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摘要： 数学教学中研究数学美感及其教学具有重要意义。从数学美感的本质出发，为了使学生产生数学美感，数学教学中应改革教学方法，选择有数学美典型特征的知识进行教学，从学生熟悉的数学内容开始，多方面结合，增强学生对数学知识的情感，重视知识的“留白”作用等。
关键词： 数学美感 数学教学 情感 审美
《普通高中数学课程标准（实验）》的“基本理念”中指出：“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。”［１］“课程目标”中指出：“（高中数学课程的具体目标之一是）具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。”［２］因此，研究数学美感和数学美感的教学具有重要意义。数学美感是人接触到数学知识之后的一种主观感觉，一个人只有经历过了数学美感体验才能真正认识到其中美的存在和价值。
一、数学美感的产生机制
关于什么是数学美感当前人们探讨的还不是很多，依据一般美感的理论，我们首先对这个概念进行一下探讨。
美感是现代美学研究的一项重要内容。什么是美感，当前美学界比较一致的看法是：美感是一种主观感受，是一种基于审美对象的诱导和审美主体情感的喷发而产生的幸福感、陶醉感和满足感等。美感产生的外在条件是：要有审美对象和生理健全（感知觉健全而敏感）的审美主体。美感产生的内在条件是：审美对象能给人以周期性和规律性的感觉；审美主体有关于审美对象比较丰富的知识；审美主体对审美对象有良好的情感；审美主体有活力，同时情感和想象力都丰富；审美对象和审美主体在平时有一定的距离等。美感产生的一般过程为：首先，审美主体接触到审美对象，审美对象的有关信息被主体所感觉，主体对审美对象进行认知；然后，审美主体在认知的基础上结合自己的情感产生联想和想象；第三，审美主体的情感在联想和想象之中逐步加强和升华，最后直至高峰，达到忘我陶醉的状态。在美感产生的过程中影响美感产生进程和程度的因素主要有审美主体的审美能力、审美态度、心理准备、审美环境等。［3］
数学美感也是一种美感。由美感的一般理论，我们认为，数学美感也是一种主观感受，它是一个人在感知到一定的数学知识之后不自觉地由衷地从心底里萌发出来的一种特殊的兴奋和欣喜感觉，这种感觉当时使人有一种满足感和陶醉感，过后使人回味无穷，心驰神往。
数学美感的产生过程应当是：首先，有丰富数学知识的主体接触到了自己比较偏爱的数学领域的知识；其次，主体通过对数学知识全面而深刻的认知，发现了其本质属性和价值，这种价值或者是数学方面的，或者是社会方面的，或者是个人方面的等；第三，主体在直觉的带动下，激发起来隐伏在理性之后的浓厚的情感；第四，情感在进一步的认知和联想带动下，逐步提升，直至陶醉的状态。
数学美感的产生应当需要以下一些条件：
1.有数学美特征——如形式简洁、结构和谐、表达对称等的审美对象。有数学美特征的数学知识能给人以平衡、对称、有节奏和周期性的感觉，如等差等比数列、三角函数图像等。
2.主体对审美对象有情感。情感是导致最终数学美感产生的前提。我们很难想象一个偏爱几何问题的数学家面对代数问题时也能很快产生美感。回顾历史上对数学美有过高度赞誉的数学家，无不是在自己偏爱的领域获得数学美感的。毕得哥拉斯认为数是最美的，达芬奇认为黄金分割比例是最美的，开普勒认为勾股定理是最美的等，这些都是这种情况的例证。
3.主体的理性。在数学美感的产生过程中直觉虽然起着关键作用，但理性的作用更为重要。理性是主体对审美对象全面而深入认知的基础，没有理性则不可能有主体情感的高涨，它是主体情感升华的基础。
