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一、问题的提出
认知心理学家认为，在解答数学问题的时候，学生的头脑中会呈现相应的表象，也可以说是人的内部表征在运作。表征，就是信息在头脑中的呈现方式。在教学中，教师可以通过学生的外在表征优化学生的思维。表征技术是针对数学学困生的教学干预措施之一。事实上，数学学困生有基本算数技能上的缺陷，他们面对的更大的困难是数学解题。
一些认知心理学家把问题表征划分为言语分析表征和视觉空间表征两大类。前者主要借助言语逻辑进行，后者主要通过建立视觉空间图形进行。Hegarty等人指出，视觉空间表征可分为图像表征（pictorial representation，如建构生动详细的物体的视觉图像）和图式表征（schematic representation，如善于表征物体之间的空间关系，善于想象空间转换等）。图像表征形象地再现问题的表面特征，但没有建立相应的空间结构，而图式表征建构了数量关系的空间结构模式。
视觉空间表征在传统上被认为是一种理想的数学教学策略。在小学数学教学中，运用图和列表分析和解决数学问题就是图式表征的一种外在表现形式。MaryHegarty、俞国良、徐速等学者的研究揭示：图式表征的运用与成功解决数学问题呈正相关，数学优秀生运用图式表征的比率远远高于数学学困生。在这些研究的基础上，本文通过测试和访谈来探讨数学优秀生运用图式表征解决数学问题的一般心理过程以及运用表征思考数学问题的教学策略。
二、研究方法
我从某小学选取四、五、六年级各3个班级，每个班40到50人，作为测验对象，并请数学教师根据学生平时的成绩在各年级选出优、中、差学生各2名，三个年级共54名学生作为个别访谈的对象。
根据学生的数学水平编制的数学测试卷，涉及非视觉化题目（NVP：nonvisual problem）与视觉化题目（VP：visual problem），包括方位问题、行程问题、植树问题和集合问题等问题。
学生以班级为单位在一节课里完成数学测验后，我对选定的54名学生进行个别访谈，每个学生的访谈时间大约为10到15分钟。访谈时，我让学生看着已经做过的试卷向教师解释解题思路，然后教师根据草稿纸的内容与学生的口头叙述，再次确定学生的表征类型。
三、研究结果
1.使用图式表征策略的自觉性和适切性
研究发现，高年级的学生能比较自觉地用图思考问题，低年级的学生则需教师提示。使用图式表征思考的必要性与题目本身的特点有很大的关系，也就是说使用图式表征策略并不是最好的。研究发现，涉及方位的数学问题，使用图的适切性较大，如地点坐标、植树问题。如果能利用数量关系分析出结果，那么使用图分析问题的适切性不大。
如果学生觉得利用图表思考对解题帮助不大，或者觉得用数量关系分析更为简单，教师就不要使用图表指导了。当然，还有一个原因就是他们根本不懂得如何用图。
2.探讨图式表征策略的一般思维过程
在学生访谈中，我选取了各年级的20名数学优秀生，让他们说出利用图表思考的思维过程，从中找出共性，提炼出认知加工过程中的要点。优秀生运用图式表征思考的一般过程：先根据题目意思画一个简图，在关键地方记上标记，把数字条件标在图上，找出条件与问题的关系，最后得出问题的答案。
对照Zazkis等人提出的数学问题的解决中视觉化与分析表征相互作用的螺旋上升模型（Visualizer/Analyzer模型或V/A模型），我发现学生表述出的思维过程确实具有视觉化思维和分析性思维两个要素，而且两者在建构对数学概念的丰富性的理解中互为补充并得到整合。Zazkis提出的模型指出解题思维开始于第一步的视觉化操作（V1），解题者画出图表或在头脑中出现心理表象，第一步分析推理（A1），然后对V1中的图表或心理表象进行推理，接着螺旋上升循环A1和V1的步骤，不断地修正图。当然，小学阶段的数学问题，循环的次数是极少的。
故此，这个研究结合学生的访谈记录，在V/A模型的理论基础上提出了以下运用图式表征思考问题的一般性思维过程，让数学学困生借鉴，给教师的数学教学提供提示。
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这次研究把以上概括提炼出来的运用图式表征思考数学问题的思维模式简称为“画图思考五步法”，希望可以使数学学困生在解题时思维方式得到改进。
3.有效运用图式表征思考数学问题的教学策略
（1）通过抽象化逐步消除图像表征的干扰
在课堂教学中，教师经常指导学生使用画图的策略，如在解应用题时脑中要出现一幅图。但是老师们并没有意识到不同类型的图对数学问题的解决的作用是不同的，甚至是相反的。
