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摘 要：数量关系是解决问题的基础，是一种有数学价值的解决问题的模式。对数量关系的剖析、提炼、概括、分析，有利于帮助学生建立数学模型思想，培养学生的逻辑思维能力、解题能力，发展学生的创新能力，有利于学生学习“有价值的数学”。
关键词：数量关系;小学数学;解决问题;重要性
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学。什么是数量关系？数量关系是从一类具有共同规律的数学问题中总结出来的揭示某些数量之间的本质联系，并以数量关系式来表示这种联系的关系。众所周知，过去解答应用题的“金钥匙”是分析数量关系，也可以说应用题教学离不开数量关系的分析。然而，新课程改革后，新教材不再出现“应用题”字眼，而是“解决问题”，那么，数量关系的分析对解决问题还存在重要作用吗？
随着我国新课程的改革和进一步实施，小学数学教学在新课程理念下提出了新的教学目标。教学的重点不在于提高学生的成绩，而是要帮助学生建立数学思维，养成良好的学习习惯，掌握解决实际问题的能力。《义务教育数学课程标准（2011版）》在“解决问题”课程目标中有这样的表述：“初步学会从数学角度提出問题、理解问题，并且能够综合运用所学知识解决问题，发展应用意识;掌握解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样化，发展实践能力和创新精神。”现在的“解决问题”与传统的“应用题”虽然在呈现方式、素材范围、学习内容、价值取向、教学方法等方面存在一定的差异，但这种差异是建立在让学生更好地感知数学、理解数学、应用数学的基础上的，而解决问题的数学化过程仍然是建立在数量关系分析的基础上，其解决问题的思维本质还是相同的，数量关系在现在解决问题教学中仍然具有重要指导作用。它为小学生解决同类数学问题指明了方向，提供了基本方法，是解决问题的基础，是一种有数学价值的解决问题的模式。本文就从以下三个方面来谈谈数量关系在小学数学解决问题中的重要性。
一、数量关系为学生建立数学模型思想提供了思维模式
数学学习始终是一个抽象概括，不断建立数学模型的过程。在《义务教育数学课程标准（2011版）》中也明确指出：“义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”可见，建立数学模型仍然是小学数学教学中的一项重要任务。数量关系（尤其是数量关系式）作为数学模型的一个重要组成部分，为学生解决数学问题提供了思维方式和支撑。因此，指导学生解决实际问题的关键是帮助学生建立数学模型。什么是数学模型？数学模型一般指在解决实际问题中，要求学生将实际问题概括或抽象为数学模型来求解。简单地说，数学模型的建立就是在问题中找到已知量和未知量之间的数学关系，形成数学结构，找到规律，沿着正确的思维模式去分析并解决问题。
例如，在北师大版四年级上册“除法”中有一问题：一辆平均速度为98千米/小时的火车从北京到上海需要约15小时。我问：从北京到上海有多少千米？学生通过审题，分析理解，很快得出：98×15=1470（千米）;我再问：京沪高铁开通后，一辆高速动车从北京到上海只需5小时左右，这辆高速动车的速度是多少？由前一问题的解答，学生也可推出：1470÷5=294（千米/小时）。最后，我引导学生回顾整个分析解答的过程，他们通过自己的观察发现，得出以下数量关系式：速度×时间=路程，路程÷时间=速度。于是，懂得在以后学习中遇到同类的路程问题，就可以用此数量关系式来解决。可见，生活中的实际问题就是这样抽象成数学模型后得以解决的。
二、数量关系是培养学生解题能力的重要途径
解决问题的关键在于找到解决办法。解决办法的发现就是要找出问题与条件之间的联系，通过分析隐含条件，进行从已知到未知的转换，最终解决问题。事实上，在解决问题的过程中，学生解题策略、思路的产生都必须建立在对题目基本数量关系的理解和把握上，解答的正确与否取决于能否正确对数量关系进行分析。
在课堂上，我们经常看到这样的现象：当学生面对较复杂的问题感到无从下手时，老师引导他们抓住题目的基本数量关系（即题目中条件和问题之间的本质关系），他们就可以找到切入点，进而顺利解决问题。事实证明：在解决问题时，都是有意或无意地运用数量关系的。一是根据数量关系推断先算什么，后算什么;二是根据数量关系确定每步用什么方法算，如何列式。可见，引导学生学会分析数量关系是培养学生解题能力的重要途径。
