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【摘 要】本原性问题驱动下的主题教学设计旨从中学数学的本原性问题出发，模拟数学家做数学研究的情境，引导学生学习相应的数学理论解决问题。研究者以沪教版“概率论初步”为例，从课时和主题两个层面阐述本原性问题驱动下主题教学设计中如何创设问题情境。
【关键词】本原性问题;主题教学;问题情境
【作者简介】任念兵，高级教师，主要研究方向为高中数学课堂教学与命题研究。
【基金项目】上海市教育科学研究项目“本原性问题驱动下高中数学主题教学设计与评价的实践研究”（C2021043）
《普通高中数学课程标准（2017版）》（下文简称《课程标准》）提倡整体把握教学内容，合理设计教学活动，发展学生的数学核心素养。而在主题教学中设计教学活动，离不开合适的教学情境和有挑战性的数学问题，本原性问题驱动下的主题教学设计就是在这样的背景下提出来的。
一、本原性问题的定义
所谓本原性问题，是指促使一个概念、一个原理、一门理论产生的那些原始的问题[1]。从中学数学教学的视角来考虑，以下两类问题有助于引导学生学会思考，提升研究能力，可看作是中学数学的本原性问题。
一是从数学历史发生视角来看，引发某个数学分支创立的基本问题，或数学家当初建立某个概念，发现某个定理的原始问题。以在数学发展进程中产生过重要影响的或有里程碑意义的数学问题为线索和载体组织数学课堂教学，可将数学分支创立和发展过程的艰辛，创立过程中出现的瓶颈及突破瓶颈的关键思想的产生过程，数学家在这个创立过程中的伟大贡献和不达目的誓不罢休的精神一一呈现出来，让学生系统地思考和解决一些真正的数学问题[2]。
二是从数学内在逻辑视角来看，体现数学知识的发现和组织过程的问题。教材在组织数学内容时，一般是按照数学学科的某种内在逻辑，将数学的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性建构成数学知识的整体结构。比如在立体几何中为什么用平面的三个公理来刻画平面的基本性质？研究线面平行，为什么要用线线平行来判定？等等。教师通过挖掘这些能够反映知识背后的数学内在逻辑的问题，帮助学生深刻理解知识背后的思想方法，從整体上理解学科知识，从“知其然”上升到“知其所以然”的境界。
二、本原性问题驱动下的主题教学设计流程
本原性问题驱动下的主题教学设计，指选取中学数学中的本原性问题，模拟数学家做数学研究的情境，回归数学问题发现和解决的过程，引导学生学习相应的数学理论（中学数学教材范畴内的概念、公式、法则等），完成“做什么”“为什么做”“怎么做”的问题。主题教学设计一般包括以下三个阶段。
（1）前期分析阶段：包括主题内容分析（分析知识产生的背景和过程、知识的要点与本质、知识间的结构联系与教学价值）和学生认知分析（分析学生的认知基础与认知障碍）。
（2）主题设计阶段：包括主题目标设计（确定主题的教学目标，并将目标分解到各个课时）和问题情境创设（选取适当的本原性问题并围绕本原性问题设计主题学习的问题串）。
（3）课时设计阶段：在上述问题串的框架中，设计主题内若干个具有代表性课时的教学方案并实施教学。
本原性问题驱动下的主题教学设计流程如图1所示，其中围绕本原性问题创设问题情境是教学的难点。本文以沪教版“概率论初步”为例，从某个课时（单元起始课）和整个主题（单元）两个层面，阐述主题教学设计中创设问题情境的大致思路。
三、基于课时和主题的问题情境创设案例分析
以沪教版高中数学“概率论初步”作为一个主题。“古典概型”是概率单元的起始课，教师先选取适当的问题作为本原性问题，围绕本原性问题设计四个教学环节——情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思，以完成整个问题情境的创设。需要特别说明的是，不同于人教版和苏教版，沪教版的数学教材将“排列组合与二项式定理”安排在“概率论初步”之前，因此，学生可以利用相关知识来计算古典概型的概率。
