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[摘 要]数量关系具有相对性，已知的是标准量，未知的是相对量，二者的相对关系具有互换性，这在比大小、比多少问题中已经显现。到了倍数问题中，同样存在着辨析相对性的问题，到底谁比谁、该加还是该减、该乘还是该除，需要总结出一个简单、可操作性强的公式进行研判。
[关键词]数量关系;倍数;公式;加减
每逢遇到较为烦琐的倍数、分数（含百分数）应用题，师生都会感到头痛。教师无奈于讲了无数次，学生就是不会，而学生则觉得教师没有讲到点子上。如何才能打破这样的困境呢？能否把这些形形色色、纷繁复杂的倍数、分数应用题归为一类，归纳出一套行之有效的破解之道？笔者认为，不管是倍数问题还是分数问题，都属于倍率、分率的范畴，只不过在描述问题时对数量关系的相对性作了置换。因此，根据内在的共性概括出一个“万能公式”，使形式符合这一条件的题目或者通过一定加工和语言变换可以转变为同一形式的题目，都套用这一“万能公式”来解决，是完全行得通的。
一、简单的倍数问题的解题公式
低年级学生在初学倍数问题时，一旦遇到类似下面的问题，往往就会束手无策，这类问题在情节描述上具有迷惑性，在语言逻辑上具有干扰性的相似情节，学生对到底该选用除法还是乘法解题常常感到迷茫。
1.佩奇有4双旱冰鞋，乔治的旱冰鞋数量是佩奇的2倍，乔治有多少双旱冰鞋？
2.佩奇有4双旱冰鞋，是乔治的旱冰鞋数量的2倍，乔治有多少双旱冰鞋？
很明显，第1题是用“4×2=8”来解答，因为乔治的旱冰鞋数量是佩奇的2倍，也就是所求的未知数是已知数4的2倍，即有2个4，所以用乘法。而第2题有所不同，虽然也是已知佩奇的旱冰鞋数量，倍数也是2，但是相对性发生了转换，已知数4是未知数的2倍，改写成第1题的语序，就是未知数是已知数的[12]，所以用除法计算。
对比辨析这两道题，可以总结出一个简单易行的规律：知小求大，用乘法计算;知大求小，用除法计算。再进一步探究、解剖，从语法句式上辨析，还可以总结出：倍数问题，若求的是动词“是”前面的量，用乘法计算;若求的是动词“是”后面的量，用除法计算。倍数问题无非是谁是谁的倍数，翻来覆去，万变不离其宗，所以用上述规律解答可以快刀斩乱麻，省去复杂的对比逻辑分析。那么，复杂的倍数问题又该怎么应付呢？
二、复杂倍数问题的解题公式
先看两道不同类型的题目：
1.佩奇有20件裙子，猪妈妈的裙子件数比佩奇的2倍还多（少）6件，猪妈妈有多少件裙子？（用“20×2 6”或“20×2-6”解答）
2.佩奇有20件裙子，比猪妈妈的裙子件数的2倍还多（少）6件，猪妈妈有多少件裙子？（用“（20-6）÷2”或“（20 6）÷2”解答）
由于第1题的解法属于顺着情节发展来列式，大多数学生很容易就能理解和掌握，但是第2题的数据的变化是反着故事逻辑来走的，需要运用逆向思维推理，而一些学生欠缺反推能力，解题时往往就会思维受阻。部分学生经常混淆这两类题目，尤其是对第2题这样的题目，对于为何多了要减，少了反而要加，觉得不可思议、无法想象。
此时，教师可以扒掉情境外衣，提取直白的数量关系，进行直观对比。将“（90）比40的2倍多10”与“90比（多少）的2倍多10”进行对比。通过反复对比可知：90只有先刨去10后，剩下的才正好是所求数的2倍。也可通过直观的线段图（如右图）进行对比分析，这样更能促进学生的理解和掌握。
引导学生经历上述方法的运用，再经过分析、提炼与归纳，总结出较复杂的倍数问题的解题法则：知小求大，先乘倍数后加减，多几加几，少几减几;知大求小，先加减再除以倍数，多几减几，少几加几。通过进一步研究语法句式，还可以将这个法则推广，使其更具普遍性：求“比”“占”“是”之前的未知量（未知量大于已知量），先乘倍数后加减，多几加几，少几减几;求“比”“占”“是”之后的未知量（未知量小于已知量），多减少加后再除以倍数，多几减几，少几加几。
三、倍数问题的推广形式
