论文部分内容阅读
摘要：“变式训练”是创新的重要途径，也是一种有效的数学教学途径，所以教师利用“变式训练”，能引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次地讨论和思考，使学生更深刻地理解数学知识，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，最终提高学生的思维能力和创新能力。我们作为教师应该将课堂还原给学生，给学生更多的时间思考和探索，要求我们的课堂要多种多样、多姿多彩，只要教师把握得好，发挥学生优势，主动探究，就是一种好的教学方法。
关键词：数学课堂；变式训练；简约；智慧；丰盈
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）10-0114
在平时的交流中，经常听到有教师在抱怨“这种题目已讲过许多遍了，学生还是错”，也有学生的无奈“老师，数学是我的弱势科目，我一直想通过自己的努力把它给提上来。为了让我们的学生在数学课中也能学得轻松、学得快乐，我们作为教师应该将课堂还原给学生，给学生更多的时间思考和探索，要一题多解、一题多变，一题激起千层浪，要求我们的课堂要多种多样，多姿多彩，只要教师把握得好，发挥学生优势，主动探究，就是一种好的教学方法。
下面就笔者几个变化的教学片断，说说自己的收获，供同行共勉：
一、改变背景，隐藏模型
在复习阶段，教师要有意识地引导学生对相关题目进行整理归类，要从千变万化的题目中找出共性（即基本图形），串在一起，使多道题目实质上变成一类题目。然而，現在大量的教辅书充斥市场，练习题不断推陈出新。茫茫题海，教师要惠眼识真，精选习题，扣紧知识点去粗取精。只有如此，才能真正意义上减轻学生的课业负担，留给学生自主思考、自主学习、自主发展的空间。这样的做法，往往节省时间，节省精力，目标明确，收效较好。那么如何去做呢？我们学校数学组集合全体九年级数学教师，建立题库，把同一类型的题目归纳：
案例：浙教版九年级上册第四章《相似三角形》的专题复习以一组平行线为载体的设计：引例：如图1和图2，点B、E、C在同一条直线上，且∠ABE=∠AED=∠C，我们不妨把具备这种条件的图形叫做“一线三等角”型基本图形。得到两个结论：
（1）△ABE∽△ECD，（2）AB·CD=EC·BE。我们把它们叫做“一线三等角”型基本图形的一般性质。
问题1：如图7，已知直线L1∥L2∥L3∥L4，相邻两条平行线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα= .
问题2：如图4，已知直线L1∥L2∥L3∥L4∥L5，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC=90°，AD∥BC，且AB=3AD，则tanα= .
问题3：如图5：现有一张宽为12cm的练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm。调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α=32°。
（1）求矩形图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？
（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
品题：以上3个问题表面上各不相同，但其本质相同，都可以通过适当的添线，构造出引例中的“一线三等角”的基本图形，达到应用基本图形解决问题的目的，复习阶段教师将同类问题像“链条”一样串起来，多题归一，环环相扣，层层递进，知其方法。通其变化，真正达到有机重组，追求更轻松的课堂。
二、动手操作，折出简约
上虞市八年级数学期末考试试卷中有一道关于折纸的试题，后来笔者在进行专题复习时，联想到折纸也是中考的热点问题，笔者就以《折纸中的数学问题》给自己的学生来了一节动手活动课，这一内容是当前中考的热点问题，能选的题目很多。而笔者平时有空时，喜欢翻一翻全国各地区的中考试题，所以选题并没有花自己多大工夫。以下是笔者所选的几个例题：
（教学片断）：
问题1：将矩形ABCD沿对角线AC折叠。
（1）猜想叠合部分是什么图形？并验证你的猜想。
（2）若矩形ABCD中AD=4，AB=3，求叠合部分的面积。
问题2：折叠矩形ABCD，让AB落在对角线AC上。
（1）你能确定折叠后点B的位置？（折一折，想一想）
（2）若矩形ABCD中，AD=4，AB=3，你能求出图中哪些线段的长度？并与你的同伴交流。
（前面两个小问题较简单，同学们都马上上手了）
问题3：如图：将边长为1的正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后BC与交于点G。
（1）若M是CD的中点。求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5
（2）若M是CD上的任意一点，连接AM，猜想AM与EF的关系，并加以验证。
（3）设DM的长为x，梯形CDEF的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由。
（后面的两个小问题涉及到的知识较复杂，通过生生交流、师生交流解决）
