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摘要:“变式训练”是创新的重要途径,也是一种有效的数学教学途径,所以教师利用“变式训练”,能引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次地讨论和思考,使学生更深刻地理解数学知识,引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究“变”的规律,最终提高学生的思维能力和创新能力。我们作为教师应该将课堂还原给学生,给学生更多的时间思考和探索,要求我们的课堂要多种多样、多姿多彩,只要教师把握得好,发挥学生优势,主动探究,就是一种好的教学方法。
关键词:数学课堂;变式训练;简约;智慧;丰盈
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2017)10-0114
在平时的交流中,经常听到有教师在抱怨“这种题目已讲过许多遍了,学生还是错”,也有学生的无奈“老师,数学是我的弱势科目,我一直想通过自己的努力把它给提上来。为了让我们的学生在数学课中也能学得轻松、学得快乐,我们作为教师应该将课堂还原给学生,给学生更多的时间思考和探索,要一题多解、一题多变,一题激起千层浪,要求我们的课堂要多种多样,多姿多彩,只要教师把握得好,发挥学生优势,主动探究,就是一种好的教学方法。
下面就笔者几个变化的教学片断,说说自己的收获,供同行共勉:
一、改变背景,隐藏模型
在复习阶段,教师要有意识地引导学生对相关题目进行整理归类,要从千变万化的题目中找出共性(即基本图形),串在一起,使多道题目实质上变成一类题目。然而,現在大量的教辅书充斥市场,练习题不断推陈出新。茫茫题海,教师要惠眼识真,精选习题,扣紧知识点去粗取精。只有如此,才能真正意义上减轻学生的课业负担,留给学生自主思考、自主学习、自主发展的空间。这样的做法,往往节省时间,节省精力,目标明确,收效较好。那么如何去做呢?我们学校数学组集合全体九年级数学教师,建立题库,把同一类型的题目归纳:
案例:浙教版九年级上册第四章《相似三角形》的专题复习以一组平行线为载体的设计:引例:如图1和图2,点B、E、C在同一条直线上,且∠ABE=∠AED=∠C,我们不妨把具备这种条件的图形叫做“一线三等角”型基本图形。得到两个结论:
(1)△ABE∽△ECD,(2)AB·CD=EC·BE。我们把它们叫做“一线三等角”型基本图形的一般性质。
问题1:如图7,已知直线L1∥L2∥L3∥L4,相邻两条平行线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα= .
问题2:如图4,已知直线L1∥L2∥L3∥L4∥L5,相邻两条平行直线间的距离都相等,如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上,∠ABC=90°,AD∥BC,且AB=3AD,则tanα= .
问题3:如图5:现有一张宽为12cm的练习纸,相邻两条格线间的距离均为0.8cm。调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案,图案的顶点恰好在四条格线上(如图),测得∠α=32°。
(1)求矩形图案的面积;
(2)若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印(如图),最多能印几个完整的图案?