1.情境与问题
教师首先创设情境，提出本原性问题。
创设情境：“掼蛋”是流行于江苏、安徽、浙江等地的扑克牌游戏，在两副牌（108张）、四个玩家的玩法中，规定几种牌型——“六同”（6张同数值的牌）、“五同”、“四同”和“同花顺”（5张同花色的连续单牌）的大小顺序为：“六同”>“同花顺”>“五同”>“四同”。“大怪路子”是流行于上海等地的扑克牌游戏，在三副牌（162张）六个玩家的玩法中，规定两种牌型——“五同”“同花顺”的大小顺序为：“五同”>“同花顺”。以上两种流行游戏中，对于“同花顺”“五同”两种牌型大小的规定竟然是截然相反的。
提出问题：判断“掼蛋”“大怪路子”游戏中“五同”“同花顺”牌型大小的规定是否合理。
要判断“五同”“同花顺”牌型的大小，需要比较这两种牌型出现的概率，为学生接下来的概念学习做铺垫。
2.知识与技能
为了解决上述问题，教师引入教材中的相关概念，通过例题，巩固数学原理（定理、公式、法则等）。
（沪教版数学高三年级第85-86页）一次试验可能出现的结果叫作基本事件。具有以下两个特点的概率模型叫作古典概型。
（1）有限性：一次试验所有的基本事件只有有限个;
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
在古典概型中，记Ω为试验中基本事件的集合，n（Ω）为所有的基本事件数，n（A）为事件A所包含的基本事件数，则事件A出现的概率定义为P（A）=n（A）n（Ω）。[3]
例 从一副扑克牌（54张）中随机取5张牌，出现“同花顺”和“四同”的牌型的概率分别为多少？
解：所有的基本事件数为C554=3162510，“同花顺”牌型包含的基本事件为四种花色中的“A、2、3、4、5”到“10、J、Q、K、A”，共4×10=40个;“四同”牌型包含的基本事件为“四张*与一张非*牌”，共有13×50=650个。由古典概型的概率定义，得P（“同花顺”）=40C554=4316251，P（“四同”）=650C554=524327。 计算古典概型的概率，关键是求出样本空间Ω（基本事件的集合）和随机事件A中的样本点（基本事件）数量，最朴素的计数方法是枚举法，而乘法原理、加法原理及在此基础上发展出来的排列组合知识是计算古典概型的概率所常用的计数工具。
接着，教师引导学生收集、整理本原性问题中的相关信息，建立本原性问题和教材中数学原理之间的联系。为了便于解决问题，教师对某些细节做出假设（排除干扰因素），并对问题进行数学化表达，利用教材中的知识建立数学模型来解决。
3.思维与表达
比较“同花顺”与“五同”两种牌型出现的概率，回到本原性问题。考虑到“掼蛋”和“大怪路子”游戏的相似性，本环节只研究“掼蛋”游戏中有关牌型出现的概率。
（1） 信息收集
“掼蛋”游戏使用两副牌，共108张，其中大小王各2张，其他牌的数值为A—K，每个数值各4种花色、每种花色各2张。
（2）基本假设
①游戏玩家随机摸牌，各种牌型出现的概率符合古典概型的特点。
②在“掼蛋”游戏中，若牌型M出现的概率P（M）大于牌型N出现的概率P（N），则按照物以稀为贵的常识，概率越小的牌型越“贵”，应规定牌型N比牌型M大。
③将“八同”“七同”“六同”“五同”严格区分开来，比如虽然“AAAAAA”打牌时它能够被拆成“五同AAAAA”和一张单牌A，但是只归入“六同”而不算“五同”。
（3）数学建模
要比较“同花顺”“五同”的概率大小，可以从简单到复杂，先考虑每个玩家发5张牌的情形：P（“同花顺”）=4×10×25C5108，P（“五同”）=13C58C5108，由于两个分数的分母相同，只需比较分子即可，分别为1280和728。根据基本假设，显然这两种牌型的大小排序应该为“五同”>“同花顺”。
考虑每个玩家发6张牌的情况下，比较“同花顺”“五同”“六同”的概率大小。6张牌出现“同花顺”，包括两大类：一类如“红心A2345”+“黑桃4”，恰有5张牌构成“同花顺”;另一类如“红心A23456”，6张同花色的连续单牌。