收获：由于折纸是日常生活中常见的动手操作活动，以折叠为背景的几何题，应抓住图形变换中的某些对应元素（边或角）相等这一关键因素来寻找解题途径。动手可以让学生更直观的进行观察、验证、推理、交流等数学活动，动手也能使课堂更加生动活泼、主动和富有个性。所以，笔者在课外让学生分别准备好两张矩形纸片、两张正方形纸片。人人动手试一试，学生学得轻松，真正达到减负目的，真正追求了我们所要的简约课堂。 三、动静结合，分类讨论
在平时教学中，我们应该多对一个已有的习题进行系列改编变式，形成一个题组或题链，在变式探究的过程中，学生的思维逐步深入，有利于促进学生对知识本质的认识，对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性，让学生体会每个条件所起的作用，从而让学生明白一般题目变式可以从改变非本质的条件入手，有能力的学习可在平时的学习中尝试改变题目，体会题目可以变的原因。这样的尝试是有价值的，它可以改变学生拿来题就做的习惯，如果能在七年级就开始培养这种习惯，我们不仅可以培养一支会解题的学生，还能培养一支会思考的学生，会编题的学生，会知一而知其二，那将是学生学习方法的一种突破。
我们有许多这样的素材可以加以改編运用，其中教材的例题、习题就是一个很好的来源。
例如：如图（1），O为正方形ABCD内一点，过点O的两条互相垂直的直线与正方形的两组对边交于点E，F，G，H，求证：EF=GH。
此题源于浙教版八年级下册中的一道习题，学生很快就能证明此题。
变式1：在例题中，如果将点O移动到正方形外，如图（2），其他条件不变，是否还类似的结论？结论如何表述？
解决变式1后，再对例题进行变化，提出如下问题：
变式2：如图（3），已知O为矩形ABCD内一点，过点O作两条互相垂直的直线分别交矩形于点E，F，G，H，则EF与GH又存在着怎样的关系呢？变式3：把点O移到矩形ABCD外（如图4）是否还有同样的结论？结论又该如何表述？
类似地，我们还可以进一步探究如下，如把矩形改为平行四边形，是否还有类似的结论？结论该如何表述呢？如果点O在平行四边形的外面呢？
体会：在平时的复习教学中，我们若能经常这样来设计一定量相互衔接和过渡的，具有知识、能力层次、梯度要求的变式问题，必能优化学生的知识结构，提升学生灵活应用知识、分析问题、解决问题的能力。
教学有法，但无定法，贵在得法。从“一图多变、一题多编、一题多串”等方面改造经典习题，进行适当的变式、引申、拓展，挖掘其潜在的功能，教师解放学生，学生勇于实践。让学生成为主体，就要真正地解放学生，而不要用考试、作业压学生，逼得学生在教师定下的框框里不敢出来。教材中习题变化与拓展后，师生经常一节课只研究一个问题（进行一题多解和一题多变），有时到下课了还没有研究结束，但这样的教学效果较好，学生得到的是思想方法，是情感体验，是个性发展，学生对数学知识理解深刻，独立性高，知识迁移能力强。它改变了学生对数学解题的恐惧心理，开始从相似度很高、非常机械的试卷练习中解脱出来，激发了学习数学的兴趣，在一定体会到了“在多样的变化中领略数学的魅力，在层层的演变中体会数学的快乐。
（作者单位：浙江省上虞区沥海镇中学 312300）
关键词：数学课堂；变式训练；简约；智慧；丰盈
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）10-0114
在平时的交流中，经常听到有教师在抱怨“这种题目已讲过许多遍了，学生还是错”，也有学生的无奈“老师，数学是我的弱势科目，我一直想通过自己的努力把它给提上来。为了让我们的学生在数学课中也能学得轻松、学得快乐，我们作为教师应该将课堂还原给学生，给学生更多的时间思考和探索，要一题多解、一题多变，一题激起千层浪，要求我们的课堂要多种多样，多姿多彩，只要教师把握得好，发挥学生优势，主动探究，就是一种好的教学方法。
下面就笔者几个变化的教学片断，说说自己的收获，供同行共勉：
一、改变背景，隐藏模型
在复习阶段，教师要有意识地引导学生对相关题目进行整理归类，要从千变万化的题目中找出共性（即基本图形），串在一起，使多道题目实质上变成一类题目。然而，現在大量的教辅书充斥市场，练习题不断推陈出新。茫茫题海，教师要惠眼识真，精选习题，扣紧知识点去粗取精。只有如此，才能真正意义上减轻学生的课业负担，留给学生自主思考、自主学习、自主发展的空间。这样的做法，往往节省时间，节省精力，目标明确，收效较好。那么如何去做呢？我们学校数学组集合全体九年级数学教师，建立题库，把同一类型的题目归纳：
案例：浙教版九年级上册第四章《相似三角形》的专题复习以一组平行线为载体的设计：引例：如图1和图2，点B、E、C在同一条直线上，且∠ABE=∠AED=∠C，我们不妨把具备这种条件的图形叫做“一线三等角”型基本图形。得到两个结论：
（1）△ABE∽△ECD，（2）AB·CD=EC·BE。我们把它们叫做“一线三等角”型基本图形的一般性质。
问题1：如图7，已知直线L1∥L2∥L3∥L4，相邻两条平行线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα= .
问题2：如图4，已知直线L1∥L2∥L3∥L4∥L5，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，∠ABC=90°，AD∥BC，且AB=3AD，则tanα= .
