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在学习高中数学的过程中，学生对向量知识的学习、应用，有助于其更好地理解数学和生活以及其它学科之间的关系.向量是初
等数学与高等数学的衔接点之一，向量是不等式、解析几何以及三角函数等多种数学知识的交汇点.如果合理地将向量应用在线性规划、几何、函数以及不等式等各种数学问题中，可以充分发挥向量直观、简明的特点，进一步降低学生求解的难度，对学生解题起到极大的帮助作用.
一、向量在线性规划中的应用
根据向量的数量积，将类似z=ax+by的目标函数当作平面内向量
AM=（a，b），向量AB=（x，y）的数量积，假设|AM|是定值，那么z值是向量
AN在向量AM方向上的投影的非零常数倍.所以，投影最值点即为最优点.
例1 假设z=x+4y这个式子中变量x、y满足下面下面三个条件：①x-8y<0，②x+2y<3，③x>1，求z的最大值、最小值.
解：设N（x，y）是可行域内的任意一点，点M为（2，4），那么z=
AM·
AN
，通过向量数量积的几何意义可知：
当N（x，y）处于O为（2，4）时，z=x+4y的最大值即为18；
当N（x，y）处于P（2，18）时，z=x+4y的最小值即为52.
二、向量在几何问题中的应用
1.向量在平面几何中的应用
我们把具有大小和方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度或模.和向量相关的还有相等向量、零向量、共线向量等.对于向量（a，b）（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λ b.
例2 已知△AOM的三个顶点分别是A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），点B、C、D分别是AO、AM、OM上的中点，求直线BC、BD、CD的方程.
解析：
根据上述三角形三个顶点的坐标A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），可以得出中点B、C、D的坐标分别是（1，-1）、（-32，-12）、（-12，12）.假设G（x，y）是直线BD上的一个点，因为DG∥DB，则就可以求出BD的方程.同理，可以求出BC、CD所在直线的方程.通过向量分析各几何元素之间的关系，进一步将上述问题转变成共线向量、直线向量的问题，进一步就能得出BC、CD所在直线的方程.
2.空间向量在立体几何中的应用
立体几何是高中数学教学中的重点，同时也是难点之一，由于空间图形的复杂性、多变性，要求学生有较强的空间想象能力、逻辑推理能力等，对于大多数学生来说比较难学.而将向量法运用在立体几何问题中，可以让复杂的几何问题简单化，让学生快速找到问题的答案，尤其是在空间想象力不够时，尝试建立直角坐标系，可将立体几何问题转化为代数形式，使立体几何问题变得简单易求，从而找出解决问题的方法.
图1
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图1所示，已知E是棱DD1的中点，问是否在棱C1D1上面存在一个点M，使B1M和平面A1BE平行？如果存在则证明该结论，要求用向量法进行求解.
解：将点A当作坐标原点，建立坐标系，假设正方形棱长是2，那么点B为（2，0，0），点E为（0，2，1），点B1为（2，0，2）；
所以BE=（-2，2，1），而BA1=（-2，0，2）.
假设面BEA1的法向量是m=（x，y，z），那么m
·BE=-2x +2y + z =0并且m·BA1=2x+2z，如果x=1，那么z=-1，y=32，得出
m=（1，
32，-1）.
如果在棱C1D1上面存在有一点M，且B1M∥平面A1BE，设M（xa，2，2），（0≤xa≤2），那么BM=（xa-2，2，2），进而得出m
·BM=1×（xa -2）-
32×2-（-1）×2=0，通过计算可知xa=1，故M为C1D1中点时，可得出B1M∥平面A1BE.
三、向量在不等式中的应用
在求解不等式的过程中，如果合理应用向量法，则会起到事半功倍的效果.
求形如a2+b2±
c2+d2的不等式问题，可构造出向量的和与差，再利用向量的三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行求解.
例4 设a、b∈R+， p、q满足p2 +q2=1， 求证：
（ap）2+（bq）2+
（bp）2+（aq）2≥a+b.
证明： 设向量m=（ ap， bq） ， n=（ bp，aq） ， 则
（ap）2+（bq）2
+（bp）2+（aq）2
=|m|+|n|≥|m+n|=p2（a+b）2+q2（a+b）2.
即（ap）2+（bq）2+
（bp）2+（aq）2≥
（p2+q2）（a+b）2.
因a、b∈R+，p2 +q2=1，
故（ap）2+（bq）2+
（bp）2+（aq）2≥a+b.
通过向量法进行求解要比两点之间的距离公式、利用三角代换等方法都要简单.这种方法构思新颖、巧妙，可以向学生展示出整个数学建模过程.也就是问题→建模→还原，这三个步骤，充分发挥出向量的工具性功能.
向量本身具有几何形式与代数形式的双重身份，故其是代数和几何之间联系的重要纽带，在线性规划、平面几何、立体几何、不等式及三角函数的解题中均有一定的价值.在高中数学教学中，引导学生运用向量知识去解决复杂的数学问题，既有助于培养学生灵活运用知识的能力，又可以提高学生的创新意识.
