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摘要：在苏科版初中数学九年级上册《中心对称图形——圆》一章中，学生认识了3种不同的“角”：圆心角、圆周角、弦切角。教学完圆的切线后，设计并实施了一节数学活动课《与圆有关的角》，引导学生整体地、系统地、一以贯之地认识“与圆有关的角”，探究它们的性质，将看似无关的知识串联成结构体系。串联这些知识的“金丝线”，表面的材质是点和圆、直线和圆的位置关系，产生了两次分类;内在的材质是策略和经验，如“先定性，再定量”“不断转化”“一般化和特殊化”等。
关键词：与圆有关的角知识结构经验迁移教学线索
教学机智一、初始想法：这角那角，何妨一以贯之
在苏科版初中数学九年级上册《中心对称图形——圆》一章中，学生认识了3种不同的“角”：圆心角、圆周角、弦切角。这些角的性质各有不同，使学生接受起来有些困难。其实，这些角之间有密切的联系，而且，还有一些与它们相关的角课本中没有涉及。这引起了笔者的思考：何不引导学生整体地、系统地、一以贯之地认识“与圆有关的角”，帮助学生建立良好的知识结构呢？于是，教学完圆的切线后，笔者设计并实施了一节数学活动课：《与圆有关的角》。
二、教学过程：对比联系，借经验解问题
师同学们，若一个角的两边与圆有两个不同的公共点A、B，则称它是一个“与圆有关的角”。（出示图1，板书课题）这节课我们一起来研究它。
（出示问题1：我们已经学过哪些与圆有关的角？）
生圆心角、圆周角。
师这两种角的大小与它们所对弧的度数有什么关系？
生圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
师（出示图2）请用符号语言分别表示∠AOB、∠APB与AB的度数的关系。
生∠AOB=mAB，∠APB=m12AB。符号“=m”在之前介绍过，表示“弧的度数等于”。
[设计意图：学生往往凭借已有经验，解决新的问题。圆心角和圆周角是最重要的两种“与圆有关的角”，教师的追问暗示了本节课的重点是探究角的大小与弧的度数的关系。其实，在之前的课堂上还补充介绍过“弦切角”，但是，学生没有马上想到。不过，这没有关系，后面完全可以引导学生联想补充。]
（出示问题2：这两种角是怎样区分的？）
生它们的顶点位置不同，圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆上。
师哦，顶点位置不同。我们曾经学习过点与圆的位置关系，请大家回想一下。
生点与圆有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外。
[设计意图：问题1是“求同”——圆心角、圆周角都与弧的度数有数量关系，问题2是“存异”——它们因顶点位置的不同而不同。由此渗透了认识事物的异同观。教师的追问恰到好处地联系了旧知，为后续的問题3提供了直接经验。如果说圆心角、圆周角等是“珍珠”，那么点与圆的位置关系就是把它们串联起来的“金丝线”。]
（出示问题3：若不限定顶点位置，还可能有哪些类型的角？根据角顶点的位置直接命名。）
生还可能有圆内角、圆外角。
师为什么不提“圆上角”？
生已经有了，圆上角就是我们学过的圆周角。
师为什么要提“圆内角”？不是有圆心角了吗？
生它们不一样。圆心角是特殊的圆内角，圆内角这个说法更具有一般性。
[设计意图：问题3是“补全”——基于点与圆的位置关系补全“与圆有关的角”的知识结构。这是一种再创造。目前，学生对“与圆有关的角”的认识从圆心角、圆周角丰富到圆外角、圆内角（含圆心角）、圆上角（即圆周角）。当然，“圆上角即圆周角”的说法有瑕疵，留待后面完善。]
（出示问题4：图3中有圆外角∠AMB、圆周角∠APB、圆内角∠ANB，比较它们的大小。）
