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（浙江省余姚市实验学校）
《确定位置》是新课标人教版小学数学六年级上册的内容。在此之前，学生在一年级下册已经学会了在具体的情境中，根据行、列确定物体的位置，并通过四年级下册位置与方向的学习进一步认识了在平面内可以通过两个条件确定物体的位置。本课内容是在此基础上，让学生学习用数对表示具体情境中物体的位置或在方格纸上用数对确定位置，从而帮助学生理解数对在确定位置中的作用，进一步提升学生的已有经验，培养学生的空间观念。
在教研组老师们的帮助和探讨下，我经历了几次教学过程的磨合，对这节课的思路逐渐清晰起来，终于明白了什么是这个教学内容的数学本质，提升学生的哪些数学思维，以下就是我针对上述思考和几次磨课后形成的教学过程中的几个片段：
片段一：交流比较，探究数对方法
师：（在明确了列和行的顺序之后）谁愿意用这样的方法说说自己所在的位置？
生答。
师：老师写字的速度跟不上大家说的速度，你们能不能想一个方法既能明确地表示位置，又能写得简单一些。把你们的想法记录下来。
生1是画表格呈现位置的，他简单介绍了自己的方法。
生2：表格能让人很快找到每个同学的座位，但是画表格的过程很麻烦。
生3：如果是个很大的教室，有1000行1000列，难道还要画很多格子吗？而且画完表格以后，找具体位置也很困难。我是用文字直接表示“第3列第4行”，这样简单。另外，第、列、行这几个字大家都有，可以不写，直接写34就行了，表示第3列第4行。
生4：34的写法会让人误解是三十四，我是这样表示的3、4。
生5：我和生4的表示方法差不多，用3、4表示第3列第4行。
生6：为了和其他同学的座位分开，我又加了小括号，（3*4）。
……
师：你们觉得大家的表示方法怎么样？
生：越来越简单明确了。
师：后面几个同学的表示方法有什么共同的特点？
生1：都是由两个数表示一个同学的位置。
生2：这些表示方法，第一个数都表示列，第二个数都表示行。
生3：后面的几种表示法其实都差不多，都是用不同的符号把3和4分开。
师：我们班同学太了不起了，你们的想法和数学家的想法不谋而合，只不过形式有点不一样。数学上是这样表示的，[教师举例，板书如（3，4）]，谁看懂了，给大家介绍一下。
生：把表示第几列的数写在前面，中间用逗号隔开，再把表示第几行的数写在后面，最后用括号将这两个数括起来。
师：这样就确定了一个同学所在的位置，大家刚才发现这个位置用了两个数表示，也可以说是一对数表示，我们就给这一对数起个名字叫数对。
课堂交流的过程是一个探究表示位置方法的过程，让学生感觉自己像数学家一样亲身经历数对的产生过程，激发起强烈的求知欲望；同时，这也是一个蕴含符号化的过程，学生由图形到文字，最后形成一个数学的符号，在讨论中分析、比较得到“数对”方法。在这个过程中，我及时抓住学生中动态生成的信息，归纳内化，上升到数学层面认识确定位置的方法，这正是我设计这一环节的目的。
片段二：数形结合，发现数对规律
师：（课件出示教室的座位图，继而演变成方格图）谁愿意用数对的形式说一说你的位置，再到方格图中找出来，具体说明你是怎么找到的。
学生活动。
教师有意选择了座位用数对表示是（2，3）和（3，2）的两位同学介绍自己在方格纸上的位置。
生1：老师，我发现这两个同学的位置用数对表示都有2和3两个数。
生2：但是生1的2在前面，生2的2在后面，一个表示列，一个表示行，所以位置也不同。
生3：两个数因为前后位置不同，数对表示的位置也不同。
师：这个发现很有意义，说明数对中前后两个数的意义是不同的，不能颠倒。刚才每个同学都写了表示自己位置的数对，有没有哪个同学的数对是一样的？
生4：没有，每个人都只有唯一的数对。
生5：一个位置能用一个数对表示，一个数对确定一个位置，位置与数对应该是一一对应的。
师：说得真透彻。现在，我很想和一个同学交朋友，他的位置用数对表示其中有一个数是2。