只有抓住了问题中事物空间关系的、动态的、结构化的图式表征策略才能有效地促进数学问题的解决，而只是抓住题目中人或物的视觉外观或其他无关细节的图像表征则会妨碍数学问题的成功解决。然而，数学学困生可能并没有意识到脑中无意浮现的，或有意想象出的事物的具体形象和细节会妨碍数学问题的解决。所以，教师要引导学生不要在图上写太多的文字，不要画得太具体，以简洁的线条、图形或符号标记代表问题中的元素即可。
（2）学会建立元素之间的关系
从小就培养学生用点和线来联系事物或元素之间的关系，建构思维图式分析问题，对学生学习数学会有很大的帮助。Deloache指出，模型和地图是现实环境的类比，图式关系对非视觉关系的表征实质上也是一种类比或比喻。他从发展的角度引用Center关于类比推理的理论，提出学生建构一个空间表征要具备的条件。首先，学生要能认识到一个图表实际上是一个表征。其次，学生能认识到两套信息彼此之间存在某种形式上的关系，并在两套信息之间选择正确的对应方式，也就是说学生知道利用图表可以帮助他们思考问题，帮助他们根据题意提炼出精简的数量结构关系，从而成功解题。
（3）教师的示范和学生的自主建构
研究表明：教育对空间表征能力有很大的影响，而问题解决者不会使用空间表征策略正反映出他们缺乏系统的指导。认知加工过程是一个获取、整理、分析信息的过程。这个过程既需要学生自主建构的经历，更需要教师的方法指导。对于“画图思考五步法”，教师可在例题上采用出声思维的手段向学生演示图表的建构过程，利用图表帮助学生确定对解题有用的信息，图表的抽象程度取决于学生的理解能力。教师在示范之后，应给学生提供一个相似的问题，要求学生使用类似的方法建构出他们自己的图表。
（4）选择表征与表征转换
表征转换主要指言语分析表征和视觉空间表征的转换，其中又有言语和符号的转换、图像和图式的转换。表征转换的训练方法是设计练习要求学习者不断地把文字转变成图画（尝试画图）或看图写话，学会灵活运用数字和符号，把图变成标记，再依据题意把元素联结起来，形成关系。这需要学习者受到长期的课堂影响，积累成功的体验，从而形成意识与能力。
因此，对整体认知水平较低的数学学困生来讲，表征转换具有一定的难度。Novick的表征转换机制提出了两个成功选择和建构适合的表征形式的决定因素：解决问题的综合知识与以往运用某种表征的经验。可见，前者受学生数学知识储备的影响，后者则可以通过教师对学生进行相关的训练获得经验。所以，教师要有意识地指导和提示学生采用不同的表征策略解题，从而获得成功的经验。
认知心理学家认为，在解答数学问题的时候，学生的头脑中会呈现相应的表象，也可以说是人的内部表征在运作。表征，就是信息在头脑中的呈现方式。在教学中，教师可以通过学生的外在表征优化学生的思维。表征技术是针对数学学困生的教学干预措施之一。事实上，数学学困生有基本算数技能上的缺陷，他们面对的更大的困难是数学解题。
一些认知心理学家把问题表征划分为言语分析表征和视觉空间表征两大类。前者主要借助言语逻辑进行，后者主要通过建立视觉空间图形进行。Hegarty等人指出，视觉空间表征可分为图像表征（pictorial representation，如建构生动详细的物体的视觉图像）和图式表征（schematic representation，如善于表征物体之间的空间关系，善于想象空间转换等）。图像表征形象地再现问题的表面特征，但没有建立相应的空间结构，而图式表征建构了数量关系的空间结构模式。
视觉空间表征在传统上被认为是一种理想的数学教学策略。在小学数学教学中，运用图和列表分析和解决数学问题就是图式表征的一种外在表现形式。MaryHegarty、俞国良、徐速等学者的研究揭示：图式表征的运用与成功解决数学问题呈正相关，数学优秀生运用图式表征的比率远远高于数学学困生。在这些研究的基础上，本文通过测试和访谈来探讨数学优秀生运用图式表征解决数学问题的一般心理过程以及运用表征思考数学问题的教学策略。
二、研究方法
我从某小学选取四、五、六年级各3个班级，每个班40到50人，作为测验对象，并请数学教师根据学生平时的成绩在各年级选出优、中、差学生各2名，三个年级共54名学生作为个别访谈的对象。
根据学生的数学水平编制的数学测试卷，涉及非视觉化题目（NVP：nonvisual problem）与视觉化题目（VP：visual problem），包括方位问题、行程问题、植树问题和集合问题等问题。
学生以班级为单位在一节课里完成数学测验后，我对选定的54名学生进行个别访谈，每个学生的访谈时间大约为10到15分钟。访谈时，我让学生看着已经做过的试卷向教师解释解题思路，然后教师根据草稿纸的内容与学生的口头叙述，再次确定学生的表征类型。
三、研究结果
1.使用图式表征策略的自觉性和适切性
