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摘要：股票价格指数是一个国家经济建设健康状况的体温表，它的变化大致反映了该国经济结构和经济活动的宏观变化趋势。文中利用了计量经济软件EViews6.0，以上证指数为例，选择了ARIMA模型进行拟合和预测。实验结果表明，该模型的绝对误差以及百分比绝对误差都控制在了一定范围之内，因此该模型拟合效果较好，预测值接近实际值。最后，借助该模型对2012年07月27日至2012年09月09日的上证指数进行了预测。
关键词：时间序列分析；股价指数；ARIMA模型
一、引言
在金融领域中，股票价格指数的预测是一个非常热门的话题。股票价格指数简称为股价指数，它是动态的反应某个时期股市总价格水平的一种相对指标。由众多股票构成的股票价格指数，是一个国家经济建设健康状况的体温表，它的变化大致反映了该国经济结构和经济活动的宏观变化趋势。投资者可以根据股价指数的升降判断股票市场的走势，从而做出科学合理的投资决策。因此，科学合理的预测股价指数具有非常重要的现实意义，因为它直接关系到投资者的切身利益。有不少学者都对此做了一定的研究。陈海明，李东（2003）运用了灰色预测对股票价格进行了预测，预测结果较为精确。李响（2008）用数值试验的方法对基于BP神经网络的股市预测模型进行了一定的研究。而吴朝阳（2010）则运用了改进的灰色模型和ARMA模型对股价指数进行了预测。还有一些学者运用了传统的预测股价指数的方法即证券投资分析法对股价进行预测。但证券投资分析法预测股价指数具有一定的局限性，主要体现在其关于股票收益率的独立、正态分布、和方差有限的假设不符合证券市场混乱复杂的特性。其次，证券投资分析法是基于市场有效假说的，但是有效市场假说经常不能解释市场中的某些行为，因为市场不是秩序或简单的，而是既混乱又复杂的。于是，本文运用时间序列分析模型对股价指数进行了分析和预测。
时间序列分析是从一段时间上的一组属性值数据中发现模式并预测未来值的过程。时间序列的分析模型主要有ARMA模型和ARIMA模型。ARMA模型是目前常用于拟合平稳序列的模型，而ARIMA模型主要用于拟合和预测非平稳时间序列。ARIMA 模型由G. E. P. Box 和G. M. Jenkins 提出，也称为B—J方法，是一类常用的随机时间序列模型，该方法不考虑以经济理论为依据解释变量的作用，而是依据变量本身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化，能达到最小方差意义下的最优预测，是一种精度较高的时间序列短期预测方法。利用ARMA和ARIMA模型分析预测物价指数、股价指数等方面具有重要的实际意义。本文将用ARIMA模型结合上证指数数据建立模型，并用该模型对上证指数进行拟合和预测。
二、时间序列模型简述
（一）时间序列的基本知识
时间序列分析是一种应用广泛的数量分析方法，它主要用于描述和探索事物随时间发生变化的数量规律性。时间序列是指某一统计指标数值按时间先后顺序排列而形成的序列。例如，工农业总产值按年度顺序排列起来的序列；居民消费价格指数按季度或月度排列起序列；股价指数等等都是时间序列。时间序列一般用y1，y2，y3…，yt 表示，t为时间。
在社会经济统计中，编制和分析时间序列具有非常重要的作用，主要表现在：
1、为分析研究社会经济现象的发展速度，发展趋势及变化规律提供基本的统计数据。
2、通过计算分析指标，研究社会经济现象的变化方向，速度以及结果。
3、对若干相互关联的时间序列进行分析研究，可以揭示现象之间的联系程度及动态演变关系。
4、建立数学模型，解释现象的变化规律并对未来进行预测。
（二） 时间序列分析模型
ARMA模型是目前最常用的平稳时间序列的分析模型，它又可以细分为AR模型，MA模型和ARMA模型三类。
ARMA模型的方程式如下：
引进延迟算子，ARMA（p，q）模型简记为：
其中：
，为p阶自回归系数多项式；
，为q阶移动平均系数多项式。
