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[摘 要] 将师生在课堂中发生的案例或片段进行整合与分析，结合学生数学小论文的操作对课堂生成、呈现、规范进行掌控，及时调整教学策略，能推动数学课堂的精彩生成，在提高课堂效益的同时，更能提高本身思维的宽厚度.
[关键词] 高效课堂；课堂操作；数学小论文
李炳亭先生说：高效课堂是知识的超市，生命的狂欢. 而其必须解决两“率”——课堂精力流失率和提高高效学习率. 的确，要想抓住这两“率”，作为教师的我们就必须满足不同需求的孩子，精心设计好课堂环节，充分调动孩子的各种“学习力”，给予学生足够的思考与创造时间，让其“展示”以促其“内驱力”，进而使其能快乐而高效地学习.
■ 课堂设计：选，问，引，精致化——一石激起千层浪
一堂高效的数学课，源于课堂素材选用得当、有效，课堂例题挖掘充分，点拨精进恰当，数学思想方法渗透扎实到位，使课堂流程设计精致化，课堂设问循序渐进，课堂引导符合学生的最近发展区，从而使学生在课堂上获得最佳发展.
案例1？摇 如图1所示，在矩形ABCD中，AB=24 cm，BC=12 cm，点P以2 cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以1 cm/s的速度从点D开始沿边DA向点A移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（1≤t≤12），那么当t为何值时，△QAP的面积等于32 cm2 ？
以此题为背景，学生经过思考，还设计了以下追问：
（1）t为何值时，点P，Q相距6■ cm？
（2）t为何值时，PQ⊥CP？
（3）是否存在这样的t，使得△QCP的面积等于109 cm2 ？
（4）t为何值时，△QCP为直角三角形？
（5）将题改为：在矩形ABCD中，AB=24 cm，BC=12 cm，点P以2 cm/s的速度从点A开始沿边AB—BC向点C移动，点Q以1 cm/s的速度从点D开始沿边DA向点A移动，到达点A后即刻返回D点，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（1≤t≤18），则t为何值时，PQ=30 cm？
本题涉及很多数学思想方法，如转化思想、化斜为直、分类讨论等，也用到了很多常见模型，如“K字型”证相似等. 学生在自己设计题目的过程中，教师不光要仔细聆听，还要及时加以点拨与引导，使学生能将本图看得更透彻，同时，对于学生反馈的错误，需耐心地剖析，让他们知其然，更知其所以然.
这样高效利用课堂资源，以一图为背景将数字知识、数学本质与数学结论抽丝剥茧式慢慢呈现在学生面前，更有利于学生掌握与获取.
■ 课堂呈现：视、听、触，多样化——操千曲而后晓声
心理学实验材料表明：“人对信息的接受，味觉占1%，触觉占1.5%，嗅觉占3.5%，听觉占11%，视觉占83%，其中视听两项合计达94%. 而人对信息的记忆保存，仅靠视觉为25%，仅靠听觉为15%，视听结合可达65%. ”
这个实验材料告诉我们，课堂教学如果只是局限于听讲，而不注重调动其他感觉器官的话，课堂效果是无法达到最佳的.
以前教师上数学课喜欢用小黑板，不仅可以增加课堂容量，还可以用不同颜色的粉笔对例题进行圈点作标记，便于学生剖析例题，理解与分析问题. 这样的教学呈现是将学生的听觉与视觉相结合，在加深记忆的同时，也有学生自己的新认识与生成.
然而，自从有了多媒体之后，数学课堂的呈现方式也变得异常热闹，如几何画板呈现动态的生成过程，PPT课件的导入，使原本只是数字与字母、图形构成的数学课堂，变得相当色彩鲜艳，容量大增，故高效的数学课堂是以呈现方式为手段，以一个问题为发散点，使学生与教师的思维同步，将学生的思维错误作为生成的资源纳入课堂，通过讲、演、问、说、探等方式、方法使学生的知识得以强化，思想得以升华，能力得以提升.
我们利用多媒体上课时，可以调动学生的多种感觉器官，集中学生的注意力，在确保学生主动积极接受知识的同时，更扩大课堂容量，让学生在课堂上学有所得，学有所乐，进而减轻学生课外的学业负担. 利用多样化的呈现方式，也可以促进学生学习习惯的养成、思维能力的提升，进而更好地提高课堂效率.
案例2？摇 如图2所示，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角∠NMQ为60°，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与点M重合. 现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN，NP，PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与点Q重合为止.