4.对数学知识良好的态度。主体只有对数学知识有良好的态度才有可能有正确的、合理的、全面的认知。
5.对数学美特点的全面认知。数学美不同于其他形式的美，它是一种理性美。它的特点有别于艺术美和运动美等。这样只有了解了数学美的特点之后，在欣赏数学美的时候才有可能选择比较恰当的角度进行，才有可能比较顺利地获得数学美感体验。
6.主体敏锐的感知能力和丰富的联想能力。主体只有具有敏锐的感知能力才能迅速发现所接触到的数学知识的特点，只有具有丰富的联想能力才可以将面前的数学知识与其他的数学内容联系起来，才能更好地感知当前数学知识的价值，才能调动自己的情感，使之逐步蓬发。
7.良好的心境。数学美感是建立在主体对数学知识的全面深入了解基础上的，是主体理性之后隐伏的情感的升华。因此，在获得数学美感之前，有一个良好的心境是必要的。一个良好的心境，可以使主体注意力更加集中，思维更加活跃，逻辑更加清晰，从而可以更全面和更深入地了解审美对象。另外，一个良好的心境还可以使主体心无旁骛更加自由地联想，顺利地调动出深藏在冷静表面之后的对数学知识浓厚的情感。
二、中学数学教学中数学美感的教学思考
从数学美感的产生过程和需要的条件来看，我们认为，为了使学生获得数学美感，实际的数学教学应积极改革，遵循如下一些要求：
第一，教师应选择有代表性的数学内容给学生讲授数学美。数学知识浩如烟海、繁芜复杂，有的简洁、对称，有的却复杂、不那么对称。给学生讲授数学美，让学生产生数学美感，特别是在开始阶段，教师应仔细斟酌，尽量选择那些内容简洁的、形式对称的、多项内容统一的等最能代表数学美的，有数学美特征的知识进行。
第二，教师应尽量选择学生熟悉的数学知识来讲授数学美。学生熟悉的数学知识一般情况下学生对其有比较深刻的理解和比较全面的认识，能知晓更多的与其相关的其他方面的知识，比如天文的、地理的、物理的和化学的等。这样易于引发学生在认知之后的联想。同时，对学生比较熟悉的知识，学生们的情感也往往比较深厚。 因此也易于学生产生热切的情感，并且使情感升华，达到美观状态。
第三，教学中，教师应给学生多讲授一些相关内容，拓宽学生的视野，增加学生对数学知识的了解；鼓励学生多参加数学实践活动，增强学生的应用意识和能力，使学生理解数学的巨大价值。
由前述内容可以知道，情感在美感的产生过程中起着至关重要的作用。审美主体因为对客体有情感才关注它，使之成为审美对象。审美主体因为对审美对象有情感才深入了解它，在此基础上展开丰富的联想和想象。正是审美主体的情感大量喷涌才使得审美主体产生了愉悦感、满足感和陶醉感。而学生对数学知识的情感从哪里来的？由平时的教学实践我们知道，学生对于数学的情感主要来源于其对数学知识的认识和对数学知识巨大价值（包括实际生产、生活和智力等方面的价值）的了解，特别是后者。学生对数学知识了解全面了，认识深刻了，体会到了数学的巨大价值，其对于数学的态度和兴趣就会转变，变得越来越重视数学，越来越喜欢数学，长此以往就会对数学产生深厚的情感。情感心理学也这么认为：情感是“知之深爱之切”，情感的产生和增强与个体对情感对象的理解和了解是密不可分的。因此，数学教学中，教师应在给学生介绍完课程规定的知识之后再补充一些相关内容，比如相关的历史内容、文学内容、应用知识等，使学生能更全面地了解和更深刻地理解学习的内容。同时，积极寻找和创造机会鼓励学生参加相关的数学实践活动，在实践中进一步理解学习过的知识，了解数学知识的实用性，体会和发现数学的力量与价值，从而促进学生数学情感的产生和加强。这样一方面可以增强学生数学知识的情感，另一方面也可以促进学生的广泛联想，从而可推动数学情感的升温。