显然，当q=0时，ARMA（p，q）模型就退化成了AR（p）模型。
在现实生活中，有许多时间序列是非平稳的，但是这些非平稳序列差分后会显示出平稳序列的性质，这时我们就称该非平稳时间序列为差分平稳时间序列。对差分平稳时间序列可以用ARIMA模型进行拟合。
ARIMA（p，d，q）模型的结构如下：
其中：
，为平稳可逆ARMA（p，q）模型的自回归系数多项式；
，为平稳可逆ARMA（p，q）模型的移动平滑系数多项式；
为零均值白噪声序列。
特别地，当d=1，p=q=0时，AMIMA（0，1，0）模型为：xt=xt—1+εt，该模型称为随机游走模型或醉汉模型。
（三）时间序列分析的步骤
通常情况下， 自回归移动平均模型（ARIMA）的建模过程分为以下几个步骤：
1、对原序列进行平稳性检验， 若非平稳序列则通过差分消除趋势；
2、判断序列是否具有季节性， 若序列具有季节波动， 则通过季节差分消除；
3、对序列进行自相关与偏相关分析，进行白噪声检验，确定阶数p、q拟合ARMA（ p， q）模型；
4、估计模型中的未知参数的值并对模型进行适当的检验；
5、模型优化；
6、利用拟合模型，预测时间序列的将来趋势。
三、建立股价指数的ARIMA模型
由于时间序列分析模型需要较大数量的样本，所以本文选取了上证指数从2012年07月27日到2012年09月09日的开盘价，共计47个样本，基本满足时间序列的建模要求。上证指数2012年07月27日到2012年09月09日的开盘价（如下表1）。
注：本数据来源于华泰证券。
（一）数据分析与处理
设2012年07月27日为第一个开盘日，28日为第二个开盘日，依此类推，并用t来表示第t个开盘日，同时设第t个开盘日的上证指数为yt。 根据以上数据，作出序列的时间序列图可以看出，上证指数的变化具有一定的时间趋势，因此我们可以初步判断原时间序列为非平稳的时间序列，为了更好的判别原序列的平稳性，本文对原时间序列进行了单位根检验，检验结果如图1所示。
从图1的检验结果中我们可以看到，t统计量的值远大于检验水平1%、5%、10%的临界值，因此拒绝原假设，即认为该时间序列是非平稳的。为了消除原时间序列的趋势并减少序列的波动，可以对原时间序列做一阶逐期差分▽xt=xt—xt—1，经过一阶差分处理后的时间序列的序列趋势基本被消除，基本符合平稳时间序列的性质。为了能够更好的判断差分后的序列是否平稳，绘制差分序列的相关图和Q统计量，结果显示一阶差分后序列的各阶滞后的自相关函数和偏相关函数都在95%的置信区间内，而且Q统计量对应的P值都大于0.05，从而表明差分后序列的趋势基本消除，即序列基本满足平稳性。
（二）模型的识别与预测
由上面的数据分析及处理可知，该居股价指数时间序列是一个非平稳的时间序列，但一阶差分后序列满足平稳性，故可以使用ARIMA（p，d，q）模型对其进行拟合和预测。通过EViews6.0软件的调试，逐步修改阶数，经过多次修改发现当p=1，d=1，q=0时，模型拟合效果较好，模型整体较为显著。因此我们可以用ARIMA（1，1，0）对上证指数进行拟合及预测。ARIMA（1，1，0）的估计结果如图2。
从图2我们可以得到，R2=0.9119， 调整的R2=0.9103，AIC准则=2.5923，SC准则=2.6640，F统计量=569.4781，其相应的概率值非常小，AIC和SC准则都比较小，从而说明模型整体上是显著的。为了更好的判断模型的拟合程度，我们对模型估计结果的残差进行白噪声检验，从检验结果我们可以看到，模型估计结果的残差序列的样本自相关系数都在95%的置信区域以内，而且自相关函数相应的概率值P都大于检验水平0.05，因此不能拒绝原假设，即认为模型ARIMA（1，1，0）估计结果的残差序列满足随机性假设，从而该模型可以用于拟合和预测。从拟合结果可以看出，模型的拟合值接近真实值，拟合情况较好，其中2012年09月10日至09月14日的上证指数拟合结果如表2所示。
注：绝对误差=∣实际值—预测值∣，绝对百分比误差=绝对误差/实际值
由表2可知，该模型拟合的绝对误差以及绝对百分比误差都比较小，因此该模型拟合情况较好，可以用来预测，预测结果如表3所示。