生6：只知道1个数，不能确定是谁，在第2列或第2行的同学都有可能。
生7：确定一个同学的位置必须要知道两个数。
师：你的发现正说明了数对中两个数自身的特点。找了自己的位置，谁愿意帮别人在方格图中找位置？
跳跃性地选择了同一列的部分学生报自己的位置，一名学生在电脑中点击他们的位置。
师：你怎么找得这么快？（引导学生观察同一列的几个数对的特点。）
生8：这几个数对前一个数没变，说明在同一列上。
请相关学生站起来，实际验证他们在同一列上。
生9：同一列有这样的特点，同一行也有这样的特点。同一行的位置，用数对表示，它们的第二个数都是相同的（实际验证）。
师：能不能用一个数对概括每条线上的所有的位置？
学生讨论得出，可以用（x，5）表示第5行同学的位置，用（2，y）表示在第2列同学的位置。
师：我这儿还有一组数对（1，1）（2，2）……你猜这组数对能让哪些同学站起来。
生答。
师：那这组数又有什么特点？
生10：列和行表示的数是相同的。
师：现在你们对数对有什么新的认识？
学生积极交流。
在学生对数对方法有一定感性认识的基础上，我将实际的教室座位抽象成座位图，再抽象成方格图，引导学生观察如何在方格纸上找自己的位置，教学素材的逐步抽象，很好地渗透平面直角坐标系的知识，使学生的思维不断得到提升，同时也让学生感受到数对是实实在在地解决自己的问题的。为了进一步探究“数对”中的规律，我组织学生观察数对，并结合方格图的位置，发现数对中前后两个数的意义是不同的，不能颠倒。再通过自己的观察、同伴的交流共同发现“同列的数对中第1个数相同，同行的数對中第2个数相同，对角线上表示数对的两个数是相同的”等规律。通过只告诉一个数，不能确定老师想交的朋友是谁的讨论，更明确了数对必须是两个数，而且缺一不可。数形的结合，使学生在浓浓的探究氛围中愉快地深化了对“数对”的认识，突破了教学重难点。 经历了这样一次教研活动，带给我的不仅仅是这一节课成功的喜悦，也让我更深刻地感悟到课堂教学的真谛。
一、源——最核心的教学能力是恰当把握教材
钻研教材是教师不断地用自己对数学教学的理解去思考编者编写意图的过程。恰当地把握教材，首先要从宏观上把握教材，为什么要学—怎么学—有什么用。通过反复研读教材，我渐渐明晰了这条线，即：数对的表示方法既明确又简洁——学生需要亲身经历数对的表示方法和发现其特征——数对在生活中有广泛应用。由于笛卡尔开创了《解析几何》，使得几何和代数形成了一个整体，也使几何学习和代数学习结合在一起，产生了数形结合的思想。案例中借助教室座位、动物园平面图、棋盘以及地球上用经线和纬线确定位置等这些熟悉的生活素材，重组学习内容，唤起学生的生活经验，沟通数和形之间的联系，丰富学生的数学思维，这样的数学课程才能有益于学生理解数学、热爱数学。
张奠宙先生曾指出，要激发学生火热的思考就在于凸显思维网络的“结点”，即帮助学生揭示数学的内在联结。因此，我几度修改了课件中方格图的出示效果，最终确定在雅戈尔动物园的平面图上覆盖方格，巧妙地展示自原点起建立列和行的过程；再通过用数对表示的两种不同方格图的比较，沟通了知识间的连接点，加深对数对本质的理解；利用三角形在方格图中平移前后相应点位置的改变，进一步为学生今后学习平面直角坐标系埋下了伏笔。数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，其本身具有非常严密的内在联系，我们不仅要让学生理解概念的内涵，更要让学生了解概念的外延，只有从不同的角度解读教材，深入挖掘教材的本质，才能使每一个环节在课堂上发挥其最大的效益。
二、本——最有效的教学方法是参与探究过程
知识的学习不是简单的“搭积木”的过程，而是一个生态式“孕育”的过程，面对有针对性的问题，引导学生进行仔细的观察、提供充分的思考、展开热烈的交流，经历这一结论得出的过程比告诉学生结论更重要。学生对座位的不同表示形式是一种层次丰富的教学资源，表格式的直观思维，数对式的简洁思维，正适合不同水平学生的感悟与理解，这种差异也正是资源的生命，学生在不同见解的相互碰撞中产生创新的思想火花，有助于学生理解数对。
