将平面上升为空间，大家是不是也能解决呢？
问题3 如图5，能否将一根长70 cm的木棒放入长、宽、高分别为40 cm、30 cm、50 cm的长方体盒子中？
师：在这个问题中，我们应该比较木棒和哪条线段的长度？你能找到这里的数学模型并画出图形吗？
（方式：学生共同交流后全班展示）
生：将长方体沿平面ABB′A′切开，切面即是一个长方形（如图6），该问题即可化归为平面问题，求出A′B的长后与竹竿长进行比较即可.
从平面到空间，由易到难，该问题不仅能巩固学生对勾股定理在实际问题中应用的能力，而且能提高学生的空间想象能力，让学生学会运用化归思想.
以问回顾，总结而致远
在课堂教学活动中，启发学生站在本节课的学习历程中，分析课堂的得与失、知识与技能、方法与思想，让思维与经历碰撞，将收获与智慧并存，这样的教学会有效地达到“授之以渔，启之欲渔”的效果，这也是学生可持续发展的有效保障.
师：通过本节课的努力，你学会了什么？你觉得本节课的重点是什么？
生1：我学会了用勾股定理求直角三角形中边的长.
生2：我学会了用勾股定理解决生活中的实际问题.
生3：我学会了方程思想、化归思想的运用.
生4：我觉得在用勾股定理解决实际问题时，最重要的是找准直角三角形.
生5：我认为勾股定理的计算同样重要.
……
师：很好，大家在这节课中的表现都很出色，且收获颇丰，相信大家遇到更深层次的问题时也能迎刃而解.
教师自问，反思而共进
教师的教学反思是促进教师专业成长最为有效的教学策略和教学机智，这种策略需要教师落实到点点滴滴的教学行为之中，以此达到真正的教学相长. 就本节课而言，笔者的反思、总结有以下几点.
（1）勾股定理的第二课时以勾股定理的实际应用为主，学生需要学会的是如何用勾股定理解决实际问题，难度较低，因此在教学过程中以问导学，让学生经历问题解决的过程，教会学生发现问题、解决问题的方法，对促进本节课教学目标的完成和学生数学能力的提高均有积极作用.
（2）数学教学中有多种教学模式，“以问导学”只是其中一种，并非适合所有课型，我们只有在设计教学时认真思考，根据教学内容和类型选择合适的教学模式，才能有效地提高教学效率.
（3）在教学实施过程中，教师最具创造性的工作是设计能引导学生主动参与的教学环境，即设计问题时，好的问题除了贴合本课时的教学内容外，还应符合学生的能力特征，能激起学生的学习兴趣，难度适宜，具有一定的开放性. 在教学过程中，教师不能一味地根据教案中的问题逐个提问，而应该以学生为主，根据学生的具体情况和教学进程随时调整问题.
（4）“以问导学”是一种能力教学，在教学中可以给学生提供一个发现、质疑、创新的平台，为教师提供一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径，以问题促进学生的学习，培养他们的可持续发展能力，为他们的成长奠定基础，开启智慧之门.
[关键词] 以问导学；勾股定理；实际问题
学贵有疑，学生要学习数学知识、发展数学解题能力，要经过“观察模仿、自发领悟、自觉分析、形成能力”阶段，要让学生形成解决问题的能力，教师的首要任务是质疑. 波利亚的《怎样解题》可以认为是比较早的以解决问题为主要任务的教学模式，书中的精髓“怎样解题表”激发了无数师生的数学潜能. “怎样解题表”虽不是万能方法，当然也不存在万能方法，但它给我们提供了一种如何去解决问题的参照. 即“以问导学”模式的基本流程：创设情境，提出问题→师生合作，分析问题→解决问题，得出结论→运用新知，巩固提高. 教师的教学过程以一个个精心设置的“问题”呈现出来，层层设疑，步步推进，启发学生沿着教学目标前进.
苏教版八年级上册“勾股定理的简单应用”是初中数学的重点内容，利用勾股定理进行直角三角形边长的计算在几何计算中应用极其广泛. “勾股定理的简单应用”的教学目标是“能熟练运用勾股定理进行计算，会用勾股定理解决简单的实际问题”. 在本节课中，“以问导学”可以让学生更深刻地掌握勾股定理的内容和计算方法，更熟练地学会用勾股定理知识解决实际问题. 下面以这节课为例，进行阐述.
