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摘要：基于小组合作学习的高三数学一轮复习模式，参考“学习金字塔”理论，主要包括“知识梳理”与“方法提炼”两个板块，既重视学生基础的夯实，也重视学生能力的提高;每一个板块都体现了“自主学习→合作学习→自主学习”的循环，使学生主动参与、充分参与，更好地体验学習的过程，内化知识与方法，增强思考、操作、表达、交流等各种学习能力。
关键词：小组合作学习高三数学一轮复习教学模式
苏霍姆林斯基说过：“让学生通过自己的努力去理解的东西，才能成为他自己的东西，才是他真正掌握的东西。”《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出：“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。”教师必须从传统的“包办代替”中走出来，摒弃“注入式”“满堂灌”的教法，用自己的教学行为指引和促进学生的学习行为，让学生真正成为学习的主人。而教学模式是教学方法的可操作范式，可以较好地减少教学的随意性。
因此，针对传统的高三数学一轮复习教学导致的学生“一听就懂，一做就错”（“懂而不会”）的现象，为了更好地帮助学生梳理所学的基础知识、基本技能和基本思想、基本经验，将它们构成系统的网络，达成知识的有效存储、提取和迁移、应用，笔者设计和实施了基于小组合作学习的高三数学一轮复习模式。下面，以《椭圆的复习（一）》一课为例，谈谈相关的实践与思考。
一、小组合作学习模式的提出
美国学者爱德加·戴尔（Edgar Dale）提出了“学习金字塔”（Cone of Learning）理论，指出：在初次学习两周后，阅读能够记住学习内容的10%，聆听能够记住学习内容的20%，看图片能够记住学习内容的30%，看影像、看展览、看演示、现场观摩等能够记住学习内容的50%，参与讨论、发言能够记住学习内容的70%，做报告、给别人讲、亲身体验、动手做等能够记住学习内容的90%。概括来说，学习效果在30%以下的几种方式都是个人学习或被动学习，而学习效果在50%以上的几种方式是团队学习、主动学习和参与式学习。
小组合作学习模式，即将班级分成若干个“同组异质”“异组同质”的学习小组，通过一定的检测方法，促使学生在小组互动中自学思考、互学研讨、展学完善、巩固提升，激发学习兴趣，提高参与程度，实现对知识的建构和生成。“同组异质”能够保证组内不同层次学生之间的相互帮扶，确保每一个学生都不掉队;“异组同质”能够保证不同组之间的相互补充和质疑，确保知识的拓展和延伸。
二、基于小组合作学习的高三数学一轮复习模式的解读
这个模式主要包括“知识梳理”与“方法提炼”两个板块，既重视学生基础的夯实，也重视学生能力的提高;每一个板块都体现了“自主学习→合作学习→自主学习”的循环，使学生主动参与、充分参与，更好地体验学习的过程，内化知识与方法，增强思考、操作、表达、交流等各种学习能力。整个模式中，只有“方法提炼”板块的“教师认定”环节需要教师做比较多的讲解（总结）;其他环节，教师的主要任务只是观察、巡视、督促、调控、指导、点拨，充分地了解学生的学习情况，以便进行针对性的教学。具体板块与环节如下：
（一）板块一：前置练习与梳理
环节1：自主练习、梳理。
课前让学生通过做四五道难度适中、针对性强的题目（用规范的草稿纸打草稿），翻阅教材，梳理相应章节的知识点。
《椭圆的复习（一）》一课，课前的练习题目和梳理提示如下：
（1） 已知椭圆x225+y29=1上一点P到左焦点的距离为3，则点P到右焦点的距离为，点P到右准线的距离为。
（2） 已知椭圆x225+y29=1上一点P的横坐标为x0，则点P到左焦点F1的距离为，点P到右焦点F2的距离为。若点P在椭圆上运动，则点P到左焦点F1的距离最大为，点P到左焦点F1的距离最小为。延长PF1交椭圆于点M，则△PF2M的周长为。
（3） 若椭圆的两个焦点为F1（2，0）和F2（-2，0），且椭圆过点P52，-32，则椭圆的方程为。
（4） 如果方程x2+ky2=2表示椭圆，那么实数k的取值范围是。若该椭圆的离心率为12，则实数k=。
（5） 提示：从定义（两个定义的三种表达形式）、标准方程、图像、几何性质（范围、对称轴、对称中心、顶点、长轴长、短轴长、焦点坐标、焦距、焦半径、通径、焦点三角形、离心率、准线方程）等方面梳理知识点（最好列成表格形式）。