好的教学并非是教师把内容解释清楚、阐述明白就够了，而是需要创设有利于学生发现、理解、感悟数学思想方法的问题情境，努力将“静态”的知识赋予“生命”，还原成“过程”。课堂上，我充分尊重学生已有的认知经验，顺着学生的思维特点，不断追问“有没有哪两个同学的数对是一样的？”“你怎么找得这么快？”“能不能用一個数对概括每条线上的所有位置？”等具有方向性、探究性的问题，把解决问题的主动权交还给学生，学生认知能力的发展也势必经历一个由认知平衡到不平衡，再到新的平衡这样不断往复上升的过程，每次产生的认知冲突，都是促进他们进行新的学习与发展的动力。学生在相互的启发下完善了数对的表示方法，在合作探究中加深了对数对意义的理解，在解决实际问题中丰富了数对知识的体验，鼓励学生通过活动，进行各种观点之间真诚的交锋，只有当学生通过思考、体验、实践和交流建立起自己的数学理解能力时，才能建构属于他们自己的知识结构，获得富有成效的学习体验。
三、真——最智慧的课堂教学是提升数学思维
新课程提倡“用儿童的眼睛去观察，用儿童的心灵去体验，用儿童的方式去研究”。在发现“数对规律”这一环节中，我由浅入深地组织学生对问题进行了充分的挖掘和交流，使课堂变得简约却富有意蕴。第一层次，用数对表示座位是教学目标中基本要求达成的；第二层次，引导学生观察同一行、同一列、对角线的数对的特征，加深数对表示方法和意义的理解；第三层次，用一数对概括每条线上的这些位置，比如（x，5）、（2，y）等，进一步增强学生观察能力、概括能力和函数思想等的渗透。这样层层逼近，帮助学生更好地参与学习与研究，获得广泛的数学活动体验，更有效地发展数学思考方法和解决问题的能力。
在磨课的过程中，我思考着，我收获着。课堂教学是一门遗憾的艺术，每次上完一节课，都会在某些地方有所进步，同时也会有遗憾。磨课之后，不管课上得如何，总是能得到收获和积累，教师就是这样在一次次磨炼中成熟起来，逐渐增强教学能力，逐步促进自己专业化成长的。
编辑 郭小琴
《确定位置》是新课标人教版小学数学六年级上册的内容。在此之前，学生在一年级下册已经学会了在具体的情境中，根据行、列确定物体的位置，并通过四年级下册位置与方向的学习进一步认识了在平面内可以通过两个条件确定物体的位置。本课内容是在此基础上，让学生学习用数对表示具体情境中物体的位置或在方格纸上用数对确定位置，从而帮助学生理解数对在确定位置中的作用，进一步提升学生的已有经验，培养学生的空间观念。
在教研组老师们的帮助和探讨下，我经历了几次教学过程的磨合，对这节课的思路逐渐清晰起来，终于明白了什么是这个教学内容的数学本质，提升学生的哪些数学思维，以下就是我针对上述思考和几次磨课后形成的教学过程中的几个片段：
片段一：交流比较，探究数对方法
师：（在明确了列和行的顺序之后）谁愿意用这样的方法说说自己所在的位置？
生答。
师：老师写字的速度跟不上大家说的速度，你们能不能想一个方法既能明确地表示位置，又能写得简单一些。把你们的想法记录下来。
生1是画表格呈现位置的，他简单介绍了自己的方法。
生2：表格能让人很快找到每个同学的座位，但是画表格的过程很麻烦。
生3：如果是个很大的教室，有1000行1000列，难道还要画很多格子吗？而且画完表格以后，找具体位置也很困难。我是用文字直接表示“第3列第4行”，这样简单。另外，第、列、行这几个字大家都有，可以不写，直接写34就行了，表示第3列第4行。
生4：34的写法会让人误解是三十四，我是这样表示的3、4。
生5：我和生4的表示方法差不多，用3、4表示第3列第4行。
生6：为了和其他同学的座位分开，我又加了小括号，（3*4）。
……
师：你们觉得大家的表示方法怎么样？
生：越来越简单明确了。
师：后面几个同学的表示方法有什么共同的特点？
生1：都是由两个数表示一个同学的位置。
生2：这些表示方法，第一个数都表示列，第二个数都表示行。