如北师大版六年级上册第四单元“百分数”中有一个问题：笑笑买了一支圆珠笔和一支钢笔，一共用去24元，圆珠笔的单价是钢笔的1/5，圆珠笔和钢笔的单价各是多少元？初看题目，许多学生会觉得很难。但是通过分析数量关系，问题就变得简单多了：圆珠笔的价钱 钢笔的价钱=24元，圆珠笔的价钱=钢笔的价钱×1/5，或者钢笔的价钱=圆珠笔的价钱×5。有了关于价钱的数量关系作为列式计算的理论依据，实际问题的解决变得不再困难。
三、数量关系是培养学生创新能力的重要台阶
数学的价值在于它源于生活，而又应用于生活。学生学习数学的最终目的是应用数学知识解决生活中的实际问题，但是要解决什么样的问题呢？是前人早已解决的问题吗？还是人们还没有解决的问题呢？对于小学生来说还是以解决前人已经解决的问题为主。那么，解决这样的“不是问题的问题”的价值何在？事实上，通过解决这些“不是问题的问题”，不仅可以使学生学会解决问题的技能和方法，体验到数学无处不在、无处不用，培养学生热爱数学的积极情感;还可以使学生在解决问题的过程中，通过对数学知识、技能的“操练”，进一步丰富认知结构，奠定坚实的基础，提升思维能力。最重要的一点是在解决问题的过程中，可以有意识地培养学生勇于探索、敢于创新的精神和能力，教会学生探索和创新的基本方法，为其今后解决纷繁复杂的实际问题打下创新意识、精神和方法的基础。 这种创新能力的培养在解决实际问题的教学中具体体现为：一是引导学生学会抽象思考。要善于把要解决的实际生活问题去粗取细，去伪存真，转化成数学问题;二是引导学生学会分析。要学会用猜想、验证、推理、归纳等思维方法去分析数量关系，还要学会运用画图、举例、演示、实验等辅助手段理解题目内容，理清数量关系;三是引导学生学会概括归纳、反思。如在分析、解决问题的过程中，用到哪些数学知识？你对这些知识又有什么新的认识？你又掌握了哪些解决问题的方法？解决这个问题还有其他方法吗等。通过概括、反思，引导学生建立这类问题的模型，提高认知能力;四是引导学生学会应用。解决问题的学习，从生活问题开始，最后又回到生活问题，这个过程不是原地画圈，而是沿着台阶层层上升，学生在此过程中完成了感性认识到理性认识的不断发展。应用所学解决新的、更为复杂的问题的过程，无疑是一个创新思维和创造能力发展的过程。当然，在运用数量关系解决问题的训练过程中，则要把握一个“度”，重理解感悟，重实践应用，坚决摒弃游离于思维以外的“套路”式机械训练，要以学生能说出思维过程，能说出其中道理，进而达到在迁移应用基础上进行创新应用为目的。
北京师范大学周玉仁教授在《关于“解决问题”教学的若干问题的思考》一文中指出：小学生在解决问题的过程中，实质是完成了两次认识的转化，第一个转化是指从纷乱的实际问题中收集、观察、比较、筛选出有用的信息，从而抽象出数学问题;第二个转化是根据已经抽象出的数学问题，全面分析其中的数量关系，从而探索解决问题的方法，进而在实践中进行检验和应用。这两个转变是相辅相成、缺一不可的。事实上，传统问题教学过于注重二次转化，忽视了学生发现问题、提出问题的过程;课程改革后，教学的重点过于集中于对信息的汇总，使得数量关系的形成与分析相对薄弱，导致教学难免从“生活情境”直接走向“应用”，忽视了“数量关系形成”的重要数学建模过程。这样的教学削减了学生解决问题时的思维过程，减少了学生数学理解空间的发展，远远未达到“解决问题”的教学目标。
因此，一线教师應该清晰地看到：在新课程对解决问题的教学改革中，数量关系的教学仍是重要环节，它将承载着学生的认知“由表及里”“由浅入深”的质的飞跃。在解决问题的教学中，对数量关系的剖析、提炼、概括、分析，有利于帮助学生建立数学模型思想，培养学生的逻辑思维能力、解题能力，发展学生的创新能力，有利于学生学习“有价值的数学”。学生只有形成对数量关系的整体认识和结构把握，形成运用数量关系解决实际问题的基本能力，才能真正学会用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，去主动解决实际问题。
参考文献：
[1]郑玉奇.浅谈应用题教学[J].中外教学研究，2007（11）.
[2]施玫瑛，卓和平.“数量关系”在解决问题中的价值和作用[J].福建教育，2009.
[3]巢洪政.数量关系的本质、作用及教学[J].江苏教育，2010.