四、模型的分析、总结和展望
（一）模型的分析
根据建立的股票价格指数的ARIMA模型可以看出，上证指数在2012年09月09日到09月14日期间虽然又涨又跌，但总体趋势是上升的，但是从15日之后，上证指数一直处于下跌状态，而且下跌的速度比较快。这可能是由于一下几个原因：首先，人们对经济的前景不乐观，甚至是悲观，从而造成市场投资信息不足；其次，市场资金面紧张也是其中一个原因。最近，政府为了给过热的经济降温，尤其是为了解决通货膨胀问题，采取了紧缩的货币政策，从而市场资金面趋于紧张；再次，外部环境也不利于股市的发展。自从欧洲债务危机爆发以来，其阴影一直笼罩着各个国家，中国不可能独善其身。
（二）总结和展望
由以上分析可知，ARIMA模型较好的解决了非平稳时间序列的建模问题，该股票价价指数的ARIMA模型的实际值与拟合值的绝对误差和百分比绝对误差都较小，拟合效果较好。因此，ARIMA模型可以在时间序列的预测方面有很好的表现。此外，借助计量经济软件EViews6.0，我们可很方便地将ARIMA模型应用于金融等时间序列的拟合和预测。但是，由于金融时间序列的复杂性，ARIMA模型在应用时也有一定的不足，因为ARIMA模型只适用于短期预测，若想预测几个月的数据，效果则不太理想。所以，更好的模拟还需进一步研究和探讨。
参考文献：
[1]陈海明，李东.灰色预测模型在股票价格中的应用[J].科研管理，2003（2）：29—31
[2]王 燕. 应用时间序列分析[M].北京：中国人民大学出版社，2005：1—184
[3]刘思峰，吴和成，菅利荣. 应用统计学[M]. 北京：高等教育出版社，2007：145—162
[4]吴朝阳.改进的灰色模型与ARMA模型的股指预测[J].智能系统学报，2010（3）：278—281
[5]王萍，陈碧玉.灰色理论模型在股价预测中的应用[J].应用技术，2007（3）：15—17
[6]高铁梅.计量经济分析方法与建模[M].北京：清华大学出版社，2009：147—188
[7]张文斌，樊亮.时间序列分析在我国居民消费水平预测中的应用[J].科技信息，2010（8）：11—15
[8]龚国勇.ARIMA模型在深圳GDP预测中的应用[J]. 数学的实践与认识 2008（4）：1—5
关键词：时间序列分析；股价指数；ARIMA模型
一、引言
在金融领域中，股票价格指数的预测是一个非常热门的话题。股票价格指数简称为股价指数，它是动态的反应某个时期股市总价格水平的一种相对指标。由众多股票构成的股票价格指数，是一个国家经济建设健康状况的体温表，它的变化大致反映了该国经济结构和经济活动的宏观变化趋势。投资者可以根据股价指数的升降判断股票市场的走势，从而做出科学合理的投资决策。因此，科学合理的预测股价指数具有非常重要的现实意义，因为它直接关系到投资者的切身利益。有不少学者都对此做了一定的研究。陈海明，李东（2003）运用了灰色预测对股票价格进行了预测，预测结果较为精确。李响（2008）用数值试验的方法对基于BP神经网络的股市预测模型进行了一定的研究。而吴朝阳（2010）则运用了改进的灰色模型和ARMA模型对股价指数进行了预测。还有一些学者运用了传统的预测股价指数的方法即证券投资分析法对股价进行预测。但证券投资分析法预测股价指数具有一定的局限性，主要体现在其关于股票收益率的独立、正态分布、和方差有限的假设不符合证券市场混乱复杂的特性。其次，证券投资分析法是基于市场有效假说的，但是有效市场假说经常不能解释市场中的某些行为，因为市场不是秩序或简单的，而是既混乱又复杂的。于是，本文运用时间序列分析模型对股价指数进行了分析和预测。
