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摘要:直线和方程是高中数学解析几何的基础知识,其充分展现出了采用坐标表述点、采用方程表述直线,经过探索方程的特征探索直线性质思维、直线斜率以及倾斜角的基本含义。直线方程的几种形式和应用范畴,两直线位置关系与含参数直线方程等有關的数学知识,需要高中学生找到相应的解题技巧,增加对其的关注力度。因此,文章针对高中数学中直线与方程的解题技巧展开了论述。
关键词:直线;方程;解题技巧;分析
高中学生学习数学的时候,可以发现直线和方程解题方法是多种多样的,可是依旧有着部分直线方程需要选取合适的方式来求解。假设这部分方程采用一般的方式求解,计算起来比较复杂,且花费时间长。除此以外,在训练的时候可能会出现难度大的方程,所以学生需要仔细审题,分析该问题的结构与特征,选取合适的方式,将方程简单化,如此才可以确保解题的正确性,进而减少计算时间。可是在现实学习中,学生没有关注到解题技巧的总结,仅仅是通过大量的练习题提升解题能力,如此,根本无法学会直线方程解题技巧。所以,下面就结合相关例题对直线和方程的解题方法进行了讨论。
一、直线和方程解题技巧之向量法
除去上述常用的基本方式以外,在解析直线方程问题的时候,向量方法同样是学习过程中常常使用的一种解题方式。经过向量方法能够将复杂的问题简单化,简化计算步骤。在这之中直线Ax+By+C=0的法向量就是n等于(A,B),而方向向量就是v等于(B,-A)或者(-B,A)。一般而言采用向量解决的方程有这样几种,以下就针对其展开具体的分析和阐述[1]。
第一,假如直线通过P0点(1,6),该方向向量就是v等于(2,4),而p(x,y)是直线L中的随意一点,等于(x-1,y-6),那么平行于v。因此,直线方程就是2(x-1)-4(y-6)=0,因此2x-4y+22=0。
第二,假设直线L通过P0点(1,5),其法向量就是n等于(2,4),p(x,y)是直线L中随意一点,那么等于(x-1,y-5)。那么与n就是相互垂直的,并且直线方程就是2(x-1)+4(y-5)=0,所以,2x+4y-22=0。
例如,已经知道a(6,2)、b(-4,),直线L经过A点(3,-1),与此同时和向量a+2b相垂直,那么直线L的方程是什么?看到这一问题的时候,需要进行认真分析,根据已经给出的条件可以了解到a+2b等于(-2,3),由于直线L和其是相互垂直的,因此直线L的方程应该是2x-3y-9=0。
二、直线和方程解题技巧之公式法
事实上,公式法是解决直线与方程最为基础的一种解题方式,通常在问题之中经常会采用到的一些公式方法就是:第一,点斜式方法,已经知道直线L通过点P(X1,y1),并且这一直线的斜率是k,那么直线L的方程应该是y-y1-k(x-x1)。第二,两点式,已经知道直线L通过的两点坐标是P1(x1,y1),p2(x2,y2),(x1不等于x2),那么直线L的方程应当是y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1)。第三,截距式,直线L和x轴以及y轴相交在A(a,0),B(0,b),在这之中a和b均不是0,那么直线方程就是=1。第四,斜截式,已经知道直线L斜率为k,并且直线L和y轴交点是P(0,b),那么直线L方程就是y等于kx+b。
打个比方,通过点P(2,1)画一条直线L,让直线L和y轴、x轴正方向相交,其交点就是A和B,请计算出三角形AOB面积最小的直线方程L的方程式。
解答:使A(a,0)、B(0,b),设所计算直线方程是=1,那么根据已经给出的条件可以知道,这一直线通过点P(2,1),因此=1,又因为大于等于2,所以1大于等于2,如此就可以得到ab是大于等于8的。因此,如果只是当,那么a等于4,而b就等于2,所以等号是成立的。因此SΔAOB等于ab大于等于4,因而三角形面积最小值就是4,这个时候直线L方程就应该是,那么2x+y-4=0。
三、直线和方程解题技巧之数形结合法
数形结合思想方式实际上是高中学生学习数学的主要内容之一,高中学生学习直线和方程的过程中,解决直线方程问题可以采用数形结合方式进行。打个比方,已经知道两点a(-3,4),b(3,2),过点p(2,-1)的直线L和线段ab存在着公共点。请计算出:(1)直线L斜率k取值范畴;(2)直线L倾斜角α的取值范畴[2]。
高中学生阅读该问题的时候,需要先对问题进行简单的分析:将Pa、Pb连接在一起,就可以将直线Pa的斜率计算出来Kpa等于-1。而直线Pb斜率Kpb等于3,如果直线L由直线Pb的地方围绕点P朝着Pa的地方旋转的时候,那么倾斜角就会增加,按照正切函数的图像可以了解到斜率增大了。当K大于等于Kpb,那么k就大于等于3。如果旋转到和Y轴平行的时候,则倾斜角就是,这个时候的斜率K并没有存在着。假设旋转于倾斜角比大,一直到和直线Pa相重叠,那么倾斜角小于直线Pa。再按照正切函数图像可以了解到,斜率K小于等于KPa,而k小于等于-1。以上所言,直线L的斜率k取值范畴就是K大于等于3,或者说k小于等于-1。
四、结束语
高中学生学习数学中直线和方程这部分知识的时候,需要关注到解题的方法,而不仅仅是通过大量的习题练习提升自身的解题效率。更重要的应当是寻找到适合自身的解题方法,熟练掌握各种解题技巧,才可以在解决直线和方程问题时游刃有余,进而提高学生自身对于直线方程的解题效率。
(作者单位:长沙市南雅中学)
参考文献
[1]张志刚.例谈直线方程的解题方法[J].中学教学参考,2013,(23):51-52.
