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摘 要：数学抽象素养是高中数学教学需要培养的六大核心素养之一。如何培养学生的数学抽象素养，笔者尝试建构以数学思维为核心的教学，形成研究一个具体的数学对象或解决一类数学问题的基本结构模式：素材探究（现实需要、数学发展的需要）——概念表征（表示及分类）——性质归纳——理解应用，让“数学抽象”螺旋上升，发展数学核心素养。
关键词：数学思维；数学抽象；启发性导学语；关联性
“数学抽象”贯穿于数学的产生与发展，反映了数学的一般性特征，是数学的核心素养。其素养的达成实际上就是要在理解数学知识的精神实质上下功夫，创建以思维为核心的课堂教学，实现数学育人的核心目标。笔者在教学实践中基于学生核心素养的培养，尝试建构以数学思维为核心的教学，形成研究一个具体的数学对象或解决一类数学问题的基本结构模式：素材探究（现实需要、数学发展的需要）——概念表征（表示及分类）——性质归纳——理解应用，让“数学抽象”螺旋上升，发展数学核心素养。
一、 提供丰富性素材，转换教学主体
研究一个具体的数学对象或是解决一类数学问题，往往需要经历从定性到定量，从具体到抽象，从宏观到微观的过程。这就需要根据学生不同的认知风格，提供一个位于学生思维最近发展区内，蕴含当前学习内容本质的丰富的情境素材，激发学生的主动求知欲。其教学设计要由“知识点”拓展到“知识群”，从而在整体上把握知识的主线。
比如在《任意角》的教学设计中，我们可以这样设计：以前我们是如何定义一个角的？它的范围是多少？通过建构情景1：手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.25小时，如何校准？情景2：车轮向后滚了半圈，那么车轮的一条半径OP旋转了多少度？如果车轮向前滚了1圈半，那么车轮的这条半径OP旋转了多少度？其目的是回顾已有知识。创设问题情景，让学生在解决问题的过程中感知任意角。
再请学生举生活中所接触到的不在0°～360°的角的实例，并加以说明。思考：刻画以上所举的角的关键是什么？结合具体实例，感受角的概念推广的必要性。在如何刻画角的问题讨论中，引发学生的认知冲突，认识到刻画这些角，不仅要用旋转量，还要用旋转方向。接着用任意角的概念来解释校正表的问题和前面所列举的例子。利用新概念重新认识问题，并在问题的解决过程中加深对概念的理解。以同一射线为始边作出下列角：210°，-150°，450°。让学生感受没有统一的参照系时，角的表示的不方便，由此引出在统一的直角坐标系内讨论角的便利性。给出象限角的概念，同时也为下一步研究三角函数奠定基础。引导学生讨论感受：说说在直角坐标系内讨论角的好处。
在这样的教与学过程中，根据具体的学习内容和目标，教师为学生提供合理、丰富的素材和具体的实例，或者是蕴含数学本质的活动情境，学生从这样设计的学习素材中学会抽象出数学概念的方法和学习经验，学会用数学抽象的思维方式去领会数学的本质，由此提升数学抽象素养。
二、 设计启发性导学语，再构学习内容
在数学问题解决中教会学生读题，善于从题目的背景信息中提取有用信息，并通过不同对象的数学表征，再构学习内容，按图索骥，形成知识体系，加深学生对数学知识的理解，并提升解决问题的能力。
当问题解决后，我们常常需要重新审视这道题的解题过程、策略和运用到的思想和方法。在重新审视的过程中，我们还要对此类问题做一个梳理，在解决问题的过程中方向和方法的确定需要对思路进行反思与修正等等，这一系列的思维过程需要通过平时教师启发性导学语的设计不断的固化和再抽象，从而提高学生解决问题的能力。
启发性导学语：
1. 题目中的哪些关键信息让你联想到相关的基本定义、公式、定理，这些相关联的定理能解决问题吗？如何打通它们之间的关系？
2. 题中哪些步骤容易发生错误？原因是什么？
3. 如何防止或者如何才能避免错误？
4. 有哪些经验和教训？
5. 解题中用到了哪些数学思想方法，具体是怎么运用的？这个题有没有其他解法？