■
（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN，NP，PQ所围成图形的面积S.
本题的讲解，利用几何画板展示正方形的滚动情况，让学生观察点A在滚动中位置的确定，并点好相应位置，再画出弧线，表面看来，学生对信息的接受效果很好，纷纷表示懂了，但让自己画画试试看时，发现会画的学生没几人，也就是说，光看动画演示没法让学生真正掌握，所以，我要求学生自制一个小正方形，标好顶点A，并在图3中标示出点A每次滚动后的位置，让学生思考点A形成的路径是什么形状，要画出这个形状，我们要找到哪些关系的量？经过点拨、操作与思考，大部分学生画出了正确图形（如图4），相信他们也真正掌握了此类滚动类考题的基本方法技巧，而这个是几何画板所无法给予的.
■
■
■ 课堂生成：题，法，文，多元化—— 一花独放不是春
精彩的课堂能激发学生的潜力，让学生乐在其中，提高效益，生成能力. 简约而质朴的课堂设计能让学生发现问题、思考问题，最后，把各种“问号”转化为“句号”或“叹号”. 扎实有效的课堂，鼓励学生思维有张有弛，双边互动，让师生在头脑风暴式的相互追问下，将课堂在不停的预设中构成新的生成. 课堂的智慧、高潮、价值尽在“不可预设”的“现场生成”上，一切的预设应服务于“现场”，而不是让“现场”服务于预设. 笔者对“学生讲题”及“学生小论文”进行了研究与尝试. 如课前五分钟学生讲题，如课中的精彩一刻等形式，学生会自己选出一个自己想讲的题，为大家进行讲解和分析，这样的课堂由于有学生的高度参与而显得格外充满生机与活力. 案例3？摇 学生讲题——不可取的“瘦身”
九年级（3）班 吴 洁
今天考卷上做了一题，是关于一元二次方程的，原来我沾沾自喜，想着马上就会有一个大大的勾了，可不料，老师打了一个叉.
怎么会？我错哪儿了？于是我认真地检查了一下.
原题——证明：无论a取何值，关于x的一元二次方程x2-（2a-3）x a-3=0有两个不相等的实数根.
原解：x2-（2a-3）x a-3=0，因为Δ=（2a-3）2-4×1×（a-3）=4a2-16a 21=a2-4a ■=（a-2）2 ■>0，且抛物线开口向上，所以无论a取何值，一元二次方程x2-（2a-3）x a-3=0都有两个不相等的实数根.
我左看右看，终于发现了问题，我为这个方程“瘦了身”，使它整整缩小了4倍，意识到这个问题，我幡然醒悟.
总结：在代数式中，千万不能给代数式“瘦身”，一定要把系数提出来.
正解：x2-（2a-3）x a-3=0，因为Δ=（2a-3）2-4×1×（a-3）=4a2-16a 21=4（a2-4a 4） 5=4（a-2）2 5>0，且抛物线开口向上，所以无论a取何值，一元二次方程x2-（2a-3）x a-3=0都有两个不相等的实数根.
为了更好地记住这个错误，我反思一定要把系数提出来吗？可是我们已经习惯了将二次项系数化为1了呀，毕竟这样可以化繁为简. 若一定要化系数为1，就必须等式的左、右两边同时进行，那若真把它当成等式来做，可以吗？于是我又做了如下尝试：
因为Δ=（2a-3）2-4×1×（a-3）=4a2-16a 21，所以■=a2-4a ■.？摇
■=a2-4a 4 ■=（a-2）2 ■，即Δ=4（a-2）2 5.
这样操作居然成功了，我相信，以后再遇到这样的问题，我再也不会做错了.
教师点评：适合学生的方法才是最好的方法，相信这个学生得到的方法，是在学生易错点处的点拨，这样的处理方法符合学生的认知水平，也符合学生的解题思维，是有效学习的结果.
有效的教学活动是学生“学”与教师“教”的统一，学生是学习的主体. 是的，真正的有效是学生发自内心深处的想要学数学、解决数学问题. 让学生上讲台解数学题目、写数学小论文，而教师在旁聆听，关注课堂的新生成，能在了解学生思维的同时，为以后的教学起到提示与扩充的作用，这样不光能以“误”唤起百转思，更能以“讲”激起千层浪.