(参考数据:sin32°≈0.5,cos32°≈0.8,tan32°≈0.6)
品题:以上3个问题表面上各不相同,但其本质相同,都可以通过适当的添线,构造出引例中的“一线三等角”的基本图形,达到应用基本图形解决问题的目的,复习阶段教师将同类问题像“链条”一样串起来,多题归一,环环相扣,层层递进,知其方法。通其变化,真正达到有机重组,追求更轻松的课堂。
二、动手操作,折出简约
上虞市八年级数学期末考试试卷中有一道关于折纸的试题,后来笔者在进行专题复习时,联想到折纸也是中考的热点问题,笔者就以《折纸中的数学问题》给自己的学生来了一节动手活动课,这一内容是当前中考的热点问题,能选的题目很多。而笔者平时有空时,喜欢翻一翻全国各地区的中考试题,所以选题并没有花自己多大工夫。以下是笔者所选的几个例题:
(教学片断):
问题1:将矩形ABCD沿对角线AC折叠。
(1)猜想叠合部分是什么图形?并验证你的猜想。
(2)若矩形ABCD中AD=4,AB=3,求叠合部分的面积。
问题2:折叠矩形ABCD,让AB落在对角线AC上。
(1)你能确定折叠后点B的位置?(折一折,想一想)
(2)若矩形ABCD中,AD=4,AB=3,你能求出图中哪些线段的长度?并与你的同伴交流。
(前面两个小问题较简单,同学们都马上上手了)
问题3:如图:将边长为1的正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后BC与交于点G。
(1)若M是CD的中点。求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5
(2)若M是CD上的任意一点,连接AM,猜想AM与EF的关系,并加以验证。
(3)设DM的长为x,梯形CDEF的面积为S,那么是否存在S的最大值?若存在,请求出这个最大值及此时x的值;若不存在,请说明理由。
(后面的两个小问题涉及到的知识较复杂,通过生生交流、师生交流解决)
收获:由于折纸是日常生活中常见的动手操作活动,以折叠为背景的几何题,应抓住图形变换中的某些对应元素(边或角)相等这一关键因素来寻找解题途径。动手可以让学生更直观的进行观察、验证、推理、交流等数学活动,动手也能使课堂更加生动活泼、主动和富有个性。所以,笔者在课外让学生分别准备好两张矩形纸片、两张正方形纸片。人人动手试一试,学生学得轻松,真正达到减负目的,真正追求了我们所要的简约课堂。 三、动静结合,分类讨论
在平时教学中,我们应该多对一个已有的习题进行系列改编变式,形成一个题组或题链,在变式探究的过程中,学生的思维逐步深入,有利于促进学生对知识本质的认识,对各种数学思想方法的熟练掌握,有利于培养学生思维的灵活性和深刻性,让学生体会每个条件所起的作用,从而让学生明白一般题目变式可以从改变非本质的条件入手,有能力的学习可在平时的学习中尝试改变题目,体会题目可以变的原因。这样的尝试是有价值的,它可以改变学生拿来题就做的习惯,如果能在七年级就开始培养这种习惯,我们不仅可以培养一支会解题的学生,还能培养一支会思考的学生,会编题的学生,会知一而知其二,那将是学生学习方法的一种突破。
我们有许多这样的素材可以加以改編运用,其中教材的例题、习题就是一个很好的来源。
例如:如图(1),O为正方形ABCD内一点,过点O的两条互相垂直的直线与正方形的两组对边交于点E,F,G,H,求证:EF=GH。
此题源于浙教版八年级下册中的一道习题,学生很快就能证明此题。
变式1:在例题中,如果将点O移动到正方形外,如图(2),其他条件不变,是否还类似的结论?结论如何表述?
解决变式1后,再对例题进行变化,提出如下问题:
变式2:如图(3),已知O为矩形ABCD内一点,过点O作两条互相垂直的直线分别交矩形于点E,F,G,H,则EF与GH又存在着怎样的关系呢?变式3:把点O移到矩形ABCD外(如图4)是否还有同样的结论?结论又该如何表述?
类似地,我们还可以进一步探究如下,如把矩形改为平行四边形,是否还有类似的结论?结论该如何表述呢?如果点O在平行四边形的外面呢?
