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高考中解析几何综合问题，主要是直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线的相交问题。凡是涉及直线与二次曲线两交点(x1，y1) , (x2，y2)的横坐标的和x1+x2 ，积 x1x2 ；纵坐标的和y1 +y2，积y1 y2 的问题，或者能转化为此形式的问题，都可以联系一元二次方程根与系数的关系求解。这是因为两交点的坐标是直线方程与二次曲线方程组成的方程组的解；由该方程组消去一个元如y后，得到x的一元二次方程ax2+bx+c=0 ，而两交点的横坐标x1 ， x2正是该方程的两个解，则x1+x2 =-ba ，x1x2 =ca，这样可求出 x1+x2 及x1x2整体的值，再整体代入求解，避免了解方程组求出 x1，x2的具体值的繁琐过程；而且绝大多数情况中，直线方程或二次曲线方程中含有参数，要求出x1，x2的具体值更麻烦。各年的数学高考平面解析几何题几乎均与一元二次方程根与系数的关系有关。下面以2010年数学高考题为例来说明。
【例题一】﹙2010年全国卷二第21题﹚
己知斜率为1的直线 l与双曲线C： x2a2-y2b2=1(a0，b0）相交于B，D两点，且BD的中点为M（1,3） ．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F， |DF|· |BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
思路分析：设直线 l与双曲线 C的两交点的坐标分别为：B(x1，y1) ,D(x2，y2)。
（Ⅰ）要求C的离心率e，由于 e=ca，且c2 =a2+ b2 ，因此只需要求出 a，b ，c 的一个关系式即可。因为M(1,3)是BD的中点，则x1+x2=2， y1 +y2 =6，故可考虑运用一元二次方程根与系数的关系求解。
（Ⅱ）由已知条件 |DF|· |BF|=17，又F是C的右焦点即F(c ，0)则
|DF|=(x1-c)2+y12=(x1-c)2+b2(x12a2-1)，
由（Ⅰ）的求解过程知c =2a ，b2 =3a2 ，则|DF|= |2x1-a| ，
同理 |BF|=|2x2-a|，故 |2x1-a|· |2x2-a|=17。
要化简该式，必须确定B，D的位置。由一元二次方程根与系数的关系知，x1x2=- 4+3a220，则B，D分别在C的两个分支上，不妨设 x1≤ -a， x2≥a ，则上式可化简为：(a-2x1)(2x2-a)=17 ，
∴ -4 x1x2+ 2a(x1+x2)=17，
再由一元二次方程根与系数的关系将x1x2 ，x1+x2 的值整体代入，可求得 a=1。
求弦 BD的长，也可利用一元二次方程根与系数的关系，即
|BD|=(x1-x2)2+(y1 -y2 )2=(x1-x2)2+[1+(y1 -y2 x1-x2)2]
=[(x1+x2)2-4x1x2 ](1+12)=6。
【例题二】（2010年陕西卷第20题）
如图，椭圆C：x2a2+y2b2 =1的顶点为A1,A2,B1,B2, 焦点为F1,F2,|A1B1| =7 ，
SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n是过原点的直线， l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，|OP| =1，是否存在上述直线 l，使AP·PB=1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 。
思路分析：(Ⅰ)容易求得椭圆C的方程为：x24 +y23=1。
(Ⅱ)假设满足要求的直线 l存在。
（i）当直线l 垂直于 x轴时，其方程为 x=±1，这时容易求得点P,A,B的坐标，可验证知AP·PB≠1，故这样的直线 l不存在。
（ii）当直线l 不垂直于 x轴时，可设直线 l的方程为：y=kx+m，代入椭圆C的方程消去y整理得
(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0 ，
设直线 l与椭圆C的两个交点坐标分别为A(x1，y1) ，B（x2，y2) ，由一元二次方程根与系数的关系知
x1+x2 =-8km3+4k2， x1x2=4(m2-3)3+4k2 ，
∵ OA·OB=(OP+PA)·(OP+PB)=|OP| 2-AP·PB=1-1=0，
又 OA·0B=x1x2 +y1y2=0，∴x1x2 +y1y2=0 ，
∴ x1x2 +(kx1+m)(kx2+m) =0， 也即：(1+k2) x1x2+km(x1+x2)+m2=0 ，
由一元二次方程根与系数的关系，将 x1x2 ，x1+x2的值整体代入，可得：(1+k2) (4m2-12)-8k2m2+ m2(3+4k2)=0 ，
又|OP| =1，∴ m2=1+k2，代入上式，得k2=-1 ，矛盾。
故这样的直线l 也不存在。 综上，满足题意的直线 l不存在。