第斯多惠说：“教学的艺术，不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞. ”我想，一个高效的课堂必将是一个揪住知识点“无限”放大，调动学生全身心投入，并在不断思考中、教师的追问下、自己的实践反思下，不断完善自己，进而实现自己最优化发展的课堂.
[关键词] 高效课堂；课堂操作；数学小论文
李炳亭先生说：高效课堂是知识的超市，生命的狂欢. 而其必须解决两“率”——课堂精力流失率和提高高效学习率. 的确，要想抓住这两“率”，作为教师的我们就必须满足不同需求的孩子，精心设计好课堂环节，充分调动孩子的各种“学习力”，给予学生足够的思考与创造时间，让其“展示”以促其“内驱力”，进而使其能快乐而高效地学习.
■ 课堂设计：选，问，引，精致化——一石激起千层浪
一堂高效的数学课，源于课堂素材选用得当、有效，课堂例题挖掘充分，点拨精进恰当，数学思想方法渗透扎实到位，使课堂流程设计精致化，课堂设问循序渐进，课堂引导符合学生的最近发展区，从而使学生在课堂上获得最佳发展.
案例1？摇 如图1所示，在矩形ABCD中，AB=24 cm，BC=12 cm，点P以2 cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以1 cm/s的速度从点D开始沿边DA向点A移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（1≤t≤12），那么当t为何值时，△QAP的面积等于32 cm2 ？
以此题为背景，学生经过思考，还设计了以下追问：
（1）t为何值时，点P，Q相距6■ cm？
（2）t为何值时，PQ⊥CP？
（3）是否存在这样的t，使得△QCP的面积等于109 cm2 ？
（4）t为何值时，△QCP为直角三角形？
（5）将题改为：在矩形ABCD中，AB=24 cm，BC=12 cm，点P以2 cm/s的速度从点A开始沿边AB—BC向点C移动，点Q以1 cm/s的速度从点D开始沿边DA向点A移动，到达点A后即刻返回D点，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（1≤t≤18），则t为何值时，PQ=30 cm？
本题涉及很多数学思想方法，如转化思想、化斜为直、分类讨论等，也用到了很多常见模型，如“K字型”证相似等. 学生在自己设计题目的过程中，教师不光要仔细聆听，还要及时加以点拨与引导，使学生能将本图看得更透彻，同时，对于学生反馈的错误，需耐心地剖析，让他们知其然，更知其所以然.
这样高效利用课堂资源，以一图为背景将数字知识、数学本质与数学结论抽丝剥茧式慢慢呈现在学生面前，更有利于学生掌握与获取.
■ 课堂呈现：视、听、触，多样化——操千曲而后晓声
心理学实验材料表明：“人对信息的接受，味觉占1%，触觉占1.5%，嗅觉占3.5%，听觉占11%，视觉占83%，其中视听两项合计达94%. 而人对信息的记忆保存，仅靠视觉为25%，仅靠听觉为15%，视听结合可达65%. ”
这个实验材料告诉我们，课堂教学如果只是局限于听讲，而不注重调动其他感觉器官的话，课堂效果是无法达到最佳的.
以前教师上数学课喜欢用小黑板，不仅可以增加课堂容量，还可以用不同颜色的粉笔对例题进行圈点作标记，便于学生剖析例题，理解与分析问题. 这样的教学呈现是将学生的听觉与视觉相结合，在加深记忆的同时，也有学生自己的新认识与生成.
然而，自从有了多媒体之后，数学课堂的呈现方式也变得异常热闹，如几何画板呈现动态的生成过程，PPT课件的导入，使原本只是数字与字母、图形构成的数学课堂，变得相当色彩鲜艳，容量大增，故高效的数学课堂是以呈现方式为手段，以一个问题为发散点，使学生与教师的思维同步，将学生的思维错误作为生成的资源纳入课堂，通过讲、演、问、说、探等方式、方法使学生的知识得以强化，思想得以升华，能力得以提升.
我们利用多媒体上课时，可以调动学生的多种感觉器官，集中学生的注意力，在确保学生主动积极接受知识的同时，更扩大课堂容量，让学生在课堂上学有所得，学有所乐，进而减轻学生课外的学业负担. 利用多样化的呈现方式，也可以促进学生学习习惯的养成、思维能力的提升，进而更好地提高课堂效率.
案例2？摇 如图2所示，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角∠NMQ为60°，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与点M重合. 现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN，NP，PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与点Q重合为止.
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（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN，NP，PQ所围成图形的面积S.