生3：后面的几种表示法其实都差不多，都是用不同的符号把3和4分开。
师：我们班同学太了不起了，你们的想法和数学家的想法不谋而合，只不过形式有点不一样。数学上是这样表示的，[教师举例，板书如（3，4）]，谁看懂了，给大家介绍一下。
生：把表示第几列的数写在前面，中间用逗号隔开，再把表示第几行的数写在后面，最后用括号将这两个数括起来。
师：这样就确定了一个同学所在的位置，大家刚才发现这个位置用了两个数表示，也可以说是一对数表示，我们就给这一对数起个名字叫数对。
课堂交流的过程是一个探究表示位置方法的过程，让学生感觉自己像数学家一样亲身经历数对的产生过程，激发起强烈的求知欲望；同时，这也是一个蕴含符号化的过程，学生由图形到文字，最后形成一个数学的符号，在讨论中分析、比较得到“数对”方法。在这个过程中，我及时抓住学生中动态生成的信息，归纳内化，上升到数学层面认识确定位置的方法，这正是我设计这一环节的目的。
片段二：数形结合，发现数对规律
师：（课件出示教室的座位图，继而演变成方格图）谁愿意用数对的形式说一说你的位置，再到方格图中找出来，具体说明你是怎么找到的。
学生活动。
教师有意选择了座位用数对表示是（2，3）和（3，2）的两位同学介绍自己在方格纸上的位置。
生1：老师，我发现这两个同学的位置用数对表示都有2和3两个数。
生2：但是生1的2在前面，生2的2在后面，一个表示列，一个表示行，所以位置也不同。
生3：两个数因为前后位置不同，数对表示的位置也不同。
师：这个发现很有意义，说明数对中前后两个数的意义是不同的，不能颠倒。刚才每个同学都写了表示自己位置的数对，有没有哪个同学的数对是一样的？
生4：没有，每个人都只有唯一的数对。
生5：一个位置能用一个数对表示，一个数对确定一个位置，位置与数对应该是一一对应的。
师：说得真透彻。现在，我很想和一个同学交朋友，他的位置用数对表示其中有一个数是2。
生6：只知道1个数，不能确定是谁，在第2列或第2行的同学都有可能。
生7：确定一个同学的位置必须要知道两个数。
师：你的发现正说明了数对中两个数自身的特点。找了自己的位置，谁愿意帮别人在方格图中找位置？
跳跃性地选择了同一列的部分学生报自己的位置，一名学生在电脑中点击他们的位置。
师：你怎么找得这么快？（引导学生观察同一列的几个数对的特点。）
生8：这几个数对前一个数没变，说明在同一列上。
请相关学生站起来，实际验证他们在同一列上。
生9：同一列有这样的特点，同一行也有这样的特点。同一行的位置，用数对表示，它们的第二个数都是相同的（实际验证）。
师：能不能用一个数对概括每条线上的所有的位置？
学生讨论得出，可以用（x，5）表示第5行同学的位置，用（2，y）表示在第2列同学的位置。
师：我这儿还有一组数对（1，1）（2，2）……你猜这组数对能让哪些同学站起来。
生答。
师：那这组数又有什么特点？
生10：列和行表示的数是相同的。
师：现在你们对数对有什么新的认识？
学生积极交流。
在学生对数对方法有一定感性认识的基础上，我将实际的教室座位抽象成座位图，再抽象成方格图，引导学生观察如何在方格纸上找自己的位置，教学素材的逐步抽象，很好地渗透平面直角坐标系的知识，使学生的思维不断得到提升，同时也让学生感受到数对是实实在在地解决自己的问题的。为了进一步探究“数对”中的规律，我组织学生观察数对，并结合方格图的位置，发现数对中前后两个数的意义是不同的，不能颠倒。再通过自己的观察、同伴的交流共同发现“同列的数对中第1个数相同，同行的数對中第2个数相同，对角线上表示数对的两个数是相同的”等规律。通过只告诉一个数，不能确定老师想交的朋友是谁的讨论，更明确了数对必须是两个数，而且缺一不可。数形的结合，使学生在浓浓的探究氛围中愉快地深化了对“数对”的认识，突破了教学重难点。 经历了这样一次教研活动，带给我的不仅仅是这一节课成功的喜悦，也让我更深刻地感悟到课堂教学的真谛。
一、源——最核心的教学能力是恰当把握教材