研究发现，高年级的学生能比较自觉地用图思考问题，低年级的学生则需教师提示。使用图式表征思考的必要性与题目本身的特点有很大的关系，也就是说使用图式表征策略并不是最好的。研究发现，涉及方位的数学问题，使用图的适切性较大，如地点坐标、植树问题。如果能利用数量关系分析出结果，那么使用图分析问题的适切性不大。
如果学生觉得利用图表思考对解题帮助不大，或者觉得用数量关系分析更为简单，教师就不要使用图表指导了。当然，还有一个原因就是他们根本不懂得如何用图。
2.探讨图式表征策略的一般思维过程
在学生访谈中，我选取了各年级的20名数学优秀生，让他们说出利用图表思考的思维过程，从中找出共性，提炼出认知加工过程中的要点。优秀生运用图式表征思考的一般过程：先根据题目意思画一个简图，在关键地方记上标记，把数字条件标在图上，找出条件与问题的关系，最后得出问题的答案。
对照Zazkis等人提出的数学问题的解决中视觉化与分析表征相互作用的螺旋上升模型（Visualizer/Analyzer模型或V/A模型），我发现学生表述出的思维过程确实具有视觉化思维和分析性思维两个要素，而且两者在建构对数学概念的丰富性的理解中互为补充并得到整合。Zazkis提出的模型指出解题思维开始于第一步的视觉化操作（V1），解题者画出图表或在头脑中出现心理表象，第一步分析推理（A1），然后对V1中的图表或心理表象进行推理，接着螺旋上升循环A1和V1的步骤，不断地修正图。当然，小学阶段的数学问题，循环的次数是极少的。
故此，这个研究结合学生的访谈记录，在V/A模型的理论基础上提出了以下运用图式表征思考问题的一般性思维过程，让数学学困生借鉴，给教师的数学教学提供提示。
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这次研究把以上概括提炼出来的运用图式表征思考数学问题的思维模式简称为“画图思考五步法”，希望可以使数学学困生在解题时思维方式得到改进。
3.有效运用图式表征思考数学问题的教学策略
（1）通过抽象化逐步消除图像表征的干扰
在课堂教学中，教师经常指导学生使用画图的策略，如在解应用题时脑中要出现一幅图。但是老师们并没有意识到不同类型的图对数学问题的解决的作用是不同的，甚至是相反的。
只有抓住了问题中事物空间关系的、动态的、结构化的图式表征策略才能有效地促进数学问题的解决，而只是抓住题目中人或物的视觉外观或其他无关细节的图像表征则会妨碍数学问题的成功解决。然而，数学学困生可能并没有意识到脑中无意浮现的，或有意想象出的事物的具体形象和细节会妨碍数学问题的解决。所以，教师要引导学生不要在图上写太多的文字，不要画得太具体，以简洁的线条、图形或符号标记代表问题中的元素即可。
（2）学会建立元素之间的关系
从小就培养学生用点和线来联系事物或元素之间的关系，建构思维图式分析问题，对学生学习数学会有很大的帮助。Deloache指出，模型和地图是现实环境的类比，图式关系对非视觉关系的表征实质上也是一种类比或比喻。他从发展的角度引用Center关于类比推理的理论，提出学生建构一个空间表征要具备的条件。首先，学生要能认识到一个图表实际上是一个表征。其次，学生能认识到两套信息彼此之间存在某种形式上的关系，并在两套信息之间选择正确的对应方式，也就是说学生知道利用图表可以帮助他们思考问题，帮助他们根据题意提炼出精简的数量结构关系，从而成功解题。
（3）教师的示范和学生的自主建构
研究表明：教育对空间表征能力有很大的影响，而问题解决者不会使用空间表征策略正反映出他们缺乏系统的指导。认知加工过程是一个获取、整理、分析信息的过程。这个过程既需要学生自主建构的经历，更需要教师的方法指导。对于“画图思考五步法”，教师可在例题上采用出声思维的手段向学生演示图表的建构过程，利用图表帮助学生确定对解题有用的信息，图表的抽象程度取决于学生的理解能力。教师在示范之后，应给学生提供一个相似的问题，要求学生使用类似的方法建构出他们自己的图表。
（4）选择表征与表征转换
表征转换主要指言语分析表征和视觉空间表征的转换，其中又有言语和符号的转换、图像和图式的转换。表征转换的训练方法是设计练习要求学习者不断地把文字转变成图画（尝试画图）或看图写话，学会灵活运用数字和符号，把图变成标记，再依据题意把元素联结起来，形成关系。这需要学习者受到长期的课堂影响，积累成功的体验，从而形成意识与能力。
因此，对整体认知水平较低的数学学困生来讲，表征转换具有一定的难度。Novick的表征转换机制提出了两个成功选择和建构适合的表征形式的决定因素：解决问题的综合知识与以往运用某种表征的经验。可见，前者受学生数学知识储备的影响，后者则可以通过教师对学生进行相关的训练获得经验。所以，教师要有意识地指导和提示学生采用不同的表征策略解题，从而获得成功的经验。