生∠ANB>∠APB>∠AMB。
师为什么呢？
生（出示图4）延长AN交⊙O于点C，连接BC，设AM交⊙O于点D，连接BD。根据同弧所对的圆周角相等可知，∠APB=∠ACB=∠ADB。因为∠ANB是△NBC的外角，所以∠ANB>∠ACB。因为∠ADB是△MBD的外角，所以∠ADB>∠AMB。综上可知，∠ANB>∠APB>∠AMB。
[设计意图：数学研究往往是先定性，再定量。问题4是“定性”——比较角的大小关系，是初步认知。在学习圆周角时，学生曾经探究过这个问题，所以有一定的经验，经过回忆、思考，可以顺利地解决。解决这个问题时，学生重新经历了“连线通过外角转化”的过程，为解决后面的问题5提供了直接经验。]
（出示问题5：如图5、图6，你能分别量化圆外角∠AMB、圆内角∠ANB的大小吗？）
生老师，什么是“量化”？
师量化就是用数量刻画，这里是指用适当的式子表示角的大小。（稍停）如果你没有头绪，可以试着小步子前进。以∠AMB为例，要用一个式子表示它，首先需要知道∠AMB的大小与哪些元素有关，以及怎样将∠AMB的大小和这些元素产生联系。如果你还想不到，想想是否有类似的经验可以借鉴。
（学生思考、讨论。）
生记∠AMB的边与⊙O交于点A、B、C、D，则∠AMB的大小与AB、CD的度数有关。因为弧变化，角变化;弧确定，角也应该确定。跟弧有关的角有圆心角和圆周角，只要将∠AMB转化为圆心角或圆周角，就能产生联系了。
生可以将∠AMB转化为两个圆周角之差。（出示图7）连接AC，则∠ACB是△ACM的外角，故∠ACB=∠AMB+∠CAM，从而∠AMB=∠ACB-∠CAM。由圆周角性质可知，∠ACB=m12AB，∠CAM=m12CD，所以∠AMB=m12AB-12CD=mAB-CD2。
生哦哦，我想到了！同理，∠ANB可以转化为两个圆周角之和。（出示图8）连接BC，则∠ANB是△BCN的外角，故∠ANB=∠ACB+∠CBD。由于∠ACB=m12AB，∠CBD=m12CD，所以∠ANB=m12AB+12CD=mAB+CD2。 师精彩！管它圆内或圆外，全都转化到圆周！刚才我们的探究过程，方法上是一脉相承的，即连线通过外角转化;策略上是从定性到定量，即从模糊感受到精确制导。之前我们提到，圆心角是特殊的圆内角，那么，圆心角的大小满足刚才得到的这个等式吗？
生满足！（出示图9）当点N在O处时，恰有AB=CD，此时∠ANB=mAB+CD2=m2AB2=mAB。结果完全一致，恰好体现了圆心角是特殊的圆内角。
师很好，现在我们已经完成了这样的内容：（1）根据角的顶点与圆的位置关系，将“与圆有关的角”分为圆外角、圆周角、圆内角;（2）基于圆心角和圆周角的探索经验，量化圆外角、圆内角的大小。（出示图10）因此，我们得到这样的知识结构或者说思维导图。
[设计意图：问题5是“定量”——确定角的数量关系。“量化”是一个抽象、凝练的说法，有必要让学生感受到其合理性。教师通过一些提示，引导学生步步深入，蓦然回首，又归阑珊。问题5没有直接告诉学生用弧的度数表示角的大小，需要学生感受、分析和发现，这是重要的、珍贵的、不可替代的经验。学生遇到困难时，教师对学生进行了适当的引导，这个“柳暗花明又一村”的过程是学生形成解决问题能力的必经之路。至此，学生对“与圆有关的角”的认识进一步丰满。]
（出示问题6：从边与圆的位置关系看，圆外角还能进一步分类吗？）
师（再次出示图5）圆外角∠AMB的两边与⊙O有怎样的位置关系？
生都相交。
师相交是直线与圆的一种位置关系——角的边是射线，但由于顶点在圆外，不妨看作直线，回忆一下：直线与圆有哪些位置关系？
生相交、相切和相离。
师圆外角的两边与圆可能有哪些位置关系？
生只可能相交或相切。
师画出你能想到的所有可能情况。
