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【内容摘要】數列不等式证明的方法灵活多变,学生往往无从下手,本文主要探究利用构造辅助数列方法证明数列不等式的技巧,解题中我们要根据题情特征,机智巧妙地选择证法,灵活变通,巧妙构造,达到出奇制胜的效果。
【关键词】构造数列不等式
构造法就是通过类比联想,适当变形,改造变通等技法,组装成有利于解决问题的新方法,因此数学中的“构造”既不神秘,也不是难以捉摸,而是目的性和方向性很强,有章可循,有法可依的一种操作性技能技巧。
本文就“构造辅助数列”证明不等式展开探索研究,归纳总结出一般规律,从而消除大家对构造的神秘感、陌生感和畏惧感。
一、神奇类比,巧妙构造
“类比”就是一种“相似”,她是从一种特列到另一种特列的推理。类比不是瞎猜、乱猜,而是以已存储知识为基础,以直觉为先导,以思维为核心地类比,巧妙的构造,达到证明问题的目的。
例1.已知数列{an},{bn}的每一项都是正数,a1=4, b1=8,且an,bn,an 1成等差数列,bn,an 1,bn 1成等比数列 (n∈N*)
(Ⅰ)求a2,b2;
(Ⅱ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数n,都有1a1-1 1a2-1 …1an-1<23.
分析:
(Ⅰ)a2=12,b2=18;
(Ⅱ)an=2n(n 1),bn=2(n 1)2;
(Ⅲ)1an-1=12n(n 1)-1,由不等式结构可知左边无法求和,也就不能直接证明不等式,我们只能提取已经存储的基础知识,展开类比联想进行探究。
思路:看到不等式的通项是关于自然数n的一个二次式,我们想到在数列单元课本上有一个数列{1n(n 1)},其和进行放缩可得不等式Sn=1-1n 1<1,这个数列学生非常熟悉,应用的也比较熟练。因此,引导学生观察不等式的结构特征是左边和之小于23,于是类比联想构造数列{231n(n 1)},只需证得1an-1=12n(n 1)-1≤231n(n 1)成立,就突破了此题的难点。
证明:要证1an-1=12n(n 1)-1≤231n(n 1)成立,只需证4n(n 1)-2≥3n(n 1),
只需证n2 n-2≥0,只需证(n-1)(n 2)≥0恒成立。
所以1an-1=12n(n 1)-1≤231n(n 1)=23(1n-1n 1)
所以1a1-1 1a2-1 …1an-1≤23(1-12 12-13 …1n-1n 1)=23(1-1n 1)<23
评注: 通过两个例题的构造法探究,我们得到类比联想构造离不开扎实的基础和良好的数学素养。在解决问题时多从自己熟悉的知识入手,大胆尝试构造,只要结构中出现“二次式”或 “指数式”,就可展开丰富的类比想象,提取熟悉的数列知识,巧夺天工的构造将会收到神奇的效果。
二、适当变形,和谐构造
任何方法都不是万能的,当类比构造法难以奏效时,应考虑将不等式进行适当变形,然后再构造辅助数列。当然这种变形不是盲目的无的放矢,而是根据题情与需要制定出明确的目标,让其充分发挥导航的作用。
例2.已知数列{an}的前n项和Sn=(n2 n)·3n
(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:a112 a222 …ann2>3n
分析:
(Ⅰ) an=2n(n 2)·3n-1;(Ⅱ)观察发现此不等式在n=1,n=2,…时都成立,那么我们可以分别将左右两边看为两个数列的和,只要得到两个数列通项满足不等关系,则这两个数列的和也就满足这个不等关系。由此可以用上述思路构造两个辅助数列证明。
证明:设数列{bn},{cn}的和分别为Bn,Cn,且Bn=a112 a222 …ann2,Cn=3n
∴n=1时,b1=B1=6,c1=C1=3,∴b1>c1;
当n≥2时bn=Bn-Bn-1=ann2=2(n 2)·3n-1n, cn=Cn-Cn-1=2·3n-1
∵n 2n>1,∴bn>cn
综上所述:(n∈N ),bn>cn,所以Bn>Cn。
即:a112 a222 …ann2>3n
以上用“构造辅助数列”证明不等式的两类方法,上述各法指向性十分明确。面对不同的题情特征,要机智巧妙地选择证法,灵活变通,巧妙构造,既达到了知识升华能力提升的要求,也达到了思想境界的升华的目的。
【参考文献】
[1] 张毅. 神奇的类比 巧妙地构造[J]. 中学数学教学参考月刊, 2011(4):33-34.
[2]黄元华. 构造辅助函数证明不等式[J]. 中学数学教学参考月刊, 2011(7):34-35.