本题的讲解，利用几何画板展示正方形的滚动情况，让学生观察点A在滚动中位置的确定，并点好相应位置，再画出弧线，表面看来，学生对信息的接受效果很好，纷纷表示懂了，但让自己画画试试看时，发现会画的学生没几人，也就是说，光看动画演示没法让学生真正掌握，所以，我要求学生自制一个小正方形，标好顶点A，并在图3中标示出点A每次滚动后的位置，让学生思考点A形成的路径是什么形状，要画出这个形状，我们要找到哪些关系的量？经过点拨、操作与思考，大部分学生画出了正确图形（如图4），相信他们也真正掌握了此类滚动类考题的基本方法技巧，而这个是几何画板所无法给予的.
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■ 课堂生成：题，法，文，多元化—— 一花独放不是春
精彩的课堂能激发学生的潜力，让学生乐在其中，提高效益，生成能力. 简约而质朴的课堂设计能让学生发现问题、思考问题，最后，把各种“问号”转化为“句号”或“叹号”. 扎实有效的课堂，鼓励学生思维有张有弛，双边互动，让师生在头脑风暴式的相互追问下，将课堂在不停的预设中构成新的生成. 课堂的智慧、高潮、价值尽在“不可预设”的“现场生成”上，一切的预设应服务于“现场”，而不是让“现场”服务于预设. 笔者对“学生讲题”及“学生小论文”进行了研究与尝试. 如课前五分钟学生讲题，如课中的精彩一刻等形式，学生会自己选出一个自己想讲的题，为大家进行讲解和分析，这样的课堂由于有学生的高度参与而显得格外充满生机与活力. 案例3？摇 学生讲题——不可取的“瘦身”
九年级（3）班 吴 洁
今天考卷上做了一题，是关于一元二次方程的，原来我沾沾自喜，想着马上就会有一个大大的勾了，可不料，老师打了一个叉.
怎么会？我错哪儿了？于是我认真地检查了一下.
原题——证明：无论a取何值，关于x的一元二次方程x2-（2a-3）x a-3=0有两个不相等的实数根.
原解：x2-（2a-3）x a-3=0，因为Δ=（2a-3）2-4×1×（a-3）=4a2-16a 21=a2-4a ■=（a-2）2 ■>0，且抛物线开口向上，所以无论a取何值，一元二次方程x2-（2a-3）x a-3=0都有两个不相等的实数根.
我左看右看，终于发现了问题，我为这个方程“瘦了身”，使它整整缩小了4倍，意识到这个问题，我幡然醒悟.
总结：在代数式中，千万不能给代数式“瘦身”，一定要把系数提出来.
正解：x2-（2a-3）x a-3=0，因为Δ=（2a-3）2-4×1×（a-3）=4a2-16a 21=4（a2-4a 4） 5=4（a-2）2 5>0，且抛物线开口向上，所以无论a取何值，一元二次方程x2-（2a-3）x a-3=0都有两个不相等的实数根.
为了更好地记住这个错误，我反思一定要把系数提出来吗？可是我们已经习惯了将二次项系数化为1了呀，毕竟这样可以化繁为简. 若一定要化系数为1，就必须等式的左、右两边同时进行，那若真把它当成等式来做，可以吗？于是我又做了如下尝试：
因为Δ=（2a-3）2-4×1×（a-3）=4a2-16a 21，所以■=a2-4a ■.？摇
■=a2-4a 4 ■=（a-2）2 ■，即Δ=4（a-2）2 5.
这样操作居然成功了，我相信，以后再遇到这样的问题，我再也不会做错了.
教师点评：适合学生的方法才是最好的方法，相信这个学生得到的方法，是在学生易错点处的点拨，这样的处理方法符合学生的认知水平，也符合学生的解题思维，是有效学习的结果.
有效的教学活动是学生“学”与教师“教”的统一，学生是学习的主体. 是的，真正的有效是学生发自内心深处的想要学数学、解决数学问题. 让学生上讲台解数学题目、写数学小论文，而教师在旁聆听，关注课堂的新生成，能在了解学生思维的同时，为以后的教学起到提示与扩充的作用，这样不光能以“误”唤起百转思，更能以“讲”激起千层浪.
第斯多惠说：“教学的艺术，不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞. ”我想，一个高效的课堂必将是一个揪住知识点“无限”放大，调动学生全身心投入，并在不断思考中、教师的追问下、自己的实践反思下，不断完善自己，进而实现自己最优化发展的课堂.