生共有3种情况：两边均相交，如图5;一边相交，一边相切，如图11;兩边均相切，如图12。
师哦，原来圆外角还有这些情况。那么，我们刚才的探索完整吗？
生不完整。还需要补充另外两种情况。
师那么，之前的结论∠AMB=m大弧-小弧2还成立吗？请探索。
（学生思考、讨论。）
生还成立。（出示图13）连接BD，则∠ADB是△BDM的外角，故∠AMB=∠ADB-∠DBM=m12AB-12BD=mAB-BD2，从而成立（这里的BD其实就是CD）。（出示图14）连接OA、OB，由相切可知∠OAM、∠OBM均为90°，易证∠AMB=180°-∠AOB。由于AEB+AB=m360°，所以∠AMB=m12（AEB+AB）-AB=mAEB-AB2，从而成立。
图13图14
师现在对圆外角的探索是否已经完成了？
生3种情况都考虑了，完成了。
师对圆外角，由于图形存在多种可能，为了解决问题，需要讨论每一种情况。我们是否有类似的经验？
生有的，探索圆周角的性质时，也是根据圆心的位置将圆周角分为3种情况。
师很好！现在，我们对圆外角的探索已经经历了两次分类，你能说说看吗？
生第一次是角的顶点位置，第二次是角的两边位置。
师既然如此，对圆内角、圆周角是否也可以从这个角度来变化？
生圆内角的边所在直线始终与圆相交，没有其他情况。
生圆周角的边可以与圆相切或相交。如果都相交，那就是圆周角。（出示图15）如果其中一条边相切，那就是我们学过的弦切角。
师若圆周角的两边都和圆相切呢？
生那就变成一条直线了，是平角，且不是前面说的“与圆有关的角”了，就不需要研究了。
师圆周角、弦切角的顶点都在圆上，但边与圆的位置关系不同，应该怎样称呼它们呢？
生可以统称它们为“圆上角”。
师它们与所对或所夹弧的数量关系一致吗？
生一致。（出示图16）弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，这个我们证明过。
师很好！在知识结构图上进一步补充我们的发现吧。
（师生共同完善知识结构，得到图17。）图17[设计意图：两类位置关系共同串联起“与圆有关的角”，编织出丰满的知识结构。问题6是再次补全——基于直线与圆的位置关系补全“与圆有关的角”的知识结构。在研究角的大小时，学生其实在不断地转化和借鉴，一边积累经验，一边使用经验;每一个问题都既有复习回顾的成分，又有埋下伏笔的功能——这恰是数学学习的常态。本次探索很好地将《圆》这一章的内容有机结合在一起。]
（出示问题7：你能否提炼一些通用的方法和经验？）
生要整体地看待知识和问题，它们之间都是有联系的。
生就像站在高处，看得清楚，居高临下，一览无余，我们也要从更高的角度审视数学。
生先定性，再定量！定性就像是认清方向，免得南辕北辙;定量就像找到路径，实现顺利到达。
生很多东西都是我们学过的，我们总是能把新问题转化成我们学过的问题。
师大家说得都很好！希望同学们可以举一反三，不断发现数学中的美丽！
三、教学感悟：整体视角，系统感受全局
局部地看，知识是零散的;孤立地看，知识是繁多的。但整体地看，知识是一个互相联系的结构;系统地看，知识是一个“条条大道通罗马”的网络。平日分课时的教学中，教师经常要求学生从微观上掌握知识的细节，而很少引导学生从宏观上感受知识之间的联系。其实，登高望远，发现知识的联系，会更加有助于学生理解数学本质，获得迁移能力。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的联系，注重体现学生学习的整体性。”数学教学中，我们更要通过整合内容让学生感受到“整体性”的魅力。