体会:在平时的复习教学中,我们若能经常这样来设计一定量相互衔接和过渡的,具有知识、能力层次、梯度要求的变式问题,必能优化学生的知识结构,提升学生灵活应用知识、分析问题、解决问题的能力。
教学有法,但无定法,贵在得法。从“一图多变、一题多编、一题多串”等方面改造经典习题,进行适当的变式、引申、拓展,挖掘其潜在的功能,教师解放学生,学生勇于实践。让学生成为主体,就要真正地解放学生,而不要用考试、作业压学生,逼得学生在教师定下的框框里不敢出来。教材中习题变化与拓展后,师生经常一节课只研究一个问题(进行一题多解和一题多变),有时到下课了还没有研究结束,但这样的教学效果较好,学生得到的是思想方法,是情感体验,是个性发展,学生对数学知识理解深刻,独立性高,知识迁移能力强。它改变了学生对数学解题的恐惧心理,开始从相似度很高、非常机械的试卷练习中解脱出来,激发了学习数学的兴趣,在一定体会到了“在多样的变化中领略数学的魅力,在层层的演变中体会数学的快乐。
(作者单位:浙江省上虞区沥海镇中学 312300)
关键词:数学课堂;变式训练;简约;智慧;丰盈
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2017)10-0114
在平时的交流中,经常听到有教师在抱怨“这种题目已讲过许多遍了,学生还是错”,也有学生的无奈“老师,数学是我的弱势科目,我一直想通过自己的努力把它给提上来。为了让我们的学生在数学课中也能学得轻松、学得快乐,我们作为教师应该将课堂还原给学生,给学生更多的时间思考和探索,要一题多解、一题多变,一题激起千层浪,要求我们的课堂要多种多样,多姿多彩,只要教师把握得好,发挥学生优势,主动探究,就是一种好的教学方法。
下面就笔者几个变化的教学片断,说说自己的收获,供同行共勉:
一、改变背景,隐藏模型
在复习阶段,教师要有意识地引导学生对相关题目进行整理归类,要从千变万化的题目中找出共性(即基本图形),串在一起,使多道题目实质上变成一类题目。然而,現在大量的教辅书充斥市场,练习题不断推陈出新。茫茫题海,教师要惠眼识真,精选习题,扣紧知识点去粗取精。只有如此,才能真正意义上减轻学生的课业负担,留给学生自主思考、自主学习、自主发展的空间。这样的做法,往往节省时间,节省精力,目标明确,收效较好。那么如何去做呢?我们学校数学组集合全体九年级数学教师,建立题库,把同一类型的题目归纳:
案例:浙教版九年级上册第四章《相似三角形》的专题复习以一组平行线为载体的设计:引例:如图1和图2,点B、E、C在同一条直线上,且∠ABE=∠AED=∠C,我们不妨把具备这种条件的图形叫做“一线三等角”型基本图形。得到两个结论:
(1)△ABE∽△ECD,(2)AB·CD=EC·BE。我们把它们叫做“一线三等角”型基本图形的一般性质。
问题1:如图7,已知直线L1∥L2∥L3∥L4,相邻两条平行线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα= .
问题2:如图4,已知直线L1∥L2∥L3∥L4∥L5,相邻两条平行直线间的距离都相等,如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上,∠ABC=90°,AD∥BC,且AB=3AD,则tanα= .
问题3:如图5:现有一张宽为12cm的练习纸,相邻两条格线间的距离均为0.8cm。调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案,图案的顶点恰好在四条格线上(如图),测得∠α=32°。
(1)求矩形图案的面积;
(2)若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印(如图),最多能印几个完整的图案?
(参考数据:sin32°≈0.5,cos32°≈0.8,tan32°≈0.6)
品题:以上3个问题表面上各不相同,但其本质相同,都可以通过适当的添线,构造出引例中的“一线三等角”的基本图形,达到应用基本图形解决问题的目的,复习阶段教师将同类问题像“链条”一样串起来,多题归一,环环相扣,层层递进,知其方法。通其变化,真正达到有机重组,追求更轻松的课堂。
二、动手操作,折出简约