“红心A2345”+“非红心牌”的组合，有25×82种;“红心A2345”+“红心非6”的组合，有25×14种;“红心A23456”的组合，有26种。
“紅心23456”+“非红心牌”的组合，有25×82种;“红心23456”+“红心非A、7”的组合，有25×12种;“红心234567”的组合，有26种。
……
“红心910JQK”+“非红心牌”的组合，有25×82种;“红心910JQK”+“红心非8、A”的组合，有25×12种;“红心910JQKA”的组合，有26种。
“红心10JQKA”+“非红心牌”的组合，有25×82种;“红心10JQKA”+“红心非9”的组合，有25×14种。
综上所述，6张牌出现“同花顺”的组合种数共有（25×82×10+25×14×2+25×12×8+26×9）×4=481×28。
所以，P（“同花顺”）=481×28C6108，P（“六同”）=13C68C6108，P（“五同”）=13C58×C1100C6108，三个分数的分子分别为123136、364、72800。即使将“六同”算作特殊的“五同”，“五同”的概率也小于“同花顺”。根据基本假设，“同花顺”“五同”两种牌型的大小排序应该为“五同”>“同花顺”。
当每个玩家得到牌的张数增加时，牌型概率的计算复杂度也成几何级数增长。对于“掼蛋”游戏中每个玩家得到27张牌的情况，计算量太大，通过古典概型的概率定义进行理论推导是不太现实的。但从上述简单情形的计算结果分析，可以合理猜想：“同花顺”“五同”两种牌型的大小顺序应该是“五同”>“同花顺”，即“掼蛋”游戏中“五同”“同花顺”牌型大小的规定是不合理的。
最后，教师引导学生对模型进行反思，并对本原性问题的研究结果进行误差分析或补充阐释。
4.交流与反思
在本原性问题驱动下的主题教学中，利用教材中的数学原理，教师即使不能在课堂上完全解决本原性问题，也为学生播撒下思维的种子，激发学生学习的热情。对“掼蛋”游戏中每个玩家得到27张牌时有关牌型概率的研究，已超出了高中数学教学的基本要求，不适合在课堂教学中开展，可以留给有兴趣的学生作为小课题在课后研究。
从“概率”主题的层面来看，比较“掼蛋”游戏中的牌型大小，可以作为概率主题的一个本原性问题。将“掼蛋”游戏中某种牌型出现的概率作为情境，置于“概率论初步”单元的整体中，则可以分别根据对立事件、和事件、独立事件的积事件等知识点设计出相关的问题，从而突破上面介绍的“古典概型”课时创设概率主题的问题情境。在“古典概型”课时中，虽然比较“五同”“同花顺”两种牌型出现概率的大小似乎只是计数问题，但是问题的最终解决需要通过随机模拟来比较（实际是以频率估计概率），这就不是计数原理能处理的，需要站在概率主题整体的层面来考虑。
四、结语
本原性问题驱动下的主题教学设计，关键在于本原性问题的选取，最终指向学生的数学核心素养的培育。在教学中，我们得到以下启示。
一是概率论源于“分赌金”问题的研究，其数学模型也是古典概型，与本文利用古典概型的概率定义、计算“‘掼蛋’游戏中牌型出现的概率”是类似的。从数学发展的历史这个角度来看，比较“掼蛋”游戏中的牌型大小，可以看成概率论研究的一个本原性问题。
二是概率主题教学设计在培育学生的数学核心素养方面的价值，主要体现在数学建模和数学运算两大核心素养上。以“古典概型”课时为例，从实际生活中发现并提出数学问题，建立古典概率的模型，让学生学会用数学模型解决实际问题，积累数学研究的经验;利用计数原理，通过适当的分类和分步，计算各种情况的牌型组合数来比较概率大小，借助数学运算得出结论，通过运算促进学生数学思维的发展。
三是选取中学数学中合适的本原性问题，以数学主题内容为主线，以“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”为路径创设问题情境，润物细无声地培育学生的数学核心素养，这就是本原性问题驱动下的主题教学设计的旨归。
参考文献：
[1]曹广福，张蜀青.问题驱动的中学数学课堂教学：理论与实践卷[M].北京：清华大学出版社，2018.