以问启航，温故而激趣
兴趣永远是最好的老师. 在课堂教学中，通过温故旧知识的方法同样可以激发学生参与课堂的兴趣. 比如，教学时，教师提出问题：上节课我们已经掌握了勾股定理的内容及公式的变形，那么你认为勾股定理在实际问题的解决中有什么作用呢？
生1：在直角三角形中可以由已知两边的长求出第三边的长.
生2：在特殊的直角三角形（如含有30°角的直角三角形和等腰直角三角形）中，已知一边的长度可以求出另外两边的长度.
师：通过上节课的学习，大家都已掌握勾股定理的内容及简单运用，其实勾股定理在生活中也有广泛的运用.
熟悉的知识会让学生对今天的学习倍感兴趣、充满好奇，学习的兴趣由此而发，思维之门也为学习敞开.
以问启思，探究而启智
探究是思维的灵魂所在，其在关注学生深度学习、提升学生学科能力的培养中起到了至关重要的作用. 教师用问题启发学生的探究思维、引领探究方向、启迪探究智慧，能让学生在问题中真正参与到深入探究的历程中.
探究1一个门框的尺寸如图1所示，一块长为3 m、宽为2.2 m的薄木板能不能从门框内通过？为什么？
思考：（1）薄木板怎样通过？（生：斜过来即可）
（2）在长方形ABCD中，谁是斜着能通过的最大长度？（生：对角线AC的长）
（3）薄木板能否通过，关键是比较谁与谁的长短？（生：比较AC的长度与木板的宽度）
解：（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2=AB2 BC2=12 22=5，所以AC=≈2.24. 因为AC>2.2，所以木板能从门框内通过.
设计意图 该问题作为本课所学内容的起始问题，难度较低，基本适宜所有能力层次的学生，有利于提高学生的课堂参与度，给学生充分的信心；另一方面，以生活中较为常见的实际问题为例，能讓学生深刻体会数学与生活的密切关系，从而对本节课的内容产生兴趣.
探究2 如图2，一架3 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为2.5 m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子的底端B也外移0.5 m吗？
思考：（1）梯子底端B随着梯子顶端A下滑而外移到点D，那么谁的长度就是梯子外移的距离？（生：BD的长度）
（2）BD等于什么？要求BD的长，关键是要求出谁和谁的长？（生：BD=OD-OB，要求BD的长，关键是要求出OD和OB的长）
（3）梯子在下滑的过程中，哪个量保持不变？（生：梯子的长度保持不变）
（4）如何求OD和OB？你能板书出来吗？
生：（4）在Rt△AOB中，
OB===，
在Rt△COD中，OD===，所以BD=OD-OB=-≈0.58（m）. 所以梯子的底端B向外移动了约0.58 m.
设计意图 此问题比上一个问题难度稍高，应引导学生得出“梯子在下滑的过程中本身的长度保持不变”是解决问题的关键. 教师在此过程中的任务是设置好具有梯度的问题，教会学生由浅入深、由表及里地观察问题和分析问题，为解决问题做好准备.
小结 利用问题的形式启发学生对本节课所使用的方法与思想进行总结，能启迪学生站在归纳、总结的角度启发学生思考，促进学生思维增长，以此真正促进学生智慧生长.
师：你觉得用勾股定理解决实际问题的关键是什么？
生1：我觉得关键是找到直角三角形.
生2：我认为关键是审清题意，明确已知什么，求什么.
师：你们总结得都很好，数学中的任何实际问题都要在审清题意的前提下构造我们所熟悉的数学模型，即运用勾股定理解决实际问题的思路是“实际问题→数学问题”.
以问启训，实训而致用
知识与技能只有得到实实在在的训练才能知道我们掌握了多少，而这种应用只有置身于实际的生产、生活、社会情境之中，才能彰显其学科价值. 为此，实战式的训练能非常有效地促进知识与技能的巩固，能促进方法与思想的生长.