问题3：如图5：现有一张宽为12cm的练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm。调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α=32°。
（1）求矩形图案的面积；
（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？
（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）
品题：以上3个问题表面上各不相同，但其本质相同，都可以通过适当的添线，构造出引例中的“一线三等角”的基本图形，达到应用基本图形解决问题的目的，复习阶段教师将同类问题像“链条”一样串起来，多题归一，环环相扣，层层递进，知其方法。通其变化，真正达到有机重组，追求更轻松的课堂。
二、动手操作，折出简约
上虞市八年级数学期末考试试卷中有一道关于折纸的试题，后来笔者在进行专题复习时，联想到折纸也是中考的热点问题，笔者就以《折纸中的数学问题》给自己的学生来了一节动手活动课，这一内容是当前中考的热点问题，能选的题目很多。而笔者平时有空时，喜欢翻一翻全国各地区的中考试题，所以选题并没有花自己多大工夫。以下是笔者所选的几个例题：
（教学片断）：
问题1：将矩形ABCD沿对角线AC折叠。
（1）猜想叠合部分是什么图形？并验证你的猜想。
（2）若矩形ABCD中AD=4，AB=3，求叠合部分的面积。
问题2：折叠矩形ABCD，让AB落在对角线AC上。
（1）你能确定折叠后点B的位置？（折一折，想一想）
（2）若矩形ABCD中，AD=4，AB=3，你能求出图中哪些线段的长度？并与你的同伴交流。
（前面两个小问题较简单，同学们都马上上手了）
问题3：如图：将边长为1的正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后BC与交于点G。
（1）若M是CD的中点。求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5
（2）若M是CD上的任意一点，连接AM，猜想AM与EF的关系，并加以验证。
（3）设DM的长为x，梯形CDEF的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由。
（后面的两个小问题涉及到的知识较复杂，通过生生交流、师生交流解决）
收获：由于折纸是日常生活中常见的动手操作活动，以折叠为背景的几何题，应抓住图形变换中的某些对应元素（边或角）相等这一关键因素来寻找解题途径。动手可以让学生更直观的进行观察、验证、推理、交流等数学活动，动手也能使课堂更加生动活泼、主动和富有个性。所以，笔者在课外让学生分别准备好两张矩形纸片、两张正方形纸片。人人动手试一试，学生学得轻松，真正达到减负目的，真正追求了我们所要的简约课堂。 三、动静结合，分类讨论
在平时教学中，我们应该多对一个已有的习题进行系列改编变式，形成一个题组或题链，在变式探究的过程中，学生的思维逐步深入，有利于促进学生对知识本质的认识，对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性，让学生体会每个条件所起的作用，从而让学生明白一般题目变式可以从改变非本质的条件入手，有能力的学习可在平时的学习中尝试改变题目，体会题目可以变的原因。这样的尝试是有价值的，它可以改变学生拿来题就做的习惯，如果能在七年级就开始培养这种习惯，我们不仅可以培养一支会解题的学生，还能培养一支会思考的学生，会编题的学生，会知一而知其二，那将是学生学习方法的一种突破。
我们有许多这样的素材可以加以改編运用，其中教材的例题、习题就是一个很好的来源。
例如：如图（1），O为正方形ABCD内一点，过点O的两条互相垂直的直线与正方形的两组对边交于点E，F，G，H，求证：EF=GH。
此题源于浙教版八年级下册中的一道习题，学生很快就能证明此题。
变式1：在例题中，如果将点O移动到正方形外，如图（2），其他条件不变，是否还类似的结论？结论如何表述？
解决变式1后，再对例题进行变化，提出如下问题：
变式2：如图（3），已知O为矩形ABCD内一点，过点O作两条互相垂直的直线分别交矩形于点E，F，G，H，则EF与GH又存在着怎样的关系呢？变式3：把点O移到矩形ABCD外（如图4）是否还有同样的结论？结论又该如何表述？
类似地，我们还可以进一步探究如下，如把矩形改为平行四边形，是否还有类似的结论？结论该如何表述呢？如果点O在平行四边形的外面呢？
体会：在平时的复习教学中，我们若能经常这样来设计一定量相互衔接和过渡的，具有知识、能力层次、梯度要求的变式问题，必能优化学生的知识结构，提升学生灵活应用知识、分析问题、解决问题的能力。
教学有法，但无定法，贵在得法。从“一图多变、一题多编、一题多串”等方面改造经典习题，进行适当的变式、引申、拓展，挖掘其潜在的功能，教师解放学生，学生勇于实践。让学生成为主体，就要真正地解放学生，而不要用考试、作业压学生，逼得学生在教师定下的框框里不敢出来。教材中习题变化与拓展后，师生经常一节课只研究一个问题（进行一题多解和一题多变），有时到下课了还没有研究结束，但这样的教学效果较好，学生得到的是思想方法，是情感体验，是个性发展，学生对数学知识理解深刻，独立性高，知识迁移能力强。它改变了学生对数学解题的恐惧心理，开始从相似度很高、非常机械的试卷练习中解脱出来，激发了学习数学的兴趣，在一定体会到了“在多样的变化中领略数学的魅力，在层层的演变中体会数学的快乐。
（作者单位：浙江省上虞区沥海镇中学 312300）