等数学与高等数学的衔接点之一，向量是不等式、解析几何以及三角函数等多种数学知识的交汇点.如果合理地将向量应用在线性规划、几何、函数以及不等式等各种数学问题中，可以充分发挥向量直观、简明的特点，进一步降低学生求解的难度，对学生解题起到极大的帮助作用.
一、向量在线性规划中的应用
根据向量的数量积，将类似z=ax+by的目标函数当作平面内向量
AM=（a，b），向量AB=（x，y）的数量积，假设|AM|是定值，那么z值是向量
AN在向量AM方向上的投影的非零常数倍.所以，投影最值点即为最优点.
例1 假设z=x+4y这个式子中变量x、y满足下面下面三个条件：①x-8y<0，②x+2y<3，③x>1，求z的最大值、最小值.
解：设N（x，y）是可行域内的任意一点，点M为（2，4），那么z=
AM·
AN
，通过向量数量积的几何意义可知：
当N（x，y）处于O为（2，4）时，z=x+4y的最大值即为18；
当N（x，y）处于P（2，18）时，z=x+4y的最小值即为52.
二、向量在几何问题中的应用
1.向量在平面几何中的应用
我们把具有大小和方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度或模.和向量相关的还有相等向量、零向量、共线向量等.对于向量（a，b）（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λ b.
例2 已知△AOM的三个顶点分别是A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），点B、C、D分别是AO、AM、OM上的中点，求直线BC、BD、CD的方程.
解析：
根据上述三角形三个顶点的坐标A（0，-2），O（2，0），M（-3，1），可以得出中点B、C、D的坐标分别是（1，-1）、（-32，-12）、（-12，12）.假设G（x，y）是直线BD上的一个点，因为DG∥DB，则就可以求出BD的方程.同理，可以求出BC、CD所在直线的方程.通过向量分析各几何元素之间的关系，进一步将上述问题转变成共线向量、直线向量的问题，进一步就能得出BC、CD所在直线的方程.
2.空间向量在立体几何中的应用
立体几何是高中数学教学中的重点，同时也是难点之一，由于空间图形的复杂性、多变性，要求学生有较强的空间想象能力、逻辑推理能力等，对于大多数学生来说比较难学.而将向量法运用在立体几何问题中，可以让复杂的几何问题简单化，让学生快速找到问题的答案，尤其是在空间想象力不够时，尝试建立直角坐标系，可将立体几何问题转化为代数形式，使立体几何问题变得简单易求，从而找出解决问题的方法.
图1
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图1所示，已知E是棱DD1的中点，问是否在棱C1D1上面存在一个点M，使B1M和平面A1BE平行？如果存在则证明该结论，要求用向量法进行求解.
解：将点A当作坐标原点，建立坐标系，假设正方形棱长是2，那么点B为（2，0，0），点E为（0，2，1），点B1为（2，0，2）；
所以BE=（-2，2，1），而BA1=（-2，0，2）.
假设面BEA1的法向量是m=（x，y，z），那么m
·BE=-2x +2y + z =0并且m·BA1=2x+2z，如果x=1，那么z=-1，y=32，得出
m=（1，
32，-1）.
如果在棱C1D1上面存在有一点M，且B1M∥平面A1BE，设M（xa，2，2），（0≤xa≤2），那么BM=（xa-2，2，2），进而得出m
·BM=1×（xa -2）-
32×2-（-1）×2=0，通过计算可知xa=1，故M为C1D1中点时，可得出B1M∥平面A1BE.
三、向量在不等式中的应用
在求解不等式的过程中，如果合理应用向量法，则会起到事半功倍的效果.
求形如a2+b2±
c2+d2的不等式问题，可构造出向量的和与差，再利用向量的三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行求解.
例4 设a、b∈R+， p、q满足p2 +q2=1， 求证：
（ap）2+（bq）2+
（bp）2+（aq）2≥a+b.
证明： 设向量m=（ ap， bq） ， n=（ bp，aq） ， 则
（ap）2+（bq）2
+（bp）2+（aq）2
=|m|+|n|≥|m+n|=p2（a+b）2+q2（a+b）2.
即（ap）2+（bq）2+
（bp）2+（aq）2≥
（p2+q2）（a+b）2.
因a、b∈R+，p2 +q2=1，
故（ap）2+（bq）2+
（bp）2+（aq）2≥a+b.
通过向量法进行求解要比两点之间的距离公式、利用三角代换等方法都要简单.这种方法构思新颖、巧妙，可以向学生展示出整个数学建模过程.也就是问题→建模→还原，这三个步骤，充分发挥出向量的工具性功能.
向量本身具有几何形式与代数形式的双重身份，故其是代数和几何之间联系的重要纽带，在线性规划、平面几何、立体几何、不等式及三角函数的解题中均有一定的价值.在高中数学教学中，引导学生运用向量知识去解决复杂的数学问题，既有助于培养学生灵活运用知识的能力，又可以提高学生的创新意识.