[设计意图：课前的独立学习，让学生找到自己的薄弱点与欠缺之处。]
环节2：组内互查、交流。
课前让学生小组互查（可教师批阅后学生互查，也可学生互查后教师批阅）、交流做错的与不理解的题目和知识点，探讨错误的原因，补充遗漏的知识点，并分析易错点、重难点;然后，以一个学生（记录员）的讲义为基础，整合出一份比较完善的知识点总结（用红笔修改、补充）。
[设计意图：课前的组内合作学习，旨在提高学生的表达能力，让会的学生清晰、简洁地表达自己的想法、解题思路与方法，让不会的学生能够感受到其他同学是怎么想的、为什么可以这么想、为什么自己没有想到。在交流中，学生还会触发还可以怎么想、哪种方法更优、何时采用何种方法更好等思考;同时，纠正错误，了解欠缺，相互补充，取长补短，共同提高。]
环节3：小组展示。
课上通过抽签，让一个小组（派一个代表）投影展示课前完成的题目与梳理的知识点;对于做错的题目，投影草稿纸，讲解做错的原因。同时让其他小组的学生边看边在自己的讲义中（记录员在小组的讲义中），标注更好的做法，添加没有写到的知识点（包括图表形式、编号形式等，可使列举的知识点更简洁明了、醒目清晰）。
[设计意图：一方面，督促前两个环节的落实，为后一个环节做铺垫;另一方面，了解学生做错的原因以及知识上的漏洞。] 环节4：组间完善。
让其他小组的学生对展示小组的讲义做修改、补充（抢答）。同时，也让其他小组的学生边听边在自己的讲义中（记录员在小组的讲义中）做修改、补充（可以简单明了地记录）。
[设计意图：和前一个环节合成完整的课堂组间合作学习，实现大范围的互动交流，让每一个学生都能参与，构建系统、完整的知识网络。]
环节5：再次梳理。
让学生再次梳理知识点，整理完善（最好用框图等比较形象的形式，晚自习后交）。
[设计意图：回到独立学习，让学生内化、整合之前的学习成果，同时为后面的二轮复习提供可以借鉴、参考的宝贵材料。]
（二）板块二：课堂解题与提炼
环节1：自主解答、提炼。
以题组形式出示一类问题，让学生写出详细的解答过程（用规范草稿纸）。解题时，让学生思考可以用什么方法求解出来，如何用简洁、准确、流畅的语言表达出来;解完后，让学生根据刚才的解题，提炼这一类问题的求解方法（用文字简明、扼要地写下来，前面写方法，后面写对应的题号）。
《椭圆的复习（一）》一课，课上出示的题组是四道求椭圆离心率的问题[后面两节同主题的复习课准备的题组分别是求椭圆（轨迹）方程的问题和求相关最值（范围）的问题]：
（1） 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过点F2作椭圆长轴的垂线，交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。
（2） 如图1，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点，其余的四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为。
图1
（3） 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的半焦距为c，直线y=3x与椭圆的一个交点的横坐标为c2，则此椭圆的离心率为。
（4） 设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，若其右准线上存在P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是。
[设计意图：课上的独立学习，让学生经历较难问题的求解过程，体验具体解题过程中会遇到的困难，再进行解题方法的自我提炼，提高归类和总结能力。]
環节2：组内互查、交流。
让学生小组纠错、订正（先由组长报自己的答案，其他同学核对、反馈;再根据错的题数与题号，一对一或一对二小范围交流、讨论），然后以一个学生（记录员）的讲义为基础，整合出比较完善的解题方法。
[设计意图：课上的组内合作学习，用最少的时间保证人人参与讨论、交流，及时得到提炼方法的启发与克服障碍的帮助。同时通过组内交流、讨论，让学生完善（优化）自己的解题方法，对一类问题有更为清晰的解题思路。]
环节3：小组展示。