[2]马玮.直线与方程解题例谈[J].高中生学习:高一版,2011,(06):53-54.
关键词:直线;方程;解题技巧;分析
高中学生学习数学的时候,可以发现直线和方程解题方法是多种多样的,可是依旧有着部分直线方程需要选取合适的方式来求解。假设这部分方程采用一般的方式求解,计算起来比较复杂,且花费时间长。除此以外,在训练的时候可能会出现难度大的方程,所以学生需要仔细审题,分析该问题的结构与特征,选取合适的方式,将方程简单化,如此才可以确保解题的正确性,进而减少计算时间。可是在现实学习中,学生没有关注到解题技巧的总结,仅仅是通过大量的练习题提升解题能力,如此,根本无法学会直线方程解题技巧。所以,下面就结合相关例题对直线和方程的解题方法进行了讨论。
一、直线和方程解题技巧之向量法
除去上述常用的基本方式以外,在解析直线方程问题的时候,向量方法同样是学习过程中常常使用的一种解题方式。经过向量方法能够将复杂的问题简单化,简化计算步骤。在这之中直线Ax+By+C=0的法向量就是n等于(A,B),而方向向量就是v等于(B,-A)或者(-B,A)。一般而言采用向量解决的方程有这样几种,以下就针对其展开具体的分析和阐述[1]。
第一,假如直线通过P0点(1,6),该方向向量就是v等于(2,4),而p(x,y)是直线L中的随意一点,等于(x-1,y-6),那么平行于v。因此,直线方程就是2(x-1)-4(y-6)=0,因此2x-4y+22=0。
第二,假设直线L通过P0点(1,5),其法向量就是n等于(2,4),p(x,y)是直线L中随意一点,那么等于(x-1,y-5)。那么与n就是相互垂直的,并且直线方程就是2(x-1)+4(y-5)=0,所以,2x+4y-22=0。
例如,已经知道a(6,2)、b(-4,),直线L经过A点(3,-1),与此同时和向量a+2b相垂直,那么直线L的方程是什么?看到这一问题的时候,需要进行认真分析,根据已经给出的条件可以了解到a+2b等于(-2,3),由于直线L和其是相互垂直的,因此直线L的方程应该是2x-3y-9=0。
二、直线和方程解题技巧之公式法
事实上,公式法是解决直线与方程最为基础的一种解题方式,通常在问题之中经常会采用到的一些公式方法就是:第一,点斜式方法,已经知道直线L通过点P(X1,y1),并且这一直线的斜率是k,那么直线L的方程应该是y-y1-k(x-x1)。第二,两点式,已经知道直线L通过的两点坐标是P1(x1,y1),p2(x2,y2),(x1不等于x2),那么直线L的方程应当是y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1)。第三,截距式,直线L和x轴以及y轴相交在A(a,0),B(0,b),在这之中a和b均不是0,那么直线方程就是=1。第四,斜截式,已经知道直线L斜率为k,并且直线L和y轴交点是P(0,b),那么直线L方程就是y等于kx+b。
打个比方,通过点P(2,1)画一条直线L,让直线L和y轴、x轴正方向相交,其交点就是A和B,请计算出三角形AOB面积最小的直线方程L的方程式。
解答:使A(a,0)、B(0,b),设所计算直线方程是=1,那么根据已经给出的条件可以知道,这一直线通过点P(2,1),因此=1,又因为大于等于2,所以1大于等于2,如此就可以得到ab是大于等于8的。因此,如果只是当,那么a等于4,而b就等于2,所以等号是成立的。因此SΔAOB等于ab大于等于4,因而三角形面积最小值就是4,这个时候直线L方程就应该是,那么2x+y-4=0。
三、直线和方程解题技巧之数形结合法
数形结合思想方式实际上是高中学生学习数学的主要内容之一,高中学生学习直线和方程的过程中,解决直线方程问题可以采用数形结合方式进行。打个比方,已经知道两点a(-3,4),b(3,2),过点p(2,-1)的直线L和线段ab存在着公共点。请计算出:(1)直线L斜率k取值范畴;(2)直线L倾斜角α的取值范畴[2]。
高中学生阅读该问题的时候,需要先对问题进行简单的分析:将Pa、Pb连接在一起,就可以将直线Pa的斜率计算出来Kpa等于-1。而直线Pb斜率Kpb等于3,如果直线L由直线Pb的地方围绕点P朝着Pa的地方旋转的时候,那么倾斜角就会增加,按照正切函数的图像可以了解到斜率增大了。当K大于等于Kpb,那么k就大于等于3。如果旋转到和Y轴平行的时候,则倾斜角就是,这个时候的斜率K并没有存在着。假设旋转于倾斜角比大,一直到和直线Pa相重叠,那么倾斜角小于直线Pa。再按照正切函数图像可以了解到,斜率K小于等于KPa,而k小于等于-1。以上所言,直线L的斜率k取值范畴就是K大于等于3,或者说k小于等于-1。
四、结束语
高中学生学习数学中直线和方程这部分知识的时候,需要关注到解题的方法,而不仅仅是通过大量的习题练习提升自身的解题效率。更重要的应当是寻找到适合自身的解题方法,熟练掌握各种解题技巧,才可以在解决直线和方程问题时游刃有余,进而提高学生自身对于直线方程的解题效率。
(作者单位:长沙市南雅中学)
参考文献
[1]张志刚.例谈直线方程的解题方法[J].中学教学参考,2013,(23):51-52.
[2]马玮.直线与方程解题例谈[J].高中生学习:高一版,2011,(06):53-54.