时间序列分析是从一段时间上的一组属性值数据中发现模式并预测未来值的过程。时间序列的分析模型主要有ARMA模型和ARIMA模型。ARMA模型是目前常用于拟合平稳序列的模型，而ARIMA模型主要用于拟合和预测非平稳时间序列。ARIMA 模型由G. E. P. Box 和G. M. Jenkins 提出，也称为B—J方法，是一类常用的随机时间序列模型，该方法不考虑以经济理论为依据解释变量的作用，而是依据变量本身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化，能达到最小方差意义下的最优预测，是一种精度较高的时间序列短期预测方法。利用ARMA和ARIMA模型分析预测物价指数、股价指数等方面具有重要的实际意义。本文将用ARIMA模型结合上证指数数据建立模型，并用该模型对上证指数进行拟合和预测。
二、时间序列模型简述
（一）时间序列的基本知识
时间序列分析是一种应用广泛的数量分析方法，它主要用于描述和探索事物随时间发生变化的数量规律性。时间序列是指某一统计指标数值按时间先后顺序排列而形成的序列。例如，工农业总产值按年度顺序排列起来的序列；居民消费价格指数按季度或月度排列起序列；股价指数等等都是时间序列。时间序列一般用y1，y2，y3…，yt 表示，t为时间。
在社会经济统计中，编制和分析时间序列具有非常重要的作用，主要表现在：
1、为分析研究社会经济现象的发展速度，发展趋势及变化规律提供基本的统计数据。
2、通过计算分析指标，研究社会经济现象的变化方向，速度以及结果。
3、对若干相互关联的时间序列进行分析研究，可以揭示现象之间的联系程度及动态演变关系。
4、建立数学模型，解释现象的变化规律并对未来进行预测。
（二） 时间序列分析模型
ARMA模型是目前最常用的平稳时间序列的分析模型，它又可以细分为AR模型，MA模型和ARMA模型三类。
ARMA模型的方程式如下：
引进延迟算子，ARMA（p，q）模型简记为：
其中：
，为p阶自回归系数多项式；
，为q阶移动平均系数多项式。
显然，当q=0时，ARMA（p，q）模型就退化成了AR（p）模型。
在现实生活中，有许多时间序列是非平稳的，但是这些非平稳序列差分后会显示出平稳序列的性质，这时我们就称该非平稳时间序列为差分平稳时间序列。对差分平稳时间序列可以用ARIMA模型进行拟合。
ARIMA（p，d，q）模型的结构如下：
其中：
，为平稳可逆ARMA（p，q）模型的自回归系数多项式；
，为平稳可逆ARMA（p，q）模型的移动平滑系数多项式；
为零均值白噪声序列。
特别地，当d=1，p=q=0时，AMIMA（0，1，0）模型为：xt=xt—1+εt，该模型称为随机游走模型或醉汉模型。
（三）时间序列分析的步骤
通常情况下， 自回归移动平均模型（ARIMA）的建模过程分为以下几个步骤：
1、对原序列进行平稳性检验， 若非平稳序列则通过差分消除趋势；
2、判断序列是否具有季节性， 若序列具有季节波动， 则通过季节差分消除；
3、对序列进行自相关与偏相关分析，进行白噪声检验，确定阶数p、q拟合ARMA（ p， q）模型；
4、估计模型中的未知参数的值并对模型进行适当的检验；
5、模型优化；
6、利用拟合模型，预测时间序列的将来趋势。
三、建立股价指数的ARIMA模型
由于时间序列分析模型需要较大数量的样本，所以本文选取了上证指数从2012年07月27日到2012年09月09日的开盘价，共计47个样本，基本满足时间序列的建模要求。上证指数2012年07月27日到2012年09月09日的开盘价（如下表1）。
注：本数据来源于华泰证券。
（一）数据分析与处理
设2012年07月27日为第一个开盘日，28日为第二个开盘日，依此类推，并用t来表示第t个开盘日，同时设第t个开盘日的上证指数为yt。 根据以上数据，作出序列的时间序列图可以看出，上证指数的变化具有一定的时间趋势，因此我们可以初步判断原时间序列为非平稳的时间序列，为了更好的判别原序列的平稳性，本文对原时间序列进行了单位根检验，检验结果如图1所示。
从图1的检验结果中我们可以看到，t统计量的值远大于检验水平1%、5%、10%的临界值，因此拒绝原假设，即认为该时间序列是非平稳的。为了消除原时间序列的趋势并减少序列的波动，可以对原时间序列做一阶逐期差分▽xt=xt—xt—1，经过一阶差分处理后的时间序列的序列趋势基本被消除，基本符合平稳时间序列的性质。为了能够更好的判断差分后的序列是否平稳，绘制差分序列的相关图和Q统计量，结果显示一阶差分后序列的各阶滞后的自相关函数和偏相关函数都在95%的置信区间内，而且Q统计量对应的P值都大于0.05，从而表明差分后序列的趋势基本消除，即序列基本满足平稳性。