通过抽签，让一个小组（派一个代表）详细、规范地板书这几道题目的解答过程，然后用简洁、准确、流畅的语言讲解这几道题目的解题思路、对应的思想方法以及本组同学解题时遇到的问题、是如何突破的。同时让其他小组的学生边听边在自己的讲义中（记录员在小组的讲义中）做修改、补充。
[设计意图：一方面，督促前两个环节的落实，为后一个环节做铺垫;另一方面，了解学生掌握的情况、遇到的问题、思考的过程。]
环节4：组间完善。
让其他小组的学生对板书小组的讲解做修改、补充（抢答），比如：第×题，我们组还有××解法;我们组觉得××方法更好。同时，也让其他小组的学生边听边在自己的讲义中（记录员在小组的讲义中）做修改、补充。
[设计意图：和前一个环节合成又一次完整的课堂组间合作学习，更一次实现大范围的互动交流，让学生集思广益，对一类问题的求解方法不断完善（优化），使之便于储存、提取。]
环节5：教师认定。
挑选一组学生的解题方法进行投影展示，对这组学生没有想到的解题方法进行补充（若学生想到几种解法，则进行比较），最后以框图的形式板书提炼的方法。
《椭圆的复习（一）》一课，学生提炼出的求椭圆离心率的方法如下：
关键是从题目条件和椭圆的两个定义、基本性质出发，通过代数方法（代数表示）或几何方法（几何特征），建立基本量a、b、c的相等或不等关系;特别注意焦半径和焦点三角形的有关性质，同时注意方法的比较和优化。
[设计意图：教师的介入，引导学生概括出一类问题的求解方法和要点，让学生更加清晰、灵活地认识、掌握这类问题的求解方法，学会选择与优化解题方法，起到画龙点睛的作用。]
环节6：学生再次提炼。
让学生再次提炼这一类问题的求解方法，整理完善（晚自习后交）。
[设计意图：回到独立学习，让学生内化、整合之前学习的方法，同时为后面的二轮复习提供题型与方法的固着点。]
（三）板块三：课后追踪与反馈
课后针对课堂解决的一类问题，布置七八道不同背景的有关题目作为作业，追踪、反馈学生对这类问题的掌握情况。
[设计意图：突出现学现用，巩固拓展，深化创新。教师可以根据反馈情况及时调整、优化教法。]
最后需要指出的是，模式是死的，而教学是活的，内容是活的，学生是活的，因此，板块和环节的选择、设置和操作、顺序可以因情而变，因时而动;模式提供了学生学习的基本框架，能保证学习过程的完整性，但模式最大的价值是经历模式，从而超越模式，所以，真正的功夫体现在各板块和环节中内容和过程的细化上。
关键词：小组合作学习高三数学一轮复习教学模式
苏霍姆林斯基说过：“让学生通过自己的努力去理解的东西，才能成为他自己的东西，才是他真正掌握的东西。”《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出：“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。”教师必须从传统的“包办代替”中走出来，摒弃“注入式”“满堂灌”的教法，用自己的教学行为指引和促进学生的学习行为，让学生真正成为学习的主人。而教学模式是教学方法的可操作范式，可以较好地减少教学的随意性。
因此，针对传统的高三数学一轮复习教学导致的学生“一听就懂，一做就错”（“懂而不会”）的现象，为了更好地帮助学生梳理所学的基础知识、基本技能和基本思想、基本经验，将它们构成系统的网络，达成知识的有效存储、提取和迁移、应用，笔者设计和实施了基于小组合作学习的高三数学一轮复习模式。下面，以《椭圆的复习（一）》一课为例，谈谈相关的实践与思考。
一、小组合作学习模式的提出
美国学者爱德加·戴尔（Edgar Dale）提出了“学习金字塔”（Cone of Learning）理论，指出：在初次学习两周后，阅读能够记住学习内容的10%，聆听能够记住学习内容的20%，看图片能够记住学习内容的30%，看影像、看展览、看演示、现场观摩等能够记住学习内容的50%，参与讨论、发言能够记住学习内容的70%，做报告、给别人讲、亲身体验、动手做等能够记住学习内容的90%。概括来说，学习效果在30%以下的几种方式都是个人学习或被动学习，而学习效果在50%以上的几种方式是团队学习、主动学习和参与式学习。
