三角形中位线定理是三角形相关章节中一个十分重要的定理,其特点是在同一个题设下,有两个结论:一个是表明位置的平行关系,另一个是表明数量的倍分关系。《数学课程标准》明确要求“探索并掌握三角形的中位线定理。”下面本文就三角形中位线定理的运用我谈一点自己的体会。
　　一、 当题目中只有两边中点时,连接这两点或作第三边,构造三角形的中位线
　　例1:(如图1)
　　在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,⊿ADE和⊿BCE都是等边三角形,点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.
　　求证:四边形MNPQ是菱形.
　　证明:连接AC、BD.
　　易证: ⊿AEC≌⊿DEB.
　　∴AC=BD.
　　可证MN=PQ= AC,MQ=NP= BD.
　　∴MN=NP=PQ=QM.
　　故四边形MNPQ是菱形.
　　点评:直接利用三角形的中位线定理证明.
　　练习1:如图2,⊿ABC的中线BE和CF相交于点O,点M、N分别是OB、OC 的中点.试判断四边形MNEF的形状.
　　二、当已知条件中只有一边中点时,可取另一边的中点,构造三角形的中位线
　　例2:(如图3)在⊿ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,BD=CE,点G、H分别是BE、CD的中点,直线GH交AB于M,交AC于N.
　　求证:AM=AN.
　　证明:取BC的中点P,连接PG、PH,则PG、PH分别是⊿BCE和⊿BCD的中位线.
　　∴PGCE, PHBD.
　　∴∠PGN=∠ANM, ∠PHM=∠AMN.
　　又∵BD=CE.
　　∴PH=PG.
　　∴∠PGN =∠PHM.
　　∴∠ANM =∠AMN.
　　故AM=AN.
　　点评:BC在这里起了桥梁的作用,构造了两条中位线.
　　练习2:如图4,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=BD,点E、F、G分别是AB、CD、BC的中点,EF交BD于M,交AC于N.
　　求证:OM=ON.
　　三、当已知条件中只有一边中点时,可作另一边并取其中点,构造三角形的中位线
　　例3:(如图5)在四边形ABCD中,AB=CD,点M、N分别是BC、AD的中点,延长BA、CD分别交MN的延长线于G、H.若∠BGM=30°.试求∠H的度数.
　　解:连接AC,并取AC的中点O,
　　再连接OM、ON.则OMAB , ONCD.
　　∴∠BGM= ∠OMH,∠H= ∠ONM.
　　∵AB=CD.
　　∴OM=ON.
　　∴∠ONM=∠OMN.
　　∴∠BGM =∠H.
　　又∵∠BGM=30°.
　　∴∠H=30°.
　　点评:其突破口就在构造三角形的中位线时先要连接AC,构造出两个三角形.在连接AC之后,其难易程度就和例2一样了。
　　练习3:如图6,在⊿ABC中,点D是AC上的点,且CD=AB,点E、M分别是AD、BC的中点,连接ME并延长交BA的延长线于点F.
　　求证:AE=AF.
　　(提示:连接BD,并取BD的中点O,再连接OE、OM)
　　四、当题设中没有中点时,也可以添加中点,创造性的构造三角形的中位线
　　例4:(如图7)在⊿ABC中,点M、P在AB上,且AM =BP,MN∥PQ ∥BC, MN、PQ分别交AC于点N、Q.若BC=25cm.试求MN+PQ的大小.
　　解:取MP、NQ的中点E、F,
　　则线段EF既是梯形MPQN的中位线,
　　又是⊿ABC的中位线.
　　∴MN+PQ = 2EF = BC.
　　又∵BC=25cm.
　　∴MN+PQ = 25cm.
　　例5:(如图8)在⊿ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB的中点.试比较CD与CE的之间的数量关系,并说明理由.
　　解:CD与CE的之间的数量关系是CD=2CE.其理由如下:
　　取AC的中点F,并连接BF,则CD=2BF.
　　易证BF=CE.
　　故CD=2CE.
　　点评:有中点连线但不能直接应用三角形的中位线定理时,要添加适当的辅助线,构造三角形的中位线。三角形的中位线定理是证明两条直线平行和两条线段倍分关系常用的定理,其关键在于恰当地添加辅助线.
　　练习4:(如图9)在四边形ABCD中,AB≠CD,点E、F分别是的BC、AD中点.试比较EF 与 (AB+CD)的大小.
　　(提示:连接AC,并取AC的中点O,再连接OE、OM)
　　(作者单位:713600陕西省长武县教研室)