[4]丁国忠.数学应用：对应用题的超越：对小学数学教材中“数学应用”编写的几点思考[J].课程·教材·教法，2008.
编辑 王彦清
关键词：数量关系;小学数学;解决问题;重要性
数学是一门研究数量关系和空间形式的科学。什么是数量关系？数量关系是从一类具有共同规律的数学问题中总结出来的揭示某些数量之间的本质联系，并以数量关系式来表示这种联系的关系。众所周知，过去解答应用题的“金钥匙”是分析数量关系，也可以说应用题教学离不开数量关系的分析。然而，新课程改革后，新教材不再出现“应用题”字眼，而是“解决问题”，那么，数量关系的分析对解决问题还存在重要作用吗？
随着我国新课程的改革和进一步实施，小学数学教学在新课程理念下提出了新的教学目标。教学的重点不在于提高学生的成绩，而是要帮助学生建立数学思维，养成良好的学习习惯，掌握解决实际问题的能力。《义务教育数学课程标准（2011版）》在“解决问题”课程目标中有这样的表述：“初步学会从数学角度提出問题、理解问题，并且能够综合运用所学知识解决问题，发展应用意识;掌握解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样化，发展实践能力和创新精神。”现在的“解决问题”与传统的“应用题”虽然在呈现方式、素材范围、学习内容、价值取向、教学方法等方面存在一定的差异，但这种差异是建立在让学生更好地感知数学、理解数学、应用数学的基础上的，而解决问题的数学化过程仍然是建立在数量关系分析的基础上，其解决问题的思维本质还是相同的，数量关系在现在解决问题教学中仍然具有重要指导作用。它为小学生解决同类数学问题指明了方向，提供了基本方法，是解决问题的基础，是一种有数学价值的解决问题的模式。本文就从以下三个方面来谈谈数量关系在小学数学解决问题中的重要性。
一、数量关系为学生建立数学模型思想提供了思维模式
数学学习始终是一个抽象概括，不断建立数学模型的过程。在《义务教育数学课程标准（2011版）》中也明确指出：“义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”可见，建立数学模型仍然是小学数学教学中的一项重要任务。数量关系（尤其是数量关系式）作为数学模型的一个重要组成部分，为学生解决数学问题提供了思维方式和支撑。因此，指导学生解决实际问题的关键是帮助学生建立数学模型。什么是数学模型？数学模型一般指在解决实际问题中，要求学生将实际问题概括或抽象为数学模型来求解。简单地说，数学模型的建立就是在问题中找到已知量和未知量之间的数学关系，形成数学结构，找到规律，沿着正确的思维模式去分析并解决问题。
例如，在北师大版四年级上册“除法”中有一问题：一辆平均速度为98千米/小时的火车从北京到上海需要约15小时。我问：从北京到上海有多少千米？学生通过审题，分析理解，很快得出：98×15=1470（千米）;我再问：京沪高铁开通后，一辆高速动车从北京到上海只需5小时左右，这辆高速动车的速度是多少？由前一问题的解答，学生也可推出：1470÷5=294（千米/小时）。最后，我引导学生回顾整个分析解答的过程，他们通过自己的观察发现，得出以下数量关系式：速度×时间=路程，路程÷时间=速度。于是，懂得在以后学习中遇到同类的路程问题，就可以用此数量关系式来解决。可见，生活中的实际问题就是这样抽象成数学模型后得以解决的。
二、数量关系是培养学生解题能力的重要途径
解决问题的关键在于找到解决办法。解决办法的发现就是要找出问题与条件之间的联系，通过分析隐含条件，进行从已知到未知的转换，最终解决问题。事实上，在解决问题的过程中，学生解题策略、思路的产生都必须建立在对题目基本数量关系的理解和把握上，解答的正确与否取决于能否正确对数量关系进行分析。
在课堂上，我们经常看到这样的现象：当学生面对较复杂的问题感到无从下手时，老师引导他们抓住题目的基本数量关系（即题目中条件和问题之间的本质关系），他们就可以找到切入点，进而顺利解决问题。事实证明：在解决问题时，都是有意或无意地运用数量关系的。一是根据数量关系推断先算什么，后算什么;二是根据数量关系确定每步用什么方法算，如何列式。可见，引导学生学会分析数量关系是培养学生解题能力的重要途径。