（二）模型的识别与预测
由上面的数据分析及处理可知，该居股价指数时间序列是一个非平稳的时间序列，但一阶差分后序列满足平稳性，故可以使用ARIMA（p，d，q）模型对其进行拟合和预测。通过EViews6.0软件的调试，逐步修改阶数，经过多次修改发现当p=1，d=1，q=0时，模型拟合效果较好，模型整体较为显著。因此我们可以用ARIMA（1，1，0）对上证指数进行拟合及预测。ARIMA（1，1，0）的估计结果如图2。
从图2我们可以得到，R2=0.9119， 调整的R2=0.9103，AIC准则=2.5923，SC准则=2.6640，F统计量=569.4781，其相应的概率值非常小，AIC和SC准则都比较小，从而说明模型整体上是显著的。为了更好的判断模型的拟合程度，我们对模型估计结果的残差进行白噪声检验，从检验结果我们可以看到，模型估计结果的残差序列的样本自相关系数都在95%的置信区域以内，而且自相关函数相应的概率值P都大于检验水平0.05，因此不能拒绝原假设，即认为模型ARIMA（1，1，0）估计结果的残差序列满足随机性假设，从而该模型可以用于拟合和预测。从拟合结果可以看出，模型的拟合值接近真实值，拟合情况较好，其中2012年09月10日至09月14日的上证指数拟合结果如表2所示。
注：绝对误差=∣实际值—预测值∣，绝对百分比误差=绝对误差/实际值
由表2可知，该模型拟合的绝对误差以及绝对百分比误差都比较小，因此该模型拟合情况较好，可以用来预测，预测结果如表3所示。
四、模型的分析、总结和展望
（一）模型的分析
根据建立的股票价格指数的ARIMA模型可以看出，上证指数在2012年09月09日到09月14日期间虽然又涨又跌，但总体趋势是上升的，但是从15日之后，上证指数一直处于下跌状态，而且下跌的速度比较快。这可能是由于一下几个原因：首先，人们对经济的前景不乐观，甚至是悲观，从而造成市场投资信息不足；其次，市场资金面紧张也是其中一个原因。最近，政府为了给过热的经济降温，尤其是为了解决通货膨胀问题，采取了紧缩的货币政策，从而市场资金面趋于紧张；再次，外部环境也不利于股市的发展。自从欧洲债务危机爆发以来，其阴影一直笼罩着各个国家，中国不可能独善其身。
（二）总结和展望
由以上分析可知，ARIMA模型较好的解决了非平稳时间序列的建模问题，该股票价价指数的ARIMA模型的实际值与拟合值的绝对误差和百分比绝对误差都较小，拟合效果较好。因此，ARIMA模型可以在时间序列的预测方面有很好的表现。此外，借助计量经济软件EViews6.0，我们可很方便地将ARIMA模型应用于金融等时间序列的拟合和预测。但是，由于金融时间序列的复杂性，ARIMA模型在应用时也有一定的不足，因为ARIMA模型只适用于短期预测，若想预测几个月的数据，效果则不太理想。所以，更好的模拟还需进一步研究和探讨。
参考文献：
[1]陈海明，李东.灰色预测模型在股票价格中的应用[J].科研管理，2003（2）：29—31
[2]王 燕. 应用时间序列分析[M].北京：中国人民大学出版社，2005：1—184
[3]刘思峰，吴和成，菅利荣. 应用统计学[M]. 北京：高等教育出版社，2007：145—162
[4]吴朝阳.改进的灰色模型与ARMA模型的股指预测[J].智能系统学报，2010（3）：278—281
[5]王萍，陈碧玉.灰色理论模型在股价预测中的应用[J].应用技术，2007（3）：15—17
[6]高铁梅.计量经济分析方法与建模[M].北京：清华大学出版社，2009：147—188
[7]张文斌，樊亮.时间序列分析在我国居民消费水平预测中的应用[J].科技信息，2010（8）：11—15
[8]龚国勇.ARIMA模型在深圳GDP预测中的应用[J]. 数学的实践与认识 2008（4）：1—5