问题1 如图3，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟要从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那小鸟至少要飞行多少米？
问题2 小东拿着一根长竹竿进入一个宽3 m的城门，他先横着，结果拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1 m，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，问竿长几米. （方式：学生独立完成后小组交流，然后全班展示）
师：你们是如何解决上述两个问题的呢？
生1：对于问题1，我们小组的做法和答案都是一致的，由“两点之间，线段最短”，可知小鸟飞行的最短距离是两个树梢（分别记为A，C）之间线段的长，可建立如图4所示的直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长.
生2：对于问题2，我们小组的答案是一致的，都是5 m. 我认为问题2和探究1中的木板能否通過门框的问题相似，不同之处在于已知条件. 问题2没有告知门高和竹竿的长度，但由“竿比城门高1 m”可设未知数，得出竿的长度和城门的高度，再利用勾股定理建立方程即可.
师：刚才大家通过自己的努力分析问题、解决问题，互帮互助，掌握了用勾股定理解决实际问题的方法，“竹竿入门”是一个平面问题，如果将平面上升为空间，大家是不是也能解决呢？
问题3 如图5，能否将一根长70 cm的木棒放入长、宽、高分别为40 cm、30 cm、50 cm的长方体盒子中？
师：在这个问题中，我们应该比较木棒和哪条线段的长度？你能找到这里的数学模型并画出图形吗？
（方式：学生共同交流后全班展示）
生：将长方体沿平面ABB′A′切开，切面即是一个长方形（如图6），该问题即可化归为平面问题，求出A′B的长后与竹竿长进行比较即可.
从平面到空间，由易到难，该问题不仅能巩固学生对勾股定理在实际问题中应用的能力，而且能提高学生的空间想象能力，让学生学会运用化归思想.
以问回顾，总结而致远
在课堂教学活动中，启发学生站在本节课的学习历程中，分析课堂的得与失、知识与技能、方法与思想，让思维与经历碰撞，将收获与智慧并存，这样的教学会有效地达到“授之以渔，启之欲渔”的效果，这也是学生可持续发展的有效保障.
师：通过本节课的努力，你学会了什么？你觉得本节课的重点是什么？
生1：我学会了用勾股定理求直角三角形中边的长.
生2：我学会了用勾股定理解决生活中的实际问题.
生3：我学会了方程思想、化归思想的运用.
生4：我觉得在用勾股定理解决实际问题时，最重要的是找准直角三角形.
生5：我认为勾股定理的计算同样重要.
……
师：很好，大家在这节课中的表现都很出色，且收获颇丰，相信大家遇到更深层次的问题时也能迎刃而解.
教师自问，反思而共进
教师的教学反思是促进教师专业成长最为有效的教学策略和教学机智，这种策略需要教师落实到点点滴滴的教学行为之中，以此达到真正的教学相长. 就本节课而言，笔者的反思、总结有以下几点.
（1）勾股定理的第二课时以勾股定理的实际应用为主，学生需要学会的是如何用勾股定理解决实际问题，难度较低，因此在教学过程中以问导学，让学生经历问题解决的过程，教会学生发现问题、解决问题的方法，对促进本节课教学目标的完成和学生数学能力的提高均有积极作用.
（2）数学教学中有多种教学模式，“以问导学”只是其中一种，并非适合所有课型，我们只有在设计教学时认真思考，根据教学内容和类型选择合适的教学模式，才能有效地提高教学效率.
（3）在教学实施过程中，教师最具创造性的工作是设计能引导学生主动参与的教学环境，即设计问题时，好的问题除了贴合本课时的教学内容外，还应符合学生的能力特征，能激起学生的学习兴趣，难度适宜，具有一定的开放性. 在教学过程中，教师不能一味地根据教案中的问题逐个提问，而应该以学生为主，根据学生的具体情况和教学进程随时调整问题.
（4）“以问导学”是一种能力教学，在教学中可以给学生提供一个发现、质疑、创新的平台，为教师提供一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径，以问题促进学生的学习，培养他们的可持续发展能力，为他们的成长奠定基础，开启智慧之门.