上虞市八年级数学期末考试试卷中有一道关于折纸的试题,后来笔者在进行专题复习时,联想到折纸也是中考的热点问题,笔者就以《折纸中的数学问题》给自己的学生来了一节动手活动课,这一内容是当前中考的热点问题,能选的题目很多。而笔者平时有空时,喜欢翻一翻全国各地区的中考试题,所以选题并没有花自己多大工夫。以下是笔者所选的几个例题:
(教学片断):
问题1:将矩形ABCD沿对角线AC折叠。
(1)猜想叠合部分是什么图形?并验证你的猜想。
(2)若矩形ABCD中AD=4,AB=3,求叠合部分的面积。
问题2:折叠矩形ABCD,让AB落在对角线AC上。
(1)你能确定折叠后点B的位置?(折一折,想一想)
(2)若矩形ABCD中,AD=4,AB=3,你能求出图中哪些线段的长度?并与你的同伴交流。
(前面两个小问题较简单,同学们都马上上手了)
问题3:如图:将边长为1的正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后BC与交于点G。
(1)若M是CD的中点。求证:DE∶DM∶EM=3∶4∶5
(2)若M是CD上的任意一点,连接AM,猜想AM与EF的关系,并加以验证。
(3)设DM的长为x,梯形CDEF的面积为S,那么是否存在S的最大值?若存在,请求出这个最大值及此时x的值;若不存在,请说明理由。
(后面的两个小问题涉及到的知识较复杂,通过生生交流、师生交流解决)
收获:由于折纸是日常生活中常见的动手操作活动,以折叠为背景的几何题,应抓住图形变换中的某些对应元素(边或角)相等这一关键因素来寻找解题途径。动手可以让学生更直观的进行观察、验证、推理、交流等数学活动,动手也能使课堂更加生动活泼、主动和富有个性。所以,笔者在课外让学生分别准备好两张矩形纸片、两张正方形纸片。人人动手试一试,学生学得轻松,真正达到减负目的,真正追求了我们所要的简约课堂。 三、动静结合,分类讨论
在平时教学中,我们应该多对一个已有的习题进行系列改编变式,形成一个题组或题链,在变式探究的过程中,学生的思维逐步深入,有利于促进学生对知识本质的认识,对各种数学思想方法的熟练掌握,有利于培养学生思维的灵活性和深刻性,让学生体会每个条件所起的作用,从而让学生明白一般题目变式可以从改变非本质的条件入手,有能力的学习可在平时的学习中尝试改变题目,体会题目可以变的原因。这样的尝试是有价值的,它可以改变学生拿来题就做的习惯,如果能在七年级就开始培养这种习惯,我们不仅可以培养一支会解题的学生,还能培养一支会思考的学生,会编题的学生,会知一而知其二,那将是学生学习方法的一种突破。
我们有许多这样的素材可以加以改編运用,其中教材的例题、习题就是一个很好的来源。
例如:如图(1),O为正方形ABCD内一点,过点O的两条互相垂直的直线与正方形的两组对边交于点E,F,G,H,求证:EF=GH。
此题源于浙教版八年级下册中的一道习题,学生很快就能证明此题。
变式1:在例题中,如果将点O移动到正方形外,如图(2),其他条件不变,是否还类似的结论?结论如何表述?
解决变式1后,再对例题进行变化,提出如下问题:
变式2:如图(3),已知O为矩形ABCD内一点,过点O作两条互相垂直的直线分别交矩形于点E,F,G,H,则EF与GH又存在着怎样的关系呢?变式3:把点O移到矩形ABCD外(如图4)是否还有同样的结论?结论又该如何表述?
类似地,我们还可以进一步探究如下,如把矩形改为平行四边形,是否还有类似的结论?结论该如何表述呢?如果点O在平行四边形的外面呢?
体会:在平时的复习教学中,我们若能经常这样来设计一定量相互衔接和过渡的,具有知识、能力层次、梯度要求的变式问题,必能优化学生的知识结构,提升学生灵活应用知识、分析问题、解决问题的能力。
教学有法,但无定法,贵在得法。从“一图多变、一题多编、一题多串”等方面改造经典习题,进行适当的变式、引申、拓展,挖掘其潜在的功能,教师解放学生,学生勇于实践。让学生成为主体,就要真正地解放学生,而不要用考试、作业压学生,逼得学生在教师定下的框框里不敢出来。教材中习题变化与拓展后,师生经常一节课只研究一个问题(进行一题多解和一题多变),有时到下课了还没有研究结束,但这样的教学效果较好,学生得到的是思想方法,是情感体验,是个性发展,学生对数学知识理解深刻,独立性高,知识迁移能力强。它改变了学生对数学解题的恐惧心理,开始从相似度很高、非常机械的试卷练习中解脱出来,激发了学习数学的兴趣,在一定体会到了“在多样的变化中领略数学的魅力,在层层的演变中体会数学的快乐。
(作者单位:浙江省上虞区沥海镇中学 312300)