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原题:苏科版七下第166页第13题
13. (1) 如图1,AB∥CD,试用不同方法证明∠B ∠D=∠E.
【分析】回归原点:条件中有AB∥CD,关于平行,我们只是学习了平行的有关性质与判定“三线八角”,如图2,其中,关键的就是两条平行线,一条截线.类比发现,图1中,如果着眼于平行线,发现缺少截线,那么只要延长BE或DE即成截线,如果着眼于一条平行线与一条截线,那么需要添加另一条平行线.
证法一:
延长DE交AB于F,∵AB∥CD(已知),
∴∠D=∠DFB(两直线平行,内错角相等).
∵∠DEB是△BEF的外角(已知),
∴∠DEB=∠B ∠DFB(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴∠DEB=∠B ∠D(等量代换).
证法二:延长BE交CD于F,
∵AB∥CD(已知),
∴∠B=∠DFB(两直线平行,内错角相等),
∵∠DEB是△DEF的外角(已知),
∴∠DEB=∠D ∠DFB(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴∠DEB=∠B ∠D(等量代换).
证法三:过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,EF∥AB(已知),
∴EF∥CD(平行线的传递性),
∴∠D =∠DEF (两直线平行,内错角相等).
∵EF∥AB(已知),
∴∠B=∠BEF(两直线平行,内错角相等).
又∠BED=∠BEF ∠DEF(已知),
∴∠DEB=∠B ∠D(等量代换).
【归纳】这个类型的问题的解决,知识涉及平行线的性质与三角形的内外角和定理,方法是通过构造,使图形符合基本图形“三线八角”,这种转化的解决方法,是非常重要的方法,它可以解决一类问题.
数学家华罗庚谈到解题时说,“退”到最原始的地方去,是解决问题的一个诀窍.最原始的地方有二层意思,一层是题干信息中的关键词:或语句、或点、或线(段)、或位置、或运动、或形的直观、或式的特征、或形的对称等,它驱动着思维起航,催生着解题思路的流畅,诠释着解法是怎样想到的;二层意思是概念、法则、公式、定理、基本图形、基本思想方法,退回原点,沟通知识之间联系,突破问题的难点.
变式1 (2014·菏泽)如图6,直线l∥m∥n,等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹的角为25°,则∠α的度数为( ).
A. 25° B. 45° C. 35° D. 30°
变式2 (2015·江苏泰州)如图7,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2=_______°.
变式3 (2016·安徽模拟)如图8,直线AB∥CD,∠C=44°,∠E为直角,则∠1等于( ).
A. 132° B. 134° C. 136° D. 138°
变式4 (2015·毕节)如图9,直线a∥b,直角三角形ABC的顶点B在直线a上,∠C=90°,∠β=55°,则∠α的度数为( )
A. 15° B. 25° C. 35° D. 55°
变式5 (2015·河北)如图10,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,则∠ACD=( ).
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
变式6 如图11,已知平面内有两条直线AB、CD,且AB∥CD,P为一动点.
(1) 当点P移动到AB、CD之间时,如图(1),这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系?
证明你的结论.
(2) 当点P移动到AB的外侧时,如图(2),是否仍有(1)的结论?如果不是∠P=∠C-∠A,请写出你的猜想(不要求证明).
(3) 当点P移动到如图(3)的位置时,∠P与∠A、∠C又有怎样的关系?能否利用(1)的结论来证明?还有其他的方法吗?请写出一种.
化繁为简是一种大格局、大智慧、大能力,在解决问题的过程中,同学们要有化繁为简的意识,锻炼自己快捷的思维方式,遇到一个问题,需要综合考虑,将烦琐之处、障碍之处真正地变得简便、顺畅,才能更加容易地解决问题,得出正确的结果.这种技能需要教师的帮助,更需要同学们自己的不断探索.化简要有理有据,要方法得当,恰到好处地将问题解决.同学们不断地深化自己“化繁为简”的数学思想, 利用这种思想去科学合理地解决问题,努力让化简成为自身的一种常态化行为、一种非常熟练的技能.
答案:变式1. C,变式2. 140度,变式3. B,变式4. C,变式5. C.
(作者单位:江苏省连云港市赣榆外国语学校)
13. (1) 如图1,AB∥CD,试用不同方法证明∠B ∠D=∠E.