第四，教学中，教师应注重恰当“留白”的作用，注重引导学生的联想和想象。数学具有严密的逻辑性，数学教学向来重视确切、严密和完整，注重一丝不苟。这无疑对于学生准确地理解数学知识和牢固地掌握数学知识有着重要作用。长期以来我们国家的中小学生数学“双基”牢靠，一直领先世界其它国家的中小学生，就是很好的证明。但是，如此教学对于学生理解数学美体会数学美感就显然不够了。由前面的内容可以知道，审美活动中最后情感顶点的达到始于审美主体对审美客体认知之后的联想和想象，联想和想象起着关键的作用——这就是为什么同一个场景的绘画和彩色照片相比前者往往更能给人以美的感觉的根本原因。那么联想和想象从何而起呢？现代心理学研究表明，联想和想象都是个人的主观行为，它们的产生一方面与个体的思维方式和活跃程度有关系，另一方面也与所接触到的事物的形态有着密切关系。如果一个事物对于个体来说是熟悉的，是个体喜爱的，但同时尚有部分“欠缺”、“不足”或“未知”等，则个体此时就比较容易产生丰富的联想和想象。比如一个熟悉和钟爱大自然的人，看到一幅竹画，这幅画中仅有几个棵竹子，也仅画出了竹子中间部分，但这几棵竹子枝叶茂盛、坚硬直立。此时这个人就容易产生联想和想象，比如想到竹子的颜色、所在的园子、竹子高高挺拔的样子和清风吹过竹林，竹林中发出的“沙沙”声等。格式塔心理学派称这种现象为“完形”，认为人有“完形”的习惯和天性。由此，数学教学中，为了使学生产生美感，教师应注重在恰当的时机给学生留有“空白”，让学生深入思考，发掘数学知识的特点，充分发挥自己的主观能动性去联系天文、地理、生活等多方面的内容，在适当的时机进行引导，促进学生情感的产生和迅速上升。
第五，重视学生审美方向的引导和情感的带动。数学美不同于艺术美、音乐美和食物美等，数学美在于数学知识的简洁、和谐、统一、奇异、抽象等，而不是其它。如果说艺术美愉悦的是我们的视觉，音乐美愉悦的是我们的听觉，美食愉悦的是我们的味觉，那么数学美愉悦的是我们以抽象逻辑思维为核心的数学思维。数学概念、法则、公式、符号等无不是数学思维的工具，它们的运用帮助的正是我们的数学思维活动。它们的巧妙运用如简洁、和谐、奇异等无不令我们的抽象逻辑思维得到满足和愉悦。因此，为了使学生理解数学美，产生数学美感，教学中，教师应结合一定的知识有意识地引导学生的审美方向，使学生认知到其中的价值所在，增强学生对这部分内容的认知，使学生把握住数学美的本质，从而促进数学美感的产生。
教学中教师除了应引导学生的审美方向外，还应当在适当的时候恰当地带动学生的情感。数学美感是情感大量涌出喷薄而发之后产生的一种感觉。一个人的情感怎么才能涌出导致喷发呢？现代心理学研究表明有一个或一些情感丰富的人带动是一个好办法，因为情感在一定的情况下可以“传播”和起带动作用的。这就是为什么我们在体育场集体看比赛往往比在家个人通过电视看比赛容易激动的原因。由此，为了使学生的情感尽快提升起来达到高峰，教师应在恰当的时机，充分发挥自己的教学主导作用，带动学生的情感，促进学生情感的喷发。
第六，重视对数学美感的回顾、总结和评价。由上述美感理论我们知道，美感是个体认知后情感的升华、喷涌。因此，一次成功的审美活动，一次强烈的美感体验，不仅能给人以深刻的印象，使其长久不被遗忘，而且能影响个体以后的审美活动。特别强烈的美感体验，常常能改变一个人的审美态度，丰富个体的审美知识，增强个体的审美能力，使得审美主体的情感变化得到一次很好的锻炼，从而使得今后的类似的审美活动更加容易，美感体验来得更加迅捷。所以，当学生体会到数学美感之后，教师应当及时引导学生回顾、总结和评价，使学生牢固掌握这次审美过程中得到的经验和教训，加深印象，端正学生的审美态度，增强学生的审美能力，为下一次数学美感的体验奠定基础。
参考文献：
［1］［2］中华人民共和国教育部.数学课程标准［S］.北京：人民教育出版社，2003.4.11.