“一元二次方程根与系数的关系”与“直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线相交的问题”有着内在的必然的联系，自觉地联系一元二次方程根与系数的关系去处理问题，体现了化繁为简的整体思想；这也是平面解析几何题的基本求解思路及重要方法。除善于利用一元二次方程根与系数的关系外，求参数的范围时，还要考虑一元二次方程“根的判别式”。
另外，“设而不求”、“避繁就简”是解析几何解题的主要特点；由于解析几何本身具有“数”与“形”的双重性，故“数形结合”是解析几何解题的基本思想方法。而夯实基础知识、掌握通性通法，是解析几何解题的必要前提和重要基础。
【例题一】﹙2010年全国卷二第21题﹚
己知斜率为1的直线 l与双曲线C： x2a2-y2b2=1(a0，b0）相交于B，D两点，且BD的中点为M（1,3） ．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F， |DF|· |BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
思路分析：设直线 l与双曲线 C的两交点的坐标分别为：B(x1，y1) ,D(x2，y2)。
（Ⅰ）要求C的离心率e，由于 e=ca，且c2 =a2+ b2 ，因此只需要求出 a，b ，c 的一个关系式即可。因为M(1,3)是BD的中点，则x1+x2=2， y1 +y2 =6，故可考虑运用一元二次方程根与系数的关系求解。
（Ⅱ）由已知条件 |DF|· |BF|=17，又F是C的右焦点即F(c ，0)则
|DF|=(x1-c)2+y12=(x1-c)2+b2(x12a2-1)，
由（Ⅰ）的求解过程知c =2a ，b2 =3a2 ，则|DF|= |2x1-a| ，
同理 |BF|=|2x2-a|，故 |2x1-a|· |2x2-a|=17。
要化简该式，必须确定B，D的位置。由一元二次方程根与系数的关系知，x1x2=- 4+3a220，则B，D分别在C的两个分支上，不妨设 x1≤ -a， x2≥a ，则上式可化简为：(a-2x1)(2x2-a)=17 ，
∴ -4 x1x2+ 2a(x1+x2)=17，
再由一元二次方程根与系数的关系将x1x2 ，x1+x2 的值整体代入，可求得 a=1。
求弦 BD的长，也可利用一元二次方程根与系数的关系，即
|BD|=(x1-x2)2+(y1 -y2 )2=(x1-x2)2+[1+(y1 -y2 x1-x2)2]
=[(x1+x2)2-4x1x2 ](1+12)=6。
【例题二】（2010年陕西卷第20题）
如图，椭圆C：x2a2+y2b2 =1的顶点为A1,A2,B1,B2, 焦点为F1,F2,|A1B1| =7 ，
SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)设n是过原点的直线， l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，|OP| =1，是否存在上述直线 l，使AP·PB=1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 。
思路分析：(Ⅰ)容易求得椭圆C的方程为：x24 +y23=1。
(Ⅱ)假设满足要求的直线 l存在。
（i）当直线l 垂直于 x轴时，其方程为 x=±1，这时容易求得点P,A,B的坐标，可验证知AP·PB≠1，故这样的直线 l不存在。
（ii）当直线l 不垂直于 x轴时，可设直线 l的方程为：y=kx+m，代入椭圆C的方程消去y整理得
(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0 ，
设直线 l与椭圆C的两个交点坐标分别为A(x1，y1) ，B（x2，y2) ，由一元二次方程根与系数的关系知
x1+x2 =-8km3+4k2， x1x2=4(m2-3)3+4k2 ，
∵ OA·OB=(OP+PA)·(OP+PB)=|OP| 2-AP·PB=1-1=0，
又 OA·0B=x1x2 +y1y2=0，∴x1x2 +y1y2=0 ，
∴ x1x2 +(kx1+m)(kx2+m) =0， 也即：(1+k2) x1x2+km(x1+x2)+m2=0 ，
由一元二次方程根与系数的关系，将 x1x2 ，x1+x2的值整体代入，可得：(1+k2) (4m2-12)-8k2m2+ m2(3+4k2)=0 ，
又|OP| =1，∴ m2=1+k2，代入上式，得k2=-1 ，矛盾。
故这样的直线l 也不存在。 综上，满足题意的直线 l不存在。
“一元二次方程根与系数的关系”与“直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线相交的问题”有着内在的必然的联系，自觉地联系一元二次方程根与系数的关系去处理问题，体现了化繁为简的整体思想；这也是平面解析几何题的基本求解思路及重要方法。除善于利用一元二次方程根与系数的关系外，求参数的范围时，还要考虑一元二次方程“根的判别式”。
另外，“设而不求”、“避繁就简”是解析几何解题的主要特点；由于解析几何本身具有“数”与“形”的双重性，故“数形结合”是解析几何解题的基本思想方法。而夯实基础知识、掌握通性通法，是解析几何解题的必要前提和重要基础。