本节课中，笔者引导学生将圆心角、圆周角、弦切角补充成“与圆有关的角”，探究它们的性质，将看似无关的知识串联成如图17所示的结构体系，这个过程无疑是精彩的。串联这些知识的“金丝线”，表面的材质是点和圆、直线和圆的位置关系，产生了两次分类;内在的材质是策略和经验，如“先定性，再定量”“不断转化”“一般化和特殊化”等。本节课中，学生表现出极大的学习热情，也让笔者感受到“整体性”的魅力。
正是：登高远望好风景，圆角关系一线牵，欲知其中真妙法，整体联系如此看！
关键词：与圆有关的角知识结构经验迁移教学线索
教学机智一、初始想法：这角那角，何妨一以贯之
在苏科版初中数学九年级上册《中心对称图形——圆》一章中，学生认识了3种不同的“角”：圆心角、圆周角、弦切角。这些角的性质各有不同，使学生接受起来有些困难。其实，这些角之间有密切的联系，而且，还有一些与它们相关的角课本中没有涉及。这引起了笔者的思考：何不引导学生整体地、系统地、一以贯之地认识“与圆有关的角”，帮助学生建立良好的知识结构呢？于是，教学完圆的切线后，笔者设计并实施了一节数学活动课：《与圆有关的角》。
二、教学过程：对比联系，借经验解问题
师同学们，若一个角的两边与圆有两个不同的公共点A、B，则称它是一个“与圆有关的角”。（出示图1，板书课题）这节课我们一起来研究它。
（出示问题1：我们已经学过哪些与圆有关的角？）
生圆心角、圆周角。
师这两种角的大小与它们所对弧的度数有什么关系？
生圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
师（出示图2）请用符号语言分别表示∠AOB、∠APB与AB的度数的关系。
生∠AOB=mAB，∠APB=m12AB。符号“=m”在之前介绍过，表示“弧的度数等于”。
[设计意图：学生往往凭借已有经验，解决新的问题。圆心角和圆周角是最重要的两种“与圆有关的角”，教师的追问暗示了本节课的重点是探究角的大小与弧的度数的关系。其实，在之前的课堂上还补充介绍过“弦切角”，但是，学生没有马上想到。不过，这没有关系，后面完全可以引导学生联想补充。]
（出示问题2：这两种角是怎样区分的？）
生它们的顶点位置不同，圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆上。
师哦，顶点位置不同。我们曾经学习过点与圆的位置关系，请大家回想一下。
生点与圆有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外。
[设计意图：问题1是“求同”——圆心角、圆周角都与弧的度数有数量关系，问题2是“存异”——它们因顶点位置的不同而不同。由此渗透了认识事物的异同观。教师的追问恰到好处地联系了旧知，为后续的問题3提供了直接经验。如果说圆心角、圆周角等是“珍珠”，那么点与圆的位置关系就是把它们串联起来的“金丝线”。]
（出示问题3：若不限定顶点位置，还可能有哪些类型的角？根据角顶点的位置直接命名。）
生还可能有圆内角、圆外角。
师为什么不提“圆上角”？
生已经有了，圆上角就是我们学过的圆周角。
师为什么要提“圆内角”？不是有圆心角了吗？
生它们不一样。圆心角是特殊的圆内角，圆内角这个说法更具有一般性。
[设计意图：问题3是“补全”——基于点与圆的位置关系补全“与圆有关的角”的知识结构。这是一种再创造。目前，学生对“与圆有关的角”的认识从圆心角、圆周角丰富到圆外角、圆内角（含圆心角）、圆上角（即圆周角）。当然，“圆上角即圆周角”的说法有瑕疵，留待后面完善。]
（出示问题4：图3中有圆外角∠AMB、圆周角∠APB、圆内角∠ANB，比较它们的大小。）
生∠ANB>∠APB>∠AMB。
师为什么呢？
生（出示图4）延长AN交⊙O于点C，连接BC，设AM交⊙O于点D，连接BD。根据同弧所对的圆周角相等可知，∠APB=∠ACB=∠ADB。因为∠ANB是△NBC的外角，所以∠ANB>∠ACB。因为∠ADB是△MBD的外角，所以∠ADB>∠AMB。综上可知，∠ANB>∠APB>∠AMB。