［3］李戎.美学概论［M］.济南：齐鲁书社，1992：115-296.
关键词： 数学美感 数学教学 情感 审美
《普通高中数学课程标准（实验）》的“基本理念”中指出：“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。”［１］“课程目标”中指出：“（高中数学课程的具体目标之一是）具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。”［２］因此，研究数学美感和数学美感的教学具有重要意义。数学美感是人接触到数学知识之后的一种主观感觉，一个人只有经历过了数学美感体验才能真正认识到其中美的存在和价值。
一、数学美感的产生机制
关于什么是数学美感当前人们探讨的还不是很多，依据一般美感的理论，我们首先对这个概念进行一下探讨。
美感是现代美学研究的一项重要内容。什么是美感，当前美学界比较一致的看法是：美感是一种主观感受，是一种基于审美对象的诱导和审美主体情感的喷发而产生的幸福感、陶醉感和满足感等。美感产生的外在条件是：要有审美对象和生理健全（感知觉健全而敏感）的审美主体。美感产生的内在条件是：审美对象能给人以周期性和规律性的感觉；审美主体有关于审美对象比较丰富的知识；审美主体对审美对象有良好的情感；审美主体有活力，同时情感和想象力都丰富；审美对象和审美主体在平时有一定的距离等。美感产生的一般过程为：首先，审美主体接触到审美对象，审美对象的有关信息被主体所感觉，主体对审美对象进行认知；然后，审美主体在认知的基础上结合自己的情感产生联想和想象；第三，审美主体的情感在联想和想象之中逐步加强和升华，最后直至高峰，达到忘我陶醉的状态。在美感产生的过程中影响美感产生进程和程度的因素主要有审美主体的审美能力、审美态度、心理准备、审美环境等。［3］
数学美感也是一种美感。由美感的一般理论，我们认为，数学美感也是一种主观感受，它是一个人在感知到一定的数学知识之后不自觉地由衷地从心底里萌发出来的一种特殊的兴奋和欣喜感觉，这种感觉当时使人有一种满足感和陶醉感，过后使人回味无穷，心驰神往。
数学美感的产生过程应当是：首先，有丰富数学知识的主体接触到了自己比较偏爱的数学领域的知识；其次，主体通过对数学知识全面而深刻的认知，发现了其本质属性和价值，这种价值或者是数学方面的，或者是社会方面的，或者是个人方面的等；第三，主体在直觉的带动下，激发起来隐伏在理性之后的浓厚的情感；第四，情感在进一步的认知和联想带动下，逐步提升，直至陶醉的状态。
数学美感的产生应当需要以下一些条件：
1.有数学美特征——如形式简洁、结构和谐、表达对称等的审美对象。有数学美特征的数学知识能给人以平衡、对称、有节奏和周期性的感觉，如等差等比数列、三角函数图像等。
2.主体对审美对象有情感。情感是导致最终数学美感产生的前提。我们很难想象一个偏爱几何问题的数学家面对代数问题时也能很快产生美感。回顾历史上对数学美有过高度赞誉的数学家，无不是在自己偏爱的领域获得数学美感的。毕得哥拉斯认为数是最美的，达芬奇认为黄金分割比例是最美的，开普勒认为勾股定理是最美的等，这些都是这种情况的例证。
3.主体的理性。在数学美感的产生过程中直觉虽然起着关键作用，但理性的作用更为重要。理性是主体对审美对象全面而深入认知的基础，没有理性则不可能有主体情感的高涨，它是主体情感升华的基础。
4.对数学知识良好的态度。主体只有对数学知识有良好的态度才有可能有正确的、合理的、全面的认知。
5.对数学美特点的全面认知。数学美不同于其他形式的美，它是一种理性美。它的特点有别于艺术美和运动美等。这样只有了解了数学美的特点之后，在欣赏数学美的时候才有可能选择比较恰当的角度进行，才有可能比较顺利地获得数学美感体验。