[2]章建跃.发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）：1-6.
[3]袁震东.高级中学课本：数学高三年级（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2008.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】本原性问题;主题教学;问题情境
【作者简介】任念兵，高级教师，主要研究方向为高中数学课堂教学与命题研究。
【基金项目】上海市教育科学研究项目“本原性问题驱动下高中数学主题教学设计与评价的实践研究”（C2021043）
《普通高中数学课程标准（2017版）》（下文简称《课程标准》）提倡整体把握教学内容，合理设计教学活动，发展学生的数学核心素养。而在主题教学中设计教学活动，离不开合适的教学情境和有挑战性的数学问题，本原性问题驱动下的主题教学设计就是在这样的背景下提出来的。
一、本原性问题的定义
所谓本原性问题，是指促使一个概念、一个原理、一门理论产生的那些原始的问题[1]。从中学数学教学的视角来考虑，以下两类问题有助于引导学生学会思考，提升研究能力，可看作是中学数学的本原性问题。
一是从数学历史发生视角来看，引发某个数学分支创立的基本问题，或数学家当初建立某个概念，发现某个定理的原始问题。以在数学发展进程中产生过重要影响的或有里程碑意义的数学问题为线索和载体组织数学课堂教学，可将数学分支创立和发展过程的艰辛，创立过程中出现的瓶颈及突破瓶颈的关键思想的产生过程，数学家在这个创立过程中的伟大贡献和不达目的誓不罢休的精神一一呈现出来，让学生系统地思考和解决一些真正的数学问题[2]。
二是从数学内在逻辑视角来看，体现数学知识的发现和组织过程的问题。教材在组织数学内容时，一般是按照数学学科的某种内在逻辑，将数学的基本概念、基本原理及其相互之间的关联性建构成数学知识的整体结构。比如在立体几何中为什么用平面的三个公理来刻画平面的基本性质？研究线面平行，为什么要用线线平行来判定？等等。教师通过挖掘这些能够反映知识背后的数学内在逻辑的问题，帮助学生深刻理解知识背后的思想方法，從整体上理解学科知识，从“知其然”上升到“知其所以然”的境界。
二、本原性问题驱动下的主题教学设计流程
本原性问题驱动下的主题教学设计，指选取中学数学中的本原性问题，模拟数学家做数学研究的情境，回归数学问题发现和解决的过程，引导学生学习相应的数学理论（中学数学教材范畴内的概念、公式、法则等），完成“做什么”“为什么做”“怎么做”的问题。主题教学设计一般包括以下三个阶段。
（1）前期分析阶段：包括主题内容分析（分析知识产生的背景和过程、知识的要点与本质、知识间的结构联系与教学价值）和学生认知分析（分析学生的认知基础与认知障碍）。
（2）主题设计阶段：包括主题目标设计（确定主题的教学目标，并将目标分解到各个课时）和问题情境创设（选取适当的本原性问题并围绕本原性问题设计主题学习的问题串）。
（3）课时设计阶段：在上述问题串的框架中，设计主题内若干个具有代表性课时的教学方案并实施教学。
本原性问题驱动下的主题教学设计流程如图1所示，其中围绕本原性问题创设问题情境是教学的难点。本文以沪教版“概率论初步”为例，从某个课时（单元起始课）和整个主题（单元）两个层面，阐述主题教学设计中创设问题情境的大致思路。
三、基于课时和主题的问题情境创设案例分析
以沪教版高中数学“概率论初步”作为一个主题。“古典概型”是概率单元的起始课，教师先选取适当的问题作为本原性问题，围绕本原性问题设计四个教学环节——情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思，以完成整个问题情境的创设。需要特别说明的是，不同于人教版和苏教版，沪教版的数学教材将“排列组合与二项式定理”安排在“概率论初步”之前，因此，学生可以利用相关知识来计算古典概型的概率。
1.情境与问题
教师首先创设情境，提出本原性问题。