钻研教材是教师不断地用自己对数学教学的理解去思考编者编写意图的过程。恰当地把握教材，首先要从宏观上把握教材，为什么要学—怎么学—有什么用。通过反复研读教材，我渐渐明晰了这条线，即：数对的表示方法既明确又简洁——学生需要亲身经历数对的表示方法和发现其特征——数对在生活中有广泛应用。由于笛卡尔开创了《解析几何》，使得几何和代数形成了一个整体，也使几何学习和代数学习结合在一起，产生了数形结合的思想。案例中借助教室座位、动物园平面图、棋盘以及地球上用经线和纬线确定位置等这些熟悉的生活素材，重组学习内容，唤起学生的生活经验，沟通数和形之间的联系，丰富学生的数学思维，这样的数学课程才能有益于学生理解数学、热爱数学。
张奠宙先生曾指出，要激发学生火热的思考就在于凸显思维网络的“结点”，即帮助学生揭示数学的内在联结。因此，我几度修改了课件中方格图的出示效果，最终确定在雅戈尔动物园的平面图上覆盖方格，巧妙地展示自原点起建立列和行的过程；再通过用数对表示的两种不同方格图的比较，沟通了知识间的连接点，加深对数对本质的理解；利用三角形在方格图中平移前后相应点位置的改变，进一步为学生今后学习平面直角坐标系埋下了伏笔。数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，其本身具有非常严密的内在联系，我们不仅要让学生理解概念的内涵，更要让学生了解概念的外延，只有从不同的角度解读教材，深入挖掘教材的本质，才能使每一个环节在课堂上发挥其最大的效益。
二、本——最有效的教学方法是参与探究过程
知识的学习不是简单的“搭积木”的过程，而是一个生态式“孕育”的过程，面对有针对性的问题，引导学生进行仔细的观察、提供充分的思考、展开热烈的交流，经历这一结论得出的过程比告诉学生结论更重要。学生对座位的不同表示形式是一种层次丰富的教学资源，表格式的直观思维，数对式的简洁思维，正适合不同水平学生的感悟与理解，这种差异也正是资源的生命，学生在不同见解的相互碰撞中产生创新的思想火花，有助于学生理解数对。
好的教学并非是教师把内容解释清楚、阐述明白就够了，而是需要创设有利于学生发现、理解、感悟数学思想方法的问题情境，努力将“静态”的知识赋予“生命”，还原成“过程”。课堂上，我充分尊重学生已有的认知经验，顺着学生的思维特点，不断追问“有没有哪两个同学的数对是一样的？”“你怎么找得这么快？”“能不能用一個数对概括每条线上的所有位置？”等具有方向性、探究性的问题，把解决问题的主动权交还给学生，学生认知能力的发展也势必经历一个由认知平衡到不平衡，再到新的平衡这样不断往复上升的过程，每次产生的认知冲突，都是促进他们进行新的学习与发展的动力。学生在相互的启发下完善了数对的表示方法，在合作探究中加深了对数对意义的理解，在解决实际问题中丰富了数对知识的体验，鼓励学生通过活动，进行各种观点之间真诚的交锋，只有当学生通过思考、体验、实践和交流建立起自己的数学理解能力时，才能建构属于他们自己的知识结构，获得富有成效的学习体验。
三、真——最智慧的课堂教学是提升数学思维
新课程提倡“用儿童的眼睛去观察，用儿童的心灵去体验，用儿童的方式去研究”。在发现“数对规律”这一环节中，我由浅入深地组织学生对问题进行了充分的挖掘和交流，使课堂变得简约却富有意蕴。第一层次，用数对表示座位是教学目标中基本要求达成的；第二层次，引导学生观察同一行、同一列、对角线的数对的特征，加深数对表示方法和意义的理解；第三层次，用一数对概括每条线上的这些位置，比如（x，5）、（2，y）等，进一步增强学生观察能力、概括能力和函数思想等的渗透。这样层层逼近，帮助学生更好地参与学习与研究，获得广泛的数学活动体验，更有效地发展数学思考方法和解决问题的能力。
在磨课的过程中，我思考着，我收获着。课堂教学是一门遗憾的艺术，每次上完一节课，都会在某些地方有所进步，同时也会有遗憾。磨课之后，不管课上得如何，总是能得到收获和积累，教师就是这样在一次次磨炼中成熟起来，逐渐增强教学能力，逐步促进自己专业化成长的。
编辑 郭小琴