在解决涉及小数、分数、百分数的应用题时，上述倍数问题的解题方法则是否可以沿用？下面从两个例子着手研究。
1.佩奇有10件裙子，猪妈妈的裙子件数比佩奇的20%还多4件，猪妈妈有多少件裙子？（用“10×20% 4”解答）
2.佩奇有10件裙子，比猪妈妈的裙子件数的20%还多4件，猪妈妈有多少件裙子？（用“（10-4）÷20%”解答）
通过类比、分析，发现可以把从表面上看毫不相干的小数、分数、百分数问题与倍数问题归为一类。为方便表述，姑且统称为“倍率问题”，并归纳概括出破解此类问题的“万能公式”：求“比”“占”“是”之前的未知量，先求乘积，多几加几，少几减几;求“比”“占”“是”之后的未知量，多退少补，多几减几，少几加几，然后再除以“倍率”。
上述规律只是从语法与词序方面来机械比对出解题法则，那么它的数学依据到底是什么？
1.佩奇有a件裙子，猪妈妈的裙子件数比佩奇的裙子件数的b（倍）还多（少）c件，猪妈妈有多少件裙子？（b还可以是表示倍比关系的分数、小数）
分析：猪妈妈的裙子件数为ab[±]c。
2.佩奇有a件裙子，比猪妈妈的裙子件数的b（倍）还多（少）c件，猪妈妈有多少件裙子？（b还可以是表示倍比关系的分数、小数）
分析：用方程法顺推出算式，然后用解方程逆推出结果，猪妈妈的裙子件数为（a±c）÷b。
【说明】
1.套用上述公式时，必须把已知量（数）置于数量关系词句之前，否则，结论不成立。如“一个数的3倍是45，求这个数”必须改成“45是一个数的3倍，求这个数”。（调整句式后题目大意不变）
2.当多（少）之后連接的不是一个确切数字时，必须先转换成倍率语言，再套公式。
如：①佩奇有20件裙子，猪妈妈的裙子件数比佩奇的2倍还多10%，猪妈妈有多少件裙子？其实质就是：佩奇有20件裙子，猪妈妈的裙子件数是佩奇的2.1倍，猪妈妈有多少件裙子？
②佩奇有40件裙子，比猪妈妈的裙子件数少20%，猪妈妈有多少件裙子？其实质就是：佩奇有40件裙子，是猪妈妈的裙子件数的80%，猪妈妈有多少件裙子？
说到底，简单的倍率问题其实就是复杂倍数问题的特殊情况，就是多几少几的数量为0的情况，也就是没有缺额和超额的整倍数情况，仍可用上述公式解答。上述结论只是笔者个人浅见，如有不当请不吝赐教。
（责编 吴美玲）
[关键词]数量关系;倍数;公式;加减
每逢遇到较为烦琐的倍数、分数（含百分数）应用题，师生都会感到头痛。教师无奈于讲了无数次，学生就是不会，而学生则觉得教师没有讲到点子上。如何才能打破这样的困境呢？能否把这些形形色色、纷繁复杂的倍数、分数应用题归为一类，归纳出一套行之有效的破解之道？笔者认为，不管是倍数问题还是分数问题，都属于倍率、分率的范畴，只不过在描述问题时对数量关系的相对性作了置换。因此，根据内在的共性概括出一个“万能公式”，使形式符合这一条件的题目或者通过一定加工和语言变换可以转变为同一形式的题目，都套用这一“万能公式”来解决，是完全行得通的。
一、简单的倍数问题的解题公式
低年级学生在初学倍数问题时，一旦遇到类似下面的问题，往往就会束手无策，这类问题在情节描述上具有迷惑性，在语言逻辑上具有干扰性的相似情节，学生对到底该选用除法还是乘法解题常常感到迷茫。
1.佩奇有4双旱冰鞋，乔治的旱冰鞋数量是佩奇的2倍，乔治有多少双旱冰鞋？
2.佩奇有4双旱冰鞋，是乔治的旱冰鞋数量的2倍，乔治有多少双旱冰鞋？
很明显，第1题是用“4×2=8”来解答，因为乔治的旱冰鞋数量是佩奇的2倍，也就是所求的未知数是已知数4的2倍，即有2个4，所以用乘法。而第2题有所不同，虽然也是已知佩奇的旱冰鞋数量，倍数也是2，但是相对性发生了转换，已知数4是未知数的2倍，改写成第1题的语序，就是未知数是已知数的[12]，所以用除法计算。
对比辨析这两道题，可以总结出一个简单易行的规律：知小求大，用乘法计算;知大求小，用除法计算。再进一步探究、解剖，从语法句式上辨析，还可以总结出：倍数问题，若求的是动词“是”前面的量，用乘法计算;若求的是动词“是”后面的量，用除法计算。倍数问题无非是谁是谁的倍数，翻来覆去，万变不离其宗，所以用上述规律解答可以快刀斩乱麻，省去复杂的对比逻辑分析。那么，复杂的倍数问题又该怎么应付呢？