创设情境：“掼蛋”是流行于江苏、安徽、浙江等地的扑克牌游戏，在两副牌（108张）、四个玩家的玩法中，规定几种牌型——“六同”（6张同数值的牌）、“五同”、“四同”和“同花顺”（5张同花色的连续单牌）的大小顺序为：“六同”>“同花顺”>“五同”>“四同”。“大怪路子”是流行于上海等地的扑克牌游戏，在三副牌（162张）六个玩家的玩法中，规定两种牌型——“五同”“同花顺”的大小顺序为：“五同”>“同花顺”。以上两种流行游戏中，对于“同花顺”“五同”两种牌型大小的规定竟然是截然相反的。
提出问题：判断“掼蛋”“大怪路子”游戏中“五同”“同花顺”牌型大小的规定是否合理。
要判断“五同”“同花顺”牌型的大小，需要比较这两种牌型出现的概率，为学生接下来的概念学习做铺垫。
2.知识与技能
为了解决上述问题，教师引入教材中的相关概念，通过例题，巩固数学原理（定理、公式、法则等）。
（沪教版数学高三年级第85-86页）一次试验可能出现的结果叫作基本事件。具有以下两个特点的概率模型叫作古典概型。
（1）有限性：一次试验所有的基本事件只有有限个;
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
在古典概型中，记Ω为试验中基本事件的集合，n（Ω）为所有的基本事件数，n（A）为事件A所包含的基本事件数，则事件A出现的概率定义为P（A）=n（A）n（Ω）。[3]
例 从一副扑克牌（54张）中随机取5张牌，出现“同花顺”和“四同”的牌型的概率分别为多少？
解：所有的基本事件数为C554=3162510，“同花顺”牌型包含的基本事件为四种花色中的“A、2、3、4、5”到“10、J、Q、K、A”，共4×10=40个;“四同”牌型包含的基本事件为“四张*与一张非*牌”，共有13×50=650个。由古典概型的概率定义，得P（“同花顺”）=40C554=4316251，P（“四同”）=650C554=524327。 计算古典概型的概率，关键是求出样本空间Ω（基本事件的集合）和随机事件A中的样本点（基本事件）数量，最朴素的计数方法是枚举法，而乘法原理、加法原理及在此基础上发展出来的排列组合知识是计算古典概型的概率所常用的计数工具。
接着，教师引导学生收集、整理本原性问题中的相关信息，建立本原性问题和教材中数学原理之间的联系。为了便于解决问题，教师对某些细节做出假设（排除干扰因素），并对问题进行数学化表达，利用教材中的知识建立数学模型来解决。
3.思维与表达
比较“同花顺”与“五同”两种牌型出现的概率，回到本原性问题。考虑到“掼蛋”和“大怪路子”游戏的相似性，本环节只研究“掼蛋”游戏中有关牌型出现的概率。
（1） 信息收集
“掼蛋”游戏使用两副牌，共108张，其中大小王各2张，其他牌的数值为A—K，每个数值各4种花色、每种花色各2张。
（2）基本假设
①游戏玩家随机摸牌，各种牌型出现的概率符合古典概型的特点。
②在“掼蛋”游戏中，若牌型M出现的概率P（M）大于牌型N出现的概率P（N），则按照物以稀为贵的常识，概率越小的牌型越“贵”，应规定牌型N比牌型M大。
③将“八同”“七同”“六同”“五同”严格区分开来，比如虽然“AAAAAA”打牌时它能够被拆成“五同AAAAA”和一张单牌A，但是只归入“六同”而不算“五同”。
（3）数学建模
要比较“同花顺”“五同”的概率大小，可以从简单到复杂，先考虑每个玩家发5张牌的情形：P（“同花顺”）=4×10×25C5108，P（“五同”）=13C58C5108，由于两个分数的分母相同，只需比较分子即可，分别为1280和728。根据基本假设，显然这两种牌型的大小排序应该为“五同”>“同花顺”。
考虑每个玩家发6张牌的情况下，比较“同花顺”“五同”“六同”的概率大小。6张牌出现“同花顺”，包括两大类：一类如“红心A2345”+“黑桃4”，恰有5张牌构成“同花顺”;另一类如“红心A23456”，6张同花色的连续单牌。
“红心A2345”+“非红心牌”的组合，有25×82种;“红心A2345”+“红心非6”的组合，有25×14种;“红心A23456”的组合，有26种。
“紅心23456”+“非红心牌”的组合，有25×82种;“红心23456”+“红心非A、7”的组合，有25×12种;“红心234567”的组合，有26种。