比如过点P（1，-2）作圆x2 y2=1的切线，求切线方程。这题的解题分析可以先呈现学生错误资源，暴露学生知识缺漏。学生的做法是设过点P（1，-2）的切线方程为y 2=k（x-1），则圆心（0，0）到切线-kx y k 2=0的距离等于半径1，即
|k 2|k2 1=1，解之得k=-34，则所求的切线方程为3x 4y 5=0。
教师通过启发性导学语：题目的这个结果对吗？你能检验吗？你能一眼看出来吗？让学生养成检验解答结果的习惯，从“数”与“形”不同的角度积累简单易掌握的借助几何性质检验方法，提高答案的正确率。继续追问：题中哪些步骤容易发生错误？原因是什么？引导学生根据用到的数学知识寻求知识与知识之间的联系，寻求解题突破口，形成解题思路，对其中所设计的数学思想方法等方面进行回顾，对知识方法的再梳理，再确认，这样深层次的数学思维训练，提升了学生分析问题和解决问题的能力，完善认知结构，使数学抽象的再抽象得以落实，从而进一步养成一般性思考的学习习惯。
三、 关注联系性学习，理解数学应用
数学知识总是以不同的特征和形式加以呈现，在学习中要关注其多元表征，关注知识之间的联系，掌握其联通的方式，这样的学习才能加深学生对数学的理解，才会用数学的眼光看待数学，观察世界，从而引发思考，经历抽象过程，发展数学学科核心素养。比如在《几何概型》教学中，通过问题串完整体现了几何概型的概念形成过程，学生在问题的引导下，类比已有古典概型的形成过程与方法，通过五个实例的分析，发现几何概型与古典概型之间的区别与联系，打通了它们之间的联通关系，逐步体会三种不同的几何度量，从而加深对几何概型的理解与应用。这样的设计目的是充分发挥这一内容的数学思维教育价值。
总之，学生数学抽象素养不是通過一、两节课就能提升的，这是一个螺旋上升的漫长过程。其培养应贯穿整个高中阶段，应落实在每节课的课堂教学中实现以学生为主体、以开放性问题为主线的学习内容再构；重点关注知识的关联性，激发学生的深度思维，最终发展数学抽象素养。
参考文献：
[1]章建跃.数学教育随想录.下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017（6）：485.
[2]胡浩，张永超.立足教材探数学核心素养落地生根[J].数学通讯，2017（10）.
[3]晁丰成.让“数学抽象”素养在“概念教学”中落地[J].中学数学研究，2017（5）.
作者简介：叶志娟，福建省厦门市，厦门市逸夫中学。
关键词：数学思维；数学抽象；启发性导学语；关联性
“数学抽象”贯穿于数学的产生与发展，反映了数学的一般性特征，是数学的核心素养。其素养的达成实际上就是要在理解数学知识的精神实质上下功夫，创建以思维为核心的课堂教学，实现数学育人的核心目标。笔者在教学实践中基于学生核心素养的培养，尝试建构以数学思维为核心的教学，形成研究一个具体的数学对象或解决一类数学问题的基本结构模式：素材探究（现实需要、数学发展的需要）——概念表征（表示及分类）——性质归纳——理解应用，让“数学抽象”螺旋上升，发展数学核心素养。
一、 提供丰富性素材，转换教学主体
研究一个具体的数学对象或是解决一类数学问题，往往需要经历从定性到定量，从具体到抽象，从宏观到微观的过程。这就需要根据学生不同的认知风格，提供一个位于学生思维最近发展区内，蕴含当前学习内容本质的丰富的情境素材，激发学生的主动求知欲。其教学设计要由“知识点”拓展到“知识群”，从而在整体上把握知识的主线。
比如在《任意角》的教学设计中，我们可以这样设计：以前我们是如何定义一个角的？它的范围是多少？通过建构情景1：手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.25小时，如何校准？情景2：车轮向后滚了半圈，那么车轮的一条半径OP旋转了多少度？如果车轮向前滚了1圈半，那么车轮的这条半径OP旋转了多少度？其目的是回顾已有知识。创设问题情景，让学生在解决问题的过程中感知任意角。