[设计意图：数学研究往往是先定性，再定量。问题4是“定性”——比较角的大小关系，是初步认知。在学习圆周角时，学生曾经探究过这个问题，所以有一定的经验，经过回忆、思考，可以顺利地解决。解决这个问题时，学生重新经历了“连线通过外角转化”的过程，为解决后面的问题5提供了直接经验。]
（出示问题5：如图5、图6，你能分别量化圆外角∠AMB、圆内角∠ANB的大小吗？）
生老师，什么是“量化”？
师量化就是用数量刻画，这里是指用适当的式子表示角的大小。（稍停）如果你没有头绪，可以试着小步子前进。以∠AMB为例，要用一个式子表示它，首先需要知道∠AMB的大小与哪些元素有关，以及怎样将∠AMB的大小和这些元素产生联系。如果你还想不到，想想是否有类似的经验可以借鉴。
（学生思考、讨论。）
生记∠AMB的边与⊙O交于点A、B、C、D，则∠AMB的大小与AB、CD的度数有关。因为弧变化，角变化;弧确定，角也应该确定。跟弧有关的角有圆心角和圆周角，只要将∠AMB转化为圆心角或圆周角，就能产生联系了。
生可以将∠AMB转化为两个圆周角之差。（出示图7）连接AC，则∠ACB是△ACM的外角，故∠ACB=∠AMB+∠CAM，从而∠AMB=∠ACB-∠CAM。由圆周角性质可知，∠ACB=m12AB，∠CAM=m12CD，所以∠AMB=m12AB-12CD=mAB-CD2。
生哦哦，我想到了！同理，∠ANB可以转化为两个圆周角之和。（出示图8）连接BC，则∠ANB是△BCN的外角，故∠ANB=∠ACB+∠CBD。由于∠ACB=m12AB，∠CBD=m12CD，所以∠ANB=m12AB+12CD=mAB+CD2。 师精彩！管它圆内或圆外，全都转化到圆周！刚才我们的探究过程，方法上是一脉相承的，即连线通过外角转化;策略上是从定性到定量，即从模糊感受到精确制导。之前我们提到，圆心角是特殊的圆内角，那么，圆心角的大小满足刚才得到的这个等式吗？
生满足！（出示图9）当点N在O处时，恰有AB=CD，此时∠ANB=mAB+CD2=m2AB2=mAB。结果完全一致，恰好体现了圆心角是特殊的圆内角。
师很好，现在我们已经完成了这样的内容：（1）根据角的顶点与圆的位置关系，将“与圆有关的角”分为圆外角、圆周角、圆内角;（2）基于圆心角和圆周角的探索经验，量化圆外角、圆内角的大小。（出示图10）因此，我们得到这样的知识结构或者说思维导图。
[设计意图：问题5是“定量”——确定角的数量关系。“量化”是一个抽象、凝练的说法，有必要让学生感受到其合理性。教师通过一些提示，引导学生步步深入，蓦然回首，又归阑珊。问题5没有直接告诉学生用弧的度数表示角的大小，需要学生感受、分析和发现，这是重要的、珍贵的、不可替代的经验。学生遇到困难时，教师对学生进行了适当的引导，这个“柳暗花明又一村”的过程是学生形成解决问题能力的必经之路。至此，学生对“与圆有关的角”的认识进一步丰满。]
（出示问题6：从边与圆的位置关系看，圆外角还能进一步分类吗？）
师（再次出示图5）圆外角∠AMB的两边与⊙O有怎样的位置关系？
生都相交。
师相交是直线与圆的一种位置关系——角的边是射线，但由于顶点在圆外，不妨看作直线，回忆一下：直线与圆有哪些位置关系？
生相交、相切和相离。
师圆外角的两边与圆可能有哪些位置关系？
生只可能相交或相切。
师画出你能想到的所有可能情况。
生共有3种情况：两边均相交，如图5;一边相交，一边相切，如图11;兩边均相切，如图12。
师哦，原来圆外角还有这些情况。那么，我们刚才的探索完整吗？
生不完整。还需要补充另外两种情况。
师那么，之前的结论∠AMB=m大弧-小弧2还成立吗？请探索。
（学生思考、讨论。）
