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[摘 要]反证法与数学归纳法都用到了“假设”,认清两个“假设”的内涵,有助于对两个方法的理解以及应用.
[关键词]反证假设 归纳假设 推理论证
反证法与数学归纳法是用得较少的两种推理论证的方法.反证法常常用于直接证明有困难的问题,而与正整数有关的问题可考虑用数学归纳法.由于两者的特殊性,特别是两种证法都用到了“假设”,两者之间会产生相互干扰,一些学生难以把握,甚至会提出“两个‘假设’怎么区别”“它们是假的吗”等问题.下面笔者就此谈一点粗浅之见.(下称两种“假设”分别为“反证假设”和“归纳假设”)
一、反证假设
应用反证法时,首先提出与待证命题的结论相反的判断,即“假设命题的结论不成立”,由此产生一个新命题(待证命题的否命题),并将该新命题应用于后续的推理中.
【命题1】如上图,若⊙O1与⊙O2外切于点T, 则连心线过切点T.
证明(反证法):
假设O1O2不过点T.(新命题:⊙O1、 ⊙O2外切于点T,则连心线不过切点T),分别连接O1T、O2T,则在 △TO1O2中,|O1T-O2T| 则⊙O1与⊙O2相交,这与⊙O1与⊙O2外切矛盾,因此假设不成立,
所以,连心线过切点.
【命题2】(假命题)如果a>b>0,那么a≤b.
证明(反证法):
假设a>b,(新命题:如果a>b>0,那么a>b).
∵a>0,∴a>0,
又∵a>b,∴aa>ba.
同理,ab>bb.
∴aa>bb,即a>b,不可能产生矛盾,
∴原命题为假命题.
应用反证法时,必须产生矛盾,该方法才有效.需要指出的是,在推理过程中未出现任何差错的前提下,才能将矛盾“归罪”于“假设”,否则矛盾可能是推理时出错造成的.事实上,由“假设”产生的新命题若是假命题,把它应用于正确推理中必然要出问题,即推出矛盾;反之,由“假设”产生的新命题若是真命题,把它应用于正确推理中就推不出矛盾,上述命题2的证明就是这种情况.
二、归纳假设
应用数学归纳法时分为两步:第一步为归纳奠基.验证自然数n=n0时,命题成立;第二步为归纳递推.假设n=k时,命题成立,由此产生一个新命题,并将该新命题应用于后续的推理中.
【命题3】n∈N*,1 3 5 … (2n-1)=n2.
证明(数学归纳法):
(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;
(2)假设当n=k时,等式成立,即1 3 5 … (2k-1)=k2.(新命题:k∈N*,1 3 5 … (2k-1)=k2)
那么,当n=k 1时,有1 3 5 … (2k-1) [2(k 1)-1]=k2 (2k 1)=(k 1)2.
由(1)(2)可知,命题对n∈N*成立.
【命题4】(假命题)n∈N*,1 3 5 … (2n-1)=n2 1.
证明(数学归纳法):
(1)略;
(2)假设当n=k时等式成立,即1 3 5 … (2k-1)=k2 1.(新命题:k∈N*,1 3 5 … (2k-1)=k2 1)
那么,当n=k 1时,有1 3 5 … (2k-1) [2(k 1)-1]=(k2 1) (2k 1)=(k 1)2 1.
则当n=k 1时,等式成立.至此也不能说明命题4的真假.
数学归纳法必须两步都完成后才有效.第一步验证一般比较简单,但不能没有,因为在第二步证明中要先作出假设来产生一个新命题,并应用于后续的推理中.若新命题是假命题,用它推出的结果则是错误的(命题4就是这种情况).那么新命题在什么情况下为真呢?这就必须验证第一步.因为,若n=n0时,命题成立,则第二步假设n=k中的“k”至少有“n0”为保证.