再请学生举生活中所接触到的不在0°～360°的角的实例，并加以说明。思考：刻画以上所举的角的关键是什么？结合具体实例，感受角的概念推广的必要性。在如何刻画角的问题讨论中，引发学生的认知冲突，认识到刻画这些角，不仅要用旋转量，还要用旋转方向。接着用任意角的概念来解释校正表的问题和前面所列举的例子。利用新概念重新认识问题，并在问题的解决过程中加深对概念的理解。以同一射线为始边作出下列角：210°，-150°，450°。让学生感受没有统一的参照系时，角的表示的不方便，由此引出在统一的直角坐标系内讨论角的便利性。给出象限角的概念，同时也为下一步研究三角函数奠定基础。引导学生讨论感受：说说在直角坐标系内讨论角的好处。
在这样的教与学过程中，根据具体的学习内容和目标，教师为学生提供合理、丰富的素材和具体的实例，或者是蕴含数学本质的活动情境，学生从这样设计的学习素材中学会抽象出数学概念的方法和学习经验，学会用数学抽象的思维方式去领会数学的本质，由此提升数学抽象素养。
二、 设计启发性导学语，再构学习内容
在数学问题解决中教会学生读题，善于从题目的背景信息中提取有用信息，并通过不同对象的数学表征，再构学习内容，按图索骥，形成知识体系，加深学生对数学知识的理解，并提升解决问题的能力。
当问题解决后，我们常常需要重新审视这道题的解题过程、策略和运用到的思想和方法。在重新审视的过程中，我们还要对此类问题做一个梳理，在解决问题的过程中方向和方法的确定需要对思路进行反思与修正等等，这一系列的思维过程需要通过平时教师启发性导学语的设计不断的固化和再抽象，从而提高学生解决问题的能力。
启发性导学语：
1. 题目中的哪些关键信息让你联想到相关的基本定义、公式、定理，这些相关联的定理能解决问题吗？如何打通它们之间的关系？
2. 题中哪些步骤容易发生错误？原因是什么？
3. 如何防止或者如何才能避免错误？
4. 有哪些经验和教训？
5. 解题中用到了哪些数学思想方法，具体是怎么运用的？这个题有没有其他解法？
比如过点P（1，-2）作圆x2 y2=1的切线，求切线方程。这题的解题分析可以先呈现学生错误资源，暴露学生知识缺漏。学生的做法是设过点P（1，-2）的切线方程为y 2=k（x-1），则圆心（0，0）到切线-kx y k 2=0的距离等于半径1，即
|k 2|k2 1=1，解之得k=-34，则所求的切线方程为3x 4y 5=0。
教师通过启发性导学语：题目的这个结果对吗？你能检验吗？你能一眼看出来吗？让学生养成检验解答结果的习惯，从“数”与“形”不同的角度积累简单易掌握的借助几何性质检验方法，提高答案的正确率。继续追问：题中哪些步骤容易发生错误？原因是什么？引导学生根据用到的数学知识寻求知识与知识之间的联系，寻求解题突破口，形成解题思路，对其中所设计的数学思想方法等方面进行回顾，对知识方法的再梳理，再确认，这样深层次的数学思维训练，提升了学生分析问题和解决问题的能力，完善认知结构，使数学抽象的再抽象得以落实，从而进一步养成一般性思考的学习习惯。
三、 关注联系性学习，理解数学应用
数学知识总是以不同的特征和形式加以呈现，在学习中要关注其多元表征，关注知识之间的联系，掌握其联通的方式，这样的学习才能加深学生对数学的理解，才会用数学的眼光看待数学，观察世界，从而引发思考，经历抽象过程，发展数学学科核心素养。比如在《几何概型》教学中，通过问题串完整体现了几何概型的概念形成过程，学生在问题的引导下，类比已有古典概型的形成过程与方法，通过五个实例的分析，发现几何概型与古典概型之间的区别与联系，打通了它们之间的联通关系，逐步体会三种不同的几何度量，从而加深对几何概型的理解与应用。这样的设计目的是充分发挥这一内容的数学思维教育价值。
总之，学生数学抽象素养不是通過一、两节课就能提升的，这是一个螺旋上升的漫长过程。其培养应贯穿整个高中阶段，应落实在每节课的课堂教学中实现以学生为主体、以开放性问题为主线的学习内容再构；重点关注知识的关联性，激发学生的深度思维，最终发展数学抽象素养。
参考文献：
[1]章建跃.数学教育随想录.下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017（6）：485.
[2]胡浩，张永超.立足教材探数学核心素养落地生根[J].数学通讯，2017（10）.
[3]晁丰成.让“数学抽象”素养在“概念教学”中落地[J].中学数学研究，2017（5）.
作者简介：叶志娟，福建省厦门市，厦门市逸夫中学。