6.主体敏锐的感知能力和丰富的联想能力。主体只有具有敏锐的感知能力才能迅速发现所接触到的数学知识的特点，只有具有丰富的联想能力才可以将面前的数学知识与其他的数学内容联系起来，才能更好地感知当前数学知识的价值，才能调动自己的情感，使之逐步蓬发。
7.良好的心境。数学美感是建立在主体对数学知识的全面深入了解基础上的，是主体理性之后隐伏的情感的升华。因此，在获得数学美感之前，有一个良好的心境是必要的。一个良好的心境，可以使主体注意力更加集中，思维更加活跃，逻辑更加清晰，从而可以更全面和更深入地了解审美对象。另外，一个良好的心境还可以使主体心无旁骛更加自由地联想，顺利地调动出深藏在冷静表面之后的对数学知识浓厚的情感。
二、中学数学教学中数学美感的教学思考
从数学美感的产生过程和需要的条件来看，我们认为，为了使学生获得数学美感，实际的数学教学应积极改革，遵循如下一些要求：
第一，教师应选择有代表性的数学内容给学生讲授数学美。数学知识浩如烟海、繁芜复杂，有的简洁、对称，有的却复杂、不那么对称。给学生讲授数学美，让学生产生数学美感，特别是在开始阶段，教师应仔细斟酌，尽量选择那些内容简洁的、形式对称的、多项内容统一的等最能代表数学美的，有数学美特征的知识进行。
第二，教师应尽量选择学生熟悉的数学知识来讲授数学美。学生熟悉的数学知识一般情况下学生对其有比较深刻的理解和比较全面的认识，能知晓更多的与其相关的其他方面的知识，比如天文的、地理的、物理的和化学的等。这样易于引发学生在认知之后的联想。同时，对学生比较熟悉的知识，学生们的情感也往往比较深厚。 因此也易于学生产生热切的情感，并且使情感升华，达到美观状态。
第三，教学中，教师应给学生多讲授一些相关内容，拓宽学生的视野，增加学生对数学知识的了解；鼓励学生多参加数学实践活动，增强学生的应用意识和能力，使学生理解数学的巨大价值。
由前述内容可以知道，情感在美感的产生过程中起着至关重要的作用。审美主体因为对客体有情感才关注它，使之成为审美对象。审美主体因为对审美对象有情感才深入了解它，在此基础上展开丰富的联想和想象。正是审美主体的情感大量喷涌才使得审美主体产生了愉悦感、满足感和陶醉感。而学生对数学知识的情感从哪里来的？由平时的教学实践我们知道，学生对于数学的情感主要来源于其对数学知识的认识和对数学知识巨大价值（包括实际生产、生活和智力等方面的价值）的了解，特别是后者。学生对数学知识了解全面了，认识深刻了，体会到了数学的巨大价值，其对于数学的态度和兴趣就会转变，变得越来越重视数学，越来越喜欢数学，长此以往就会对数学产生深厚的情感。情感心理学也这么认为：情感是“知之深爱之切”，情感的产生和增强与个体对情感对象的理解和了解是密不可分的。因此，数学教学中，教师应在给学生介绍完课程规定的知识之后再补充一些相关内容，比如相关的历史内容、文学内容、应用知识等，使学生能更全面地了解和更深刻地理解学习的内容。同时，积极寻找和创造机会鼓励学生参加相关的数学实践活动，在实践中进一步理解学习过的知识，了解数学知识的实用性，体会和发现数学的力量与价值，从而促进学生数学情感的产生和加强。这样一方面可以增强学生数学知识的情感，另一方面也可以促进学生的广泛联想，从而可推动数学情感的升温。