……
“红心910JQK”+“非红心牌”的组合，有25×82种;“红心910JQK”+“红心非8、A”的组合，有25×12种;“红心910JQKA”的组合，有26种。
“红心10JQKA”+“非红心牌”的组合，有25×82种;“红心10JQKA”+“红心非9”的组合，有25×14种。
综上所述，6张牌出现“同花顺”的组合种数共有（25×82×10+25×14×2+25×12×8+26×9）×4=481×28。
所以，P（“同花顺”）=481×28C6108，P（“六同”）=13C68C6108，P（“五同”）=13C58×C1100C6108，三个分数的分子分别为123136、364、72800。即使将“六同”算作特殊的“五同”，“五同”的概率也小于“同花顺”。根据基本假设，“同花顺”“五同”两种牌型的大小排序应该为“五同”>“同花顺”。
当每个玩家得到牌的张数增加时，牌型概率的计算复杂度也成几何级数增长。对于“掼蛋”游戏中每个玩家得到27张牌的情况，计算量太大，通过古典概型的概率定义进行理论推导是不太现实的。但从上述简单情形的计算结果分析，可以合理猜想：“同花顺”“五同”两种牌型的大小顺序应该是“五同”>“同花顺”，即“掼蛋”游戏中“五同”“同花顺”牌型大小的规定是不合理的。
最后，教师引导学生对模型进行反思，并对本原性问题的研究结果进行误差分析或补充阐释。
4.交流与反思
在本原性问题驱动下的主题教学中，利用教材中的数学原理，教师即使不能在课堂上完全解决本原性问题，也为学生播撒下思维的种子，激发学生学习的热情。对“掼蛋”游戏中每个玩家得到27张牌时有关牌型概率的研究，已超出了高中数学教学的基本要求，不适合在课堂教学中开展，可以留给有兴趣的学生作为小课题在课后研究。
从“概率”主题的层面来看，比较“掼蛋”游戏中的牌型大小，可以作为概率主题的一个本原性问题。将“掼蛋”游戏中某种牌型出现的概率作为情境，置于“概率论初步”单元的整体中，则可以分别根据对立事件、和事件、独立事件的积事件等知识点设计出相关的问题，从而突破上面介绍的“古典概型”课时创设概率主题的问题情境。在“古典概型”课时中，虽然比较“五同”“同花顺”两种牌型出现概率的大小似乎只是计数问题，但是问题的最终解决需要通过随机模拟来比较（实际是以频率估计概率），这就不是计数原理能处理的，需要站在概率主题整体的层面来考虑。
四、结语
本原性问题驱动下的主题教学设计，关键在于本原性问题的选取，最终指向学生的数学核心素养的培育。在教学中，我们得到以下启示。
一是概率论源于“分赌金”问题的研究，其数学模型也是古典概型，与本文利用古典概型的概率定义、计算“‘掼蛋’游戏中牌型出现的概率”是类似的。从数学发展的历史这个角度来看，比较“掼蛋”游戏中的牌型大小，可以看成概率论研究的一个本原性问题。
二是概率主题教学设计在培育学生的数学核心素养方面的价值，主要体现在数学建模和数学运算两大核心素养上。以“古典概型”课时为例，从实际生活中发现并提出数学问题，建立古典概率的模型，让学生学会用数学模型解决实际问题，积累数学研究的经验;利用计数原理，通过适当的分类和分步，计算各种情况的牌型组合数来比较概率大小，借助数学运算得出结论，通过运算促进学生数学思维的发展。
三是选取中学数学中合适的本原性问题，以数学主题内容为主线，以“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”为路径创设问题情境，润物细无声地培育学生的数学核心素养，这就是本原性问题驱动下的主题教学设计的旨归。
参考文献：
[1]曹广福，张蜀青.问题驱动的中学数学课堂教学：理论与实践卷[M].北京：清华大学出版社，2018.
[2]章建跃.发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）：1-6.
[3]袁震东.高级中学课本：数学高三年级（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2008.
（责任编辑：陆顺演）