二、复杂倍数问题的解题公式
先看两道不同类型的题目：
1.佩奇有20件裙子，猪妈妈的裙子件数比佩奇的2倍还多（少）6件，猪妈妈有多少件裙子？（用“20×2 6”或“20×2-6”解答）
2.佩奇有20件裙子，比猪妈妈的裙子件数的2倍还多（少）6件，猪妈妈有多少件裙子？（用“（20-6）÷2”或“（20 6）÷2”解答）
由于第1题的解法属于顺着情节发展来列式，大多数学生很容易就能理解和掌握，但是第2题的数据的变化是反着故事逻辑来走的，需要运用逆向思维推理，而一些学生欠缺反推能力，解题时往往就会思维受阻。部分学生经常混淆这两类题目，尤其是对第2题这样的题目，对于为何多了要减，少了反而要加，觉得不可思议、无法想象。
此时，教师可以扒掉情境外衣，提取直白的数量关系，进行直观对比。将“（90）比40的2倍多10”与“90比（多少）的2倍多10”进行对比。通过反复对比可知：90只有先刨去10后，剩下的才正好是所求数的2倍。也可通过直观的线段图（如右图）进行对比分析，这样更能促进学生的理解和掌握。
引导学生经历上述方法的运用，再经过分析、提炼与归纳，总结出较复杂的倍数问题的解题法则：知小求大，先乘倍数后加减，多几加几，少几减几;知大求小，先加减再除以倍数，多几减几，少几加几。通过进一步研究语法句式，还可以将这个法则推广，使其更具普遍性：求“比”“占”“是”之前的未知量（未知量大于已知量），先乘倍数后加减，多几加几，少几减几;求“比”“占”“是”之后的未知量（未知量小于已知量），多减少加后再除以倍数，多几减几，少几加几。
三、倍数问题的推广形式
在解决涉及小数、分数、百分数的应用题时，上述倍数问题的解题方法则是否可以沿用？下面从两个例子着手研究。
1.佩奇有10件裙子，猪妈妈的裙子件数比佩奇的20%还多4件，猪妈妈有多少件裙子？（用“10×20% 4”解答）
2.佩奇有10件裙子，比猪妈妈的裙子件数的20%还多4件，猪妈妈有多少件裙子？（用“（10-4）÷20%”解答）
通过类比、分析，发现可以把从表面上看毫不相干的小数、分数、百分数问题与倍数问题归为一类。为方便表述，姑且统称为“倍率问题”，并归纳概括出破解此类问题的“万能公式”：求“比”“占”“是”之前的未知量，先求乘积，多几加几，少几减几;求“比”“占”“是”之后的未知量，多退少补，多几减几，少几加几，然后再除以“倍率”。
上述规律只是从语法与词序方面来机械比对出解题法则，那么它的数学依据到底是什么？
1.佩奇有a件裙子，猪妈妈的裙子件数比佩奇的裙子件数的b（倍）还多（少）c件，猪妈妈有多少件裙子？（b还可以是表示倍比关系的分数、小数）
分析：猪妈妈的裙子件数为ab[±]c。
2.佩奇有a件裙子，比猪妈妈的裙子件数的b（倍）还多（少）c件，猪妈妈有多少件裙子？（b还可以是表示倍比关系的分数、小数）
分析：用方程法顺推出算式，然后用解方程逆推出结果，猪妈妈的裙子件数为（a±c）÷b。
【说明】
1.套用上述公式时，必须把已知量（数）置于数量关系词句之前，否则，结论不成立。如“一个数的3倍是45，求这个数”必须改成“45是一个数的3倍，求这个数”。（调整句式后题目大意不变）
2.当多（少）之后連接的不是一个确切数字时，必须先转换成倍率语言，再套公式。
如：①佩奇有20件裙子，猪妈妈的裙子件数比佩奇的2倍还多10%，猪妈妈有多少件裙子？其实质就是：佩奇有20件裙子，猪妈妈的裙子件数是佩奇的2.1倍，猪妈妈有多少件裙子？
②佩奇有40件裙子，比猪妈妈的裙子件数少20%，猪妈妈有多少件裙子？其实质就是：佩奇有40件裙子，是猪妈妈的裙子件数的80%，猪妈妈有多少件裙子？
说到底，简单的倍率问题其实就是复杂倍数问题的特殊情况，就是多几少几的数量为0的情况，也就是没有缺额和超额的整倍数情况，仍可用上述公式解答。上述结论只是笔者个人浅见，如有不当请不吝赐教。
（责编 吴美玲）