小组合作学习模式，即将班级分成若干个“同组异质”“异组同质”的学习小组，通过一定的检测方法，促使学生在小组互动中自学思考、互学研讨、展学完善、巩固提升，激发学习兴趣，提高参与程度，实现对知识的建构和生成。“同组异质”能够保证组内不同层次学生之间的相互帮扶，确保每一个学生都不掉队;“异组同质”能够保证不同组之间的相互补充和质疑，确保知识的拓展和延伸。
二、基于小组合作学习的高三数学一轮复习模式的解读
这个模式主要包括“知识梳理”与“方法提炼”两个板块，既重视学生基础的夯实，也重视学生能力的提高;每一个板块都体现了“自主学习→合作学习→自主学习”的循环，使学生主动参与、充分参与，更好地体验学习的过程，内化知识与方法，增强思考、操作、表达、交流等各种学习能力。整个模式中，只有“方法提炼”板块的“教师认定”环节需要教师做比较多的讲解（总结）;其他环节，教师的主要任务只是观察、巡视、督促、调控、指导、点拨，充分地了解学生的学习情况，以便进行针对性的教学。具体板块与环节如下：
（一）板块一：前置练习与梳理
环节1：自主练习、梳理。
课前让学生通过做四五道难度适中、针对性强的题目（用规范的草稿纸打草稿），翻阅教材，梳理相应章节的知识点。
《椭圆的复习（一）》一课，课前的练习题目和梳理提示如下：
（1） 已知椭圆x225+y29=1上一点P到左焦点的距离为3，则点P到右焦点的距离为，点P到右准线的距离为。
（2） 已知椭圆x225+y29=1上一点P的横坐标为x0，则点P到左焦点F1的距离为，点P到右焦点F2的距离为。若点P在椭圆上运动，则点P到左焦点F1的距离最大为，点P到左焦点F1的距离最小为。延长PF1交椭圆于点M，则△PF2M的周长为。
（3） 若椭圆的两个焦点为F1（2，0）和F2（-2，0），且椭圆过点P52，-32，则椭圆的方程为。
（4） 如果方程x2+ky2=2表示椭圆，那么实数k的取值范围是。若该椭圆的离心率为12，则实数k=。
（5） 提示：从定义（两个定义的三种表达形式）、标准方程、图像、几何性质（范围、对称轴、对称中心、顶点、长轴长、短轴长、焦点坐标、焦距、焦半径、通径、焦点三角形、离心率、准线方程）等方面梳理知识点（最好列成表格形式）。
[设计意图：课前的独立学习，让学生找到自己的薄弱点与欠缺之处。]
环节2：组内互查、交流。
课前让学生小组互查（可教师批阅后学生互查，也可学生互查后教师批阅）、交流做错的与不理解的题目和知识点，探讨错误的原因，补充遗漏的知识点，并分析易错点、重难点;然后，以一个学生（记录员）的讲义为基础，整合出一份比较完善的知识点总结（用红笔修改、补充）。
[设计意图：课前的组内合作学习，旨在提高学生的表达能力，让会的学生清晰、简洁地表达自己的想法、解题思路与方法，让不会的学生能够感受到其他同学是怎么想的、为什么可以这么想、为什么自己没有想到。在交流中，学生还会触发还可以怎么想、哪种方法更优、何时采用何种方法更好等思考;同时，纠正错误，了解欠缺，相互补充，取长补短，共同提高。]
环节3：小组展示。
课上通过抽签，让一个小组（派一个代表）投影展示课前完成的题目与梳理的知识点;对于做错的题目，投影草稿纸，讲解做错的原因。同时让其他小组的学生边看边在自己的讲义中（记录员在小组的讲义中），标注更好的做法，添加没有写到的知识点（包括图表形式、编号形式等，可使列举的知识点更简洁明了、醒目清晰）。
[设计意图：一方面，督促前两个环节的落实，为后一个环节做铺垫;另一方面，了解学生做错的原因以及知识上的漏洞。] 环节4：组间完善。
让其他小组的学生对展示小组的讲义做修改、补充（抢答）。同时，也让其他小组的学生边听边在自己的讲义中（记录员在小组的讲义中）做修改、补充（可以简单明了地记录）。
[设计意图：和前一个环节合成完整的课堂组间合作学习，实现大范围的互动交流，让每一个学生都能参与，构建系统、完整的知识网络。]
环节5：再次梳理。
让学生再次梳理知识点，整理完善（最好用框图等比较形象的形式，晚自习后交）。
[设计意图：回到独立学习，让学生内化、整合之前的学习成果，同时为后面的二轮复习提供可以借鉴、参考的宝贵材料。]
（二）板块二：课堂解题与提炼
环节1：自主解答、提炼。
以题组形式出示一类问题，让学生写出详细的解答过程（用规范草稿纸）。解题时，让学生思考可以用什么方法求解出来，如何用简洁、准确、流畅的语言表达出来;解完后，让学生根据刚才的解题，提炼这一类问题的求解方法（用文字简明、扼要地写下来，前面写方法，后面写对应的题号）。
