[摘 要]课本习题蕴含着许多变式练习题，通过对教学过程中遇到的一道关于梯形的习题展开的思考，发现了梯形在满足了一定边之间的关系时所具有的一些特征，这对今后的教与学具有一定的指导意义。
　　[关键词]数学;课本习题;变式习题
　　[中图分类号]G633.63
　　[文献标识码]A
　　[文章编号]2095-3712（2014）35-0022-02
　　[作者简介]俞相顺，男，江苏溧阳人，本科，江苏省南京市溧水区石湫中学教师，中学一级。
　　一、例题
　　在九年级数学的教学中有这样一道题：如图1，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD。此题可以用多种方法证明。
　　图1
　　（一）证法一，如图1
　　作EF⊥AD，垂足为F
　　∵ EC⊥CD，EF⊥AD
　　DE平分∠ADC
　　∴ EC=EF
　　又∵ E是BC的中点，EB=EC
　　∴ EB=EF，且EF⊥AD，EB⊥AB
　　∴ 点E在∠BAD的平分线上
　　即AE平分∠BAD
　　图2
　　（二）证法二，如图2
　　延长DE与AB的延长线交于点F
　　∵ EC=EB， ∠C=∠EBF=90°， ∠1=∠2
　　∴ △ECD≌△EBF
　　∴ ED=EF， ∠3=∠4
　　又∵ ∠3=∠5
　　∴ ∠4=∠5
　　∴ △ADF为等腰三角形，且AE是底边上的中线
　　∴ AE平分∠BAD
　　图3
　　（3）证法三，如图3
　　作EF∥AB
　　∵ E是BC中点
　　∴ F是AD中点
　　∵ ∠1=∠2，∠1=∠3
　　∴ ∠2=∠3
　　∴ DF=EF=AF
　　∴ ∠4=∠5
　　又∵ ∠4=∠6
　　∴ ∠5=∠6，
　　即AE平分∠BAD
　　二、条件与结论的变式
　　初做此题，并未多想，只是觉得它是一道很普通的一题多解题。但在以后的教学中发现这个基本图形经常出现，这引起了笔者进一步思考。
　　（一）结论变式
　　不难发现此题还有AE⊥DE，AD=AB+CD这两个结论。在解完此题后对这两个结论的证明应该很容易了。
　　（二）条件变式
　　如果把题中的直角梯形换成一般梯形，问题还能解决吗？上面的两个结论还能成立吗？仔细思考，会发现两个结论仍然成立，只不过证明时，不能用证法一来证明。
　　（三）条件和结论互换变式
　　又经过一番思考，笔者有了一个猜想，对于此题中的五个条件（或结论），即EC=EB，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，AE⊥DE，AD=AB+CD，只要知道了其中两个就可以用来证明其他三个，于是又有了以下变式。
　　图4
　　变式一：如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC上一点，且DE、AF分别平分∠BAD、∠CDA。求证：①AE⊥DE;②E是BC中点;③AD=AB+CD。
　　变式二：如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC上中点，且AE⊥DE。求证：①DE、AF分别平分∠BAD、∠CDA;② AD=AB+CD。
　　变式三：如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC上中点，AD=AB+CD。求证：①AE⊥DE;②DE、AF分别平分∠BAD、∠CDA。
　　变式四：如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD， AD=AB+CD，且DE平分∠CDA。求证：①AE⊥DE;②AF平分∠BAD;③E是BC中点。
　　变式五：如图4，在梯形ABCD中，E是BC上的一点，AD=AB+CD，且AE⊥DE。求证：①E是BC中点;②DE、AF分别平分∠BAD、∠CDA。
　　对以上变式，经过论证，意外地发现前四个变式都可以证明出来，而只有变式五无法证明。所用的证明方法就是前面证法的一些逆向思维。
　　三、进一步思考
　　从这道题的一系列变式中可以发现我们运用了许多知识，同时也可以归纳出一些方法，找到题目中一些规律性的结论，可是仍有一个变式不能证明。再回到原题，笔者又想到了这样一个问题，即在满足条件“一腰等于两底和”的梯形中，另一腰的中点与前腰两端点的连线互相垂直且分别平分两个底角，在这样的梯形中，这几个关系应达到一种和谐的统一。但为什么变式五无法证明呢？把原来直角梯形这一条件加上去呢？
　　已知：如图5，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC上一点，AD=AB+CD，且DE⊥AE，求证：E是BC中点，DE平分∠CDA。
　　分析：此题用“同一法”可以证明。
　　取AD中点F，过F作FG⊥CB，垂足为G，连接EF
　　∴ GF=1/2（AB+CD）=1/2AD
　　图5
　　又∵ EF=1/2AD
　　∴ EF=FG，而FG⊥CD
　　∴ FE与FG重合
　　∴ FE∥CD
　　∴ E是BC中点，易证DE平分∠CDA
　　由此可见，在一腰等于两底和的直角梯形中，一定能在另一腰上找到一点，使得该点与前腰两端点连线互相垂直，且这一点必定是该腰的中点，也就是说这样的点有且只有一个。
　　换一种思维方式来处理上面的问题：如图6，若以AD为直径作⊙F，显然⊙F过点E，由于圆心F到BC的距离为12（AB+CD），即12AD。所以⊙F与BC相切，且切点必为E，所以FE⊥BC，因此可以得出结论：E是BC中点。
　　由上面的分析可以看出，在直角梯形ABCD中，上、下底AB、CD与长腰AD的大小关系决定了BC上满足ED⊥AE的点E的个数，即当AD=AB+CD时，这样的点E只有一个;当AD>AB+CD时，如图7，即圆心F到BC的距离d<12AD时，⊙F与BC相交，所以这样的E点有两个;当AD12AD，⊙F与BC相离，这样的点E不存在。
　　用上面的分析去思考前面无法证明的变式五，变式五中的图形其实就相当于将图6中的BC绕点E旋转一定角度得到，如图9，显然，此时⊙F与B1C1有两个交点，也就是说B1C1上满足条件ED⊥AE的点E不止一个，这就很好地解释了为什么变式五无法证明。
　　图6
　　图7
　　图8
　　图9
　　参考文献：
　　[1] 李德忠，董方英.圆与梯形相珠联——对一道课本习题的探究[J].中学数学，2010（7）.
　　[2] 方先进，张连姣.习题·模式·应用[J].中学生数学，2005（3）.
　　[3] 端凡侠.从《梯形》中一道习题得出的重要结论[J].初中生世界，2004（1）.