[3]陈云烽. 例说数列不等式的证明与探索(续)[J]. 中学数学教学参考月刊, 2011(12):25-27.
(作者单位:甘肃省张掖市临泽县第一中学)
【关键词】构造数列不等式
构造法就是通过类比联想,适当变形,改造变通等技法,组装成有利于解决问题的新方法,因此数学中的“构造”既不神秘,也不是难以捉摸,而是目的性和方向性很强,有章可循,有法可依的一种操作性技能技巧。
本文就“构造辅助数列”证明不等式展开探索研究,归纳总结出一般规律,从而消除大家对构造的神秘感、陌生感和畏惧感。
一、神奇类比,巧妙构造
“类比”就是一种“相似”,她是从一种特列到另一种特列的推理。类比不是瞎猜、乱猜,而是以已存储知识为基础,以直觉为先导,以思维为核心地类比,巧妙的构造,达到证明问题的目的。
例1.已知数列{an},{bn}的每一项都是正数,a1=4, b1=8,且an,bn,an 1成等差数列,bn,an 1,bn 1成等比数列 (n∈N*)
(Ⅰ)求a2,b2;
(Ⅱ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数n,都有1a1-1 1a2-1 …1an-1<23.
分析:
(Ⅰ)a2=12,b2=18;
(Ⅱ)an=2n(n 1),bn=2(n 1)2;
(Ⅲ)1an-1=12n(n 1)-1,由不等式结构可知左边无法求和,也就不能直接证明不等式,我们只能提取已经存储的基础知识,展开类比联想进行探究。
思路:看到不等式的通项是关于自然数n的一个二次式,我们想到在数列单元课本上有一个数列{1n(n 1)},其和进行放缩可得不等式Sn=1-1n 1<1,这个数列学生非常熟悉,应用的也比较熟练。因此,引导学生观察不等式的结构特征是左边和之小于23,于是类比联想构造数列{231n(n 1)},只需证得1an-1=12n(n 1)-1≤231n(n 1)成立,就突破了此题的难点。
证明:要证1an-1=12n(n 1)-1≤231n(n 1)成立,只需证4n(n 1)-2≥3n(n 1),
只需证n2 n-2≥0,只需证(n-1)(n 2)≥0恒成立。
所以1an-1=12n(n 1)-1≤231n(n 1)=23(1n-1n 1)
所以1a1-1 1a2-1 …1an-1≤23(1-12 12-13 …1n-1n 1)=23(1-1n 1)<23
评注: 通过两个例题的构造法探究,我们得到类比联想构造离不开扎实的基础和良好的数学素养。在解决问题时多从自己熟悉的知识入手,大胆尝试构造,只要结构中出现“二次式”或 “指数式”,就可展开丰富的类比想象,提取熟悉的数列知识,巧夺天工的构造将会收到神奇的效果。
二、适当变形,和谐构造
任何方法都不是万能的,当类比构造法难以奏效时,应考虑将不等式进行适当变形,然后再构造辅助数列。当然这种变形不是盲目的无的放矢,而是根据题情与需要制定出明确的目标,让其充分发挥导航的作用。
例2.已知数列{an}的前n项和Sn=(n2 n)·3n
(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:a112 a222 …ann2>3n
分析:
(Ⅰ) an=2n(n 2)·3n-1;(Ⅱ)观察发现此不等式在n=1,n=2,…时都成立,那么我们可以分别将左右两边看为两个数列的和,只要得到两个数列通项满足不等关系,则这两个数列的和也就满足这个不等关系。由此可以用上述思路构造两个辅助数列证明。
证明:设数列{bn},{cn}的和分别为Bn,Cn,且Bn=a112 a222 …ann2,Cn=3n
∴n=1时,b1=B1=6,c1=C1=3,∴b1>c1;
当n≥2时bn=Bn-Bn-1=ann2=2(n 2)·3n-1n, cn=Cn-Cn-1=2·3n-1
∵n 2n>1,∴bn>cn
综上所述:(n∈N ),bn>cn,所以Bn>Cn。
即:a112 a222 …ann2>3n
以上用“构造辅助数列”证明不等式的两类方法,上述各法指向性十分明确。面对不同的题情特征,要机智巧妙地选择证法,灵活变通,巧妙构造,既达到了知识升华能力提升的要求,也达到了思想境界的升华的目的。
【参考文献】
[1] 张毅. 神奇的类比 巧妙地构造[J]. 中学数学教学参考月刊, 2011(4):33-34.
[2]黄元华. 构造辅助函数证明不等式[J]. 中学数学教学参考月刊, 2011(7):34-35.
[3]陈云烽. 例说数列不等式的证明与探索(续)[J]. 中学数学教学参考月刊, 2011(12):25-27.
(作者单位:甘肃省张掖市临泽县第一中学)