【分析】回归原点:条件中有AB∥CD,关于平行,我们只是学习了平行的有关性质与判定“三线八角”,如图2,其中,关键的就是两条平行线,一条截线.类比发现,图1中,如果着眼于平行线,发现缺少截线,那么只要延长BE或DE即成截线,如果着眼于一条平行线与一条截线,那么需要添加另一条平行线.
证法一:
延长DE交AB于F,∵AB∥CD(已知),
![](http://pic.soolun.com/d/file/20211021/czs120160816-1-l.jpg)
∴∠D=∠DFB(两直线平行,内错角相等).
∵∠DEB是△BEF的外角(已知),
∴∠DEB=∠B ∠DFB(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴∠DEB=∠B ∠D(等量代换).
证法二:延长BE交CD于F,
∵AB∥CD(已知),
![](http://pic.soolun.com/d/file/20211021/czs120160816-2-l.jpg)
∴∠B=∠DFB(两直线平行,内错角相等),
∵∠DEB是△DEF的外角(已知),
∴∠DEB=∠D ∠DFB(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴∠DEB=∠B ∠D(等量代换).
证法三:过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,EF∥AB(已知),
∴EF∥CD(平行线的传递性),
∴∠D =∠DEF (两直线平行,内错角相等).
∵EF∥AB(已知),
∴∠B=∠BEF(两直线平行,内错角相等).
又∠BED=∠BEF ∠DEF(已知),
∴∠DEB=∠B ∠D(等量代换).
【归纳】这个类型的问题的解决,知识涉及平行线的性质与三角形的内外角和定理,方法是通过构造,使图形符合基本图形“三线八角”,这种转化的解决方法,是非常重要的方法,它可以解决一类问题.
数学家华罗庚谈到解题时说,“退”到最原始的地方去,是解决问题的一个诀窍.最原始的地方有二层意思,一层是题干信息中的关键词:或语句、或点、或线(段)、或位置、或运动、或形的直观、或式的特征、或形的对称等,它驱动着思维起航,催生着解题思路的流畅,诠释着解法是怎样想到的;二层意思是概念、法则、公式、定理、基本图形、基本思想方法,退回原点,沟通知识之间联系,突破问题的难点.
变式1 (2014·菏泽)如图6,直线l∥m∥n,等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹的角为25°,则∠α的度数为( ).
A. 25° B. 45° C. 35° D. 30°
变式2 (2015·江苏泰州)如图7,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2=_______°.
变式3 (2016·安徽模拟)如图8,直线AB∥CD,∠C=44°,∠E为直角,则∠1等于( ).
A. 132° B. 134° C. 136° D. 138°
变式4 (2015·毕节)如图9,直线a∥b,直角三角形ABC的顶点B在直线a上,∠C=90°,∠β=55°,则∠α的度数为( )
A. 15° B. 25° C. 35° D. 55°
变式5 (2015·河北)如图10,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,则∠ACD=( ).
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
变式6 如图11,已知平面内有两条直线AB、CD,且AB∥CD,P为一动点.
(1) 当点P移动到AB、CD之间时,如图(1),这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系?
证明你的结论.
(2) 当点P移动到AB的外侧时,如图(2),是否仍有(1)的结论?如果不是∠P=∠C-∠A,请写出你的猜想(不要求证明).
(3) 当点P移动到如图(3)的位置时,∠P与∠A、∠C又有怎样的关系?能否利用(1)的结论来证明?还有其他的方法吗?请写出一种.
化繁为简是一种大格局、大智慧、大能力,在解决问题的过程中,同学们要有化繁为简的意识,锻炼自己快捷的思维方式,遇到一个问题,需要综合考虑,将烦琐之处、障碍之处真正地变得简便、顺畅,才能更加容易地解决问题,得出正确的结果.这种技能需要教师的帮助,更需要同学们自己的不断探索.化简要有理有据,要方法得当,恰到好处地将问题解决.同学们不断地深化自己“化繁为简”的数学思想, 利用这种思想去科学合理地解决问题,努力让化简成为自身的一种常态化行为、一种非常熟练的技能.
答案:变式1. C,变式2. 140度,变式3. B,变式4. C,变式5. C.
(作者单位:江苏省连云港市赣榆外国语学校)