综上所述,反证假设与归纳假设的相同之处是它们都产生一个新命题,并将它应用于后续的推理之中;不同之处是,若待证命题是真命题,反证假设产生假命题,而归纳假设产生真命题.
[关键词]反证假设 归纳假设 推理论证
反证法与数学归纳法是用得较少的两种推理论证的方法.反证法常常用于直接证明有困难的问题,而与正整数有关的问题可考虑用数学归纳法.由于两者的特殊性,特别是两种证法都用到了“假设”,两者之间会产生相互干扰,一些学生难以把握,甚至会提出“两个‘假设’怎么区别”“它们是假的吗”等问题.下面笔者就此谈一点粗浅之见.(下称两种“假设”分别为“反证假设”和“归纳假设”)
一、反证假设
应用反证法时,首先提出与待证命题的结论相反的判断,即“假设命题的结论不成立”,由此产生一个新命题(待证命题的否命题),并将该新命题应用于后续的推理中.
【命题1】如上图,若⊙O1与⊙O2外切于点T, 则连心线过切点T.
证明(反证法):
假设O1O2不过点T.(新命题:⊙O1、 ⊙O2外切于点T,则连心线不过切点T),分别连接O1T、O2T,则在 △TO1O2中,|O1T-O2T|
所以,连心线过切点.
【命题2】(假命题)如果a>b>0,那么a≤b.
证明(反证法):
假设a>b,(新命题:如果a>b>0,那么a>b).
∵a>0,∴a>0,
又∵a>b,∴aa>ba.
同理,ab>bb.
∴aa>bb,即a>b,不可能产生矛盾,
∴原命题为假命题.
应用反证法时,必须产生矛盾,该方法才有效.需要指出的是,在推理过程中未出现任何差错的前提下,才能将矛盾“归罪”于“假设”,否则矛盾可能是推理时出错造成的.事实上,由“假设”产生的新命题若是假命题,把它应用于正确推理中必然要出问题,即推出矛盾;反之,由“假设”产生的新命题若是真命题,把它应用于正确推理中就推不出矛盾,上述命题2的证明就是这种情况.
二、归纳假设
应用数学归纳法时分为两步:第一步为归纳奠基.验证自然数n=n0时,命题成立;第二步为归纳递推.假设n=k时,命题成立,由此产生一个新命题,并将该新命题应用于后续的推理中.
【命题3】n∈N*,1 3 5 … (2n-1)=n2.
证明(数学归纳法):
(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;
(2)假设当n=k时,等式成立,即1 3 5 … (2k-1)=k2.(新命题:k∈N*,1 3 5 … (2k-1)=k2)
那么,当n=k 1时,有1 3 5 … (2k-1) [2(k 1)-1]=k2 (2k 1)=(k 1)2.
由(1)(2)可知,命题对n∈N*成立.
【命题4】(假命题)n∈N*,1 3 5 … (2n-1)=n2 1.
证明(数学归纳法):
(1)略;
(2)假设当n=k时等式成立,即1 3 5 … (2k-1)=k2 1.(新命题:k∈N*,1 3 5 … (2k-1)=k2 1)
那么,当n=k 1时,有1 3 5 … (2k-1) [2(k 1)-1]=(k2 1) (2k 1)=(k 1)2 1.
则当n=k 1时,等式成立.至此也不能说明命题4的真假.
数学归纳法必须两步都完成后才有效.第一步验证一般比较简单,但不能没有,因为在第二步证明中要先作出假设来产生一个新命题,并应用于后续的推理中.若新命题是假命题,用它推出的结果则是错误的(命题4就是这种情况).那么新命题在什么情况下为真呢?这就必须验证第一步.因为,若n=n0时,命题成立,则第二步假设n=k中的“k”至少有“n0”为保证.
综上所述,反证假设与归纳假设的相同之处是它们都产生一个新命题,并将它应用于后续的推理之中;不同之处是,若待证命题是真命题,反证假设产生假命题,而归纳假设产生真命题.