如北师大版六年级上册第四单元“百分数”中有一个问题：笑笑买了一支圆珠笔和一支钢笔，一共用去24元，圆珠笔的单价是钢笔的1/5，圆珠笔和钢笔的单价各是多少元？初看题目，许多学生会觉得很难。但是通过分析数量关系，问题就变得简单多了：圆珠笔的价钱 钢笔的价钱=24元，圆珠笔的价钱=钢笔的价钱×1/5，或者钢笔的价钱=圆珠笔的价钱×5。有了关于价钱的数量关系作为列式计算的理论依据，实际问题的解决变得不再困难。
三、数量关系是培养学生创新能力的重要台阶
数学的价值在于它源于生活，而又应用于生活。学生学习数学的最终目的是应用数学知识解决生活中的实际问题，但是要解决什么样的问题呢？是前人早已解决的问题吗？还是人们还没有解决的问题呢？对于小学生来说还是以解决前人已经解决的问题为主。那么，解决这样的“不是问题的问题”的价值何在？事实上，通过解决这些“不是问题的问题”，不仅可以使学生学会解决问题的技能和方法，体验到数学无处不在、无处不用，培养学生热爱数学的积极情感;还可以使学生在解决问题的过程中，通过对数学知识、技能的“操练”，进一步丰富认知结构，奠定坚实的基础，提升思维能力。最重要的一点是在解决问题的过程中，可以有意识地培养学生勇于探索、敢于创新的精神和能力，教会学生探索和创新的基本方法，为其今后解决纷繁复杂的实际问题打下创新意识、精神和方法的基础。 这种创新能力的培养在解决实际问题的教学中具体体现为：一是引导学生学会抽象思考。要善于把要解决的实际生活问题去粗取细，去伪存真，转化成数学问题;二是引导学生学会分析。要学会用猜想、验证、推理、归纳等思维方法去分析数量关系，还要学会运用画图、举例、演示、实验等辅助手段理解题目内容，理清数量关系;三是引导学生学会概括归纳、反思。如在分析、解决问题的过程中，用到哪些数学知识？你对这些知识又有什么新的认识？你又掌握了哪些解决问题的方法？解决这个问题还有其他方法吗等。通过概括、反思，引导学生建立这类问题的模型，提高认知能力;四是引导学生学会应用。解决问题的学习，从生活问题开始，最后又回到生活问题，这个过程不是原地画圈，而是沿着台阶层层上升，学生在此过程中完成了感性认识到理性认识的不断发展。应用所学解决新的、更为复杂的问题的过程，无疑是一个创新思维和创造能力发展的过程。当然，在运用数量关系解决问题的训练过程中，则要把握一个“度”，重理解感悟，重实践应用，坚决摒弃游离于思维以外的“套路”式机械训练，要以学生能说出思维过程，能说出其中道理，进而达到在迁移应用基础上进行创新应用为目的。
北京师范大学周玉仁教授在《关于“解决问题”教学的若干问题的思考》一文中指出：小学生在解决问题的过程中，实质是完成了两次认识的转化，第一个转化是指从纷乱的实际问题中收集、观察、比较、筛选出有用的信息，从而抽象出数学问题;第二个转化是根据已经抽象出的数学问题，全面分析其中的数量关系，从而探索解决问题的方法，进而在实践中进行检验和应用。这两个转变是相辅相成、缺一不可的。事实上，传统问题教学过于注重二次转化，忽视了学生发现问题、提出问题的过程;课程改革后，教学的重点过于集中于对信息的汇总，使得数量关系的形成与分析相对薄弱，导致教学难免从“生活情境”直接走向“应用”，忽视了“数量关系形成”的重要数学建模过程。这样的教学削减了学生解决问题时的思维过程，减少了学生数学理解空间的发展，远远未达到“解决问题”的教学目标。
因此，一线教师應该清晰地看到：在新课程对解决问题的教学改革中，数量关系的教学仍是重要环节，它将承载着学生的认知“由表及里”“由浅入深”的质的飞跃。在解决问题的教学中，对数量关系的剖析、提炼、概括、分析，有利于帮助学生建立数学模型思想，培养学生的逻辑思维能力、解题能力，发展学生的创新能力，有利于学生学习“有价值的数学”。学生只有形成对数量关系的整体认识和结构把握，形成运用数量关系解决实际问题的基本能力，才能真正学会用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，去主动解决实际问题。
参考文献：
[1]郑玉奇.浅谈应用题教学[J].中外教学研究，2007（11）.
[2]施玫瑛，卓和平.“数量关系”在解决问题中的价值和作用[J].福建教育，2009.
[3]巢洪政.数量关系的本质、作用及教学[J].江苏教育，2010.
[4]丁国忠.数学应用：对应用题的超越：对小学数学教材中“数学应用”编写的几点思考[J].课程·教材·教法，2008.
编辑 王彦清