《椭圆的复习（一）》一课，课上出示的题组是四道求椭圆离心率的问题[后面两节同主题的复习课准备的题组分别是求椭圆（轨迹）方程的问题和求相关最值（范围）的问题]：
（1） 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过点F2作椭圆长轴的垂线，交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。
（2） 如图1，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点，其余的四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为。
图1
（3） 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的半焦距为c，直线y=3x与椭圆的一个交点的横坐标为c2，则此椭圆的离心率为。
（4） 设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，若其右准线上存在P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是。
[设计意图：课上的独立学习，让学生经历较难问题的求解过程，体验具体解题过程中会遇到的困难，再进行解题方法的自我提炼，提高归类和总结能力。]
環节2：组内互查、交流。
让学生小组纠错、订正（先由组长报自己的答案，其他同学核对、反馈;再根据错的题数与题号，一对一或一对二小范围交流、讨论），然后以一个学生（记录员）的讲义为基础，整合出比较完善的解题方法。
[设计意图：课上的组内合作学习，用最少的时间保证人人参与讨论、交流，及时得到提炼方法的启发与克服障碍的帮助。同时通过组内交流、讨论，让学生完善（优化）自己的解题方法，对一类问题有更为清晰的解题思路。]
环节3：小组展示。
通过抽签，让一个小组（派一个代表）详细、规范地板书这几道题目的解答过程，然后用简洁、准确、流畅的语言讲解这几道题目的解题思路、对应的思想方法以及本组同学解题时遇到的问题、是如何突破的。同时让其他小组的学生边听边在自己的讲义中（记录员在小组的讲义中）做修改、补充。
[设计意图：一方面，督促前两个环节的落实，为后一个环节做铺垫;另一方面，了解学生掌握的情况、遇到的问题、思考的过程。]
环节4：组间完善。
让其他小组的学生对板书小组的讲解做修改、补充（抢答），比如：第×题，我们组还有××解法;我们组觉得××方法更好。同时，也让其他小组的学生边听边在自己的讲义中（记录员在小组的讲义中）做修改、补充。
[设计意图：和前一个环节合成又一次完整的课堂组间合作学习，更一次实现大范围的互动交流，让学生集思广益，对一类问题的求解方法不断完善（优化），使之便于储存、提取。]
环节5：教师认定。
挑选一组学生的解题方法进行投影展示，对这组学生没有想到的解题方法进行补充（若学生想到几种解法，则进行比较），最后以框图的形式板书提炼的方法。
《椭圆的复习（一）》一课，学生提炼出的求椭圆离心率的方法如下：
关键是从题目条件和椭圆的两个定义、基本性质出发，通过代数方法（代数表示）或几何方法（几何特征），建立基本量a、b、c的相等或不等关系;特别注意焦半径和焦点三角形的有关性质，同时注意方法的比较和优化。
[设计意图：教师的介入，引导学生概括出一类问题的求解方法和要点，让学生更加清晰、灵活地认识、掌握这类问题的求解方法，学会选择与优化解题方法，起到画龙点睛的作用。]
环节6：学生再次提炼。
让学生再次提炼这一类问题的求解方法，整理完善（晚自习后交）。
[设计意图：回到独立学习，让学生内化、整合之前学习的方法，同时为后面的二轮复习提供题型与方法的固着点。]
（三）板块三：课后追踪与反馈
课后针对课堂解决的一类问题，布置七八道不同背景的有关题目作为作业，追踪、反馈学生对这类问题的掌握情况。
[设计意图：突出现学现用，巩固拓展，深化创新。教师可以根据反馈情况及时调整、优化教法。]
最后需要指出的是，模式是死的，而教学是活的，内容是活的，学生是活的，因此，板块和环节的选择、设置和操作、顺序可以因情而变，因时而动;模式提供了学生学习的基本框架，能保证学习过程的完整性，但模式最大的价值是经历模式，从而超越模式，所以，真正的功夫体现在各板块和环节中内容和过程的细化上。