第四，教学中，教师应注重恰当“留白”的作用，注重引导学生的联想和想象。数学具有严密的逻辑性，数学教学向来重视确切、严密和完整，注重一丝不苟。这无疑对于学生准确地理解数学知识和牢固地掌握数学知识有着重要作用。长期以来我们国家的中小学生数学“双基”牢靠，一直领先世界其它国家的中小学生，就是很好的证明。但是，如此教学对于学生理解数学美体会数学美感就显然不够了。由前面的内容可以知道，审美活动中最后情感顶点的达到始于审美主体对审美客体认知之后的联想和想象，联想和想象起着关键的作用——这就是为什么同一个场景的绘画和彩色照片相比前者往往更能给人以美的感觉的根本原因。那么联想和想象从何而起呢？现代心理学研究表明，联想和想象都是个人的主观行为，它们的产生一方面与个体的思维方式和活跃程度有关系，另一方面也与所接触到的事物的形态有着密切关系。如果一个事物对于个体来说是熟悉的，是个体喜爱的，但同时尚有部分“欠缺”、“不足”或“未知”等，则个体此时就比较容易产生丰富的联想和想象。比如一个熟悉和钟爱大自然的人，看到一幅竹画，这幅画中仅有几个棵竹子，也仅画出了竹子中间部分，但这几棵竹子枝叶茂盛、坚硬直立。此时这个人就容易产生联想和想象，比如想到竹子的颜色、所在的园子、竹子高高挺拔的样子和清风吹过竹林，竹林中发出的“沙沙”声等。格式塔心理学派称这种现象为“完形”，认为人有“完形”的习惯和天性。由此，数学教学中，为了使学生产生美感，教师应注重在恰当的时机给学生留有“空白”，让学生深入思考，发掘数学知识的特点，充分发挥自己的主观能动性去联系天文、地理、生活等多方面的内容，在适当的时机进行引导，促进学生情感的产生和迅速上升。
第五，重视学生审美方向的引导和情感的带动。数学美不同于艺术美、音乐美和食物美等，数学美在于数学知识的简洁、和谐、统一、奇异、抽象等，而不是其它。如果说艺术美愉悦的是我们的视觉，音乐美愉悦的是我们的听觉，美食愉悦的是我们的味觉，那么数学美愉悦的是我们以抽象逻辑思维为核心的数学思维。数学概念、法则、公式、符号等无不是数学思维的工具，它们的运用帮助的正是我们的数学思维活动。它们的巧妙运用如简洁、和谐、奇异等无不令我们的抽象逻辑思维得到满足和愉悦。因此，为了使学生理解数学美，产生数学美感，教学中，教师应结合一定的知识有意识地引导学生的审美方向，使学生认知到其中的价值所在，增强学生对这部分内容的认知，使学生把握住数学美的本质，从而促进数学美感的产生。
教学中教师除了应引导学生的审美方向外，还应当在适当的时候恰当地带动学生的情感。数学美感是情感大量涌出喷薄而发之后产生的一种感觉。一个人的情感怎么才能涌出导致喷发呢？现代心理学研究表明有一个或一些情感丰富的人带动是一个好办法，因为情感在一定的情况下可以“传播”和起带动作用的。这就是为什么我们在体育场集体看比赛往往比在家个人通过电视看比赛容易激动的原因。由此，为了使学生的情感尽快提升起来达到高峰，教师应在恰当的时机，充分发挥自己的教学主导作用，带动学生的情感，促进学生情感的喷发。
第六，重视对数学美感的回顾、总结和评价。由上述美感理论我们知道，美感是个体认知后情感的升华、喷涌。因此，一次成功的审美活动，一次强烈的美感体验，不仅能给人以深刻的印象，使其长久不被遗忘，而且能影响个体以后的审美活动。特别强烈的美感体验，常常能改变一个人的审美态度，丰富个体的审美知识，增强个体的审美能力，使得审美主体的情感变化得到一次很好的锻炼，从而使得今后的类似的审美活动更加容易，美感体验来得更加迅捷。所以，当学生体会到数学美感之后，教师应当及时引导学生回顾、总结和评价，使学生牢固掌握这次审美过程中得到的经验和教训，加深印象，端正学生的审美态度，增强学生的审美能力，为下一次数学美感的体验奠定基础。
参考文献：
［1］［2］中华人民共和国教育部.数学课程标准［S］.北京：人民教育出版社，2003.4.11.
［3］李戎.美学概论［M］.济南：齐鲁书社，1992：115-296.