生还成立。（出示图13）连接BD，则∠ADB是△BDM的外角，故∠AMB=∠ADB-∠DBM=m12AB-12BD=mAB-BD2，从而成立（这里的BD其实就是CD）。（出示图14）连接OA、OB，由相切可知∠OAM、∠OBM均为90°，易证∠AMB=180°-∠AOB。由于AEB+AB=m360°，所以∠AMB=m12（AEB+AB）-AB=mAEB-AB2，从而成立。
图13图14
师现在对圆外角的探索是否已经完成了？
生3种情况都考虑了，完成了。
师对圆外角，由于图形存在多种可能，为了解决问题，需要讨论每一种情况。我们是否有类似的经验？
生有的，探索圆周角的性质时，也是根据圆心的位置将圆周角分为3种情况。
师很好！现在，我们对圆外角的探索已经经历了两次分类，你能说说看吗？
生第一次是角的顶点位置，第二次是角的两边位置。
师既然如此，对圆内角、圆周角是否也可以从这个角度来变化？
生圆内角的边所在直线始终与圆相交，没有其他情况。
生圆周角的边可以与圆相切或相交。如果都相交，那就是圆周角。（出示图15）如果其中一条边相切，那就是我们学过的弦切角。
师若圆周角的两边都和圆相切呢？
生那就变成一条直线了，是平角，且不是前面说的“与圆有关的角”了，就不需要研究了。
师圆周角、弦切角的顶点都在圆上，但边与圆的位置关系不同，应该怎样称呼它们呢？
生可以统称它们为“圆上角”。
师它们与所对或所夹弧的数量关系一致吗？
生一致。（出示图16）弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，这个我们证明过。
师很好！在知识结构图上进一步补充我们的发现吧。
（师生共同完善知识结构，得到图17。）图17[设计意图：两类位置关系共同串联起“与圆有关的角”，编织出丰满的知识结构。问题6是再次补全——基于直线与圆的位置关系补全“与圆有关的角”的知识结构。在研究角的大小时，学生其实在不断地转化和借鉴，一边积累经验，一边使用经验;每一个问题都既有复习回顾的成分，又有埋下伏笔的功能——这恰是数学学习的常态。本次探索很好地将《圆》这一章的内容有机结合在一起。]
（出示问题7：你能否提炼一些通用的方法和经验？）
生要整体地看待知识和问题，它们之间都是有联系的。
生就像站在高处，看得清楚，居高临下，一览无余，我们也要从更高的角度审视数学。
生先定性，再定量！定性就像是认清方向，免得南辕北辙;定量就像找到路径，实现顺利到达。
生很多东西都是我们学过的，我们总是能把新问题转化成我们学过的问题。
师大家说得都很好！希望同学们可以举一反三，不断发现数学中的美丽！
三、教学感悟：整体视角，系统感受全局
局部地看，知识是零散的;孤立地看，知识是繁多的。但整体地看，知识是一个互相联系的结构;系统地看，知识是一个“条条大道通罗马”的网络。平日分课时的教学中，教师经常要求学生从微观上掌握知识的细节，而很少引导学生从宏观上感受知识之间的联系。其实，登高望远，发现知识的联系，会更加有助于学生理解数学本质，获得迁移能力。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的联系，注重体现学生学习的整体性。”数学教学中，我们更要通过整合内容让学生感受到“整体性”的魅力。
本节课中，笔者引导学生将圆心角、圆周角、弦切角补充成“与圆有关的角”，探究它们的性质，将看似无关的知识串联成如图17所示的结构体系，这个过程无疑是精彩的。串联这些知识的“金丝线”，表面的材质是点和圆、直线和圆的位置关系，产生了两次分类;内在的材质是策略和经验，如“先定性，再定量”“不断转化”“一般化和特殊化”等。本节课中，学生表现出极大的学习热情，也让笔者感受到“整体性”的魅力。
正是：登高远望好风景，圆角关系一线牵，欲知其中真妙法，整体联系如此看！