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[摘 要]振动载荷的测试又称环境振动模拟，在装备研制过程中用以指导装备结构设计具有极其重要的作用，是一种振动的反问题。随着技术的不断发展，装备向着大型化、复杂化方向发展，这对振动载荷的测试提出了更高的要求。本文将从理论层面，首先分析在环境噪声激励下对大型装备进行工作模态识别，进而通过模态参数和实测振动引起的响应，导出准确的环境振动载荷。本文将着重介绍NExT-ERA模态分析方法，这是一种成熟的分析方法。
[关键词]模态分析 NExT-ERA法 振动载荷测试
中图分类号：TM591 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）19-0034-03
引言
通常对于一系统，已知输出响应傅氏变换，欲求输入激励，可利用下面公式：
（1）
式中为系统脉冲响应的傅氏变换。然而，要测出大型装备系统脉冲响应函数矩阵工作量很大。由此，本文将介绍分析频域模态坐标变换法来测试系统的输入响应。
1.频域模态坐标变换法理论
设具有粘性阻尼的n自由度系统振动微分方程为
（2）
式中M、C、K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，n×n阶，均为对称阵。、、分别为加速度阵列、速度阵列和位移阵列，n阶。
在物理坐标系中响应坐标为，为n维矢量，在模态坐标系中的模态坐标为（i=1，2，…，n），则有
（3）
为该系统n维模态空间。整理得环境激励谱
（4）
由此可见，只要知道各阶模态参数、、、和位移响应就可很精确地测得环境振动激励。
2.大型装备模态测试理论
大型装备模态测试比较方便的方法为NExT模态测试方法，该方法1993年由美国SADIA国家实验室James等人提出，其基本思想是基于自然激励，利用结构响应信号间的相关函数与脉冲响应函数（传递函数）一样都是有一系列的衰减的正弦波组成，就是根据这些衰减的正弦波利用Hankel矩阵实现对工作模态参数的识别。
2.1 振动结构脉冲响应函数和响应信号间相关函数分析
在n点施加脉冲函数，在m点响应和响应间的互相关函数为【11】
（5）
（6）
下面讨论输出信号的相关性，信号x1（t）和信号x2（t）的互相关函数，其傅氏变换为
（7）
式（7）中：和分别为和的傅里叶变换，为的共扼。
对于一振动结构而言，在n点输入信号，在m点的输出激励为，n点到m点系统的冲击响应为，在k点输出为，n点到k点系统的冲击响应为，其频域表示为
（8）
m点和k点输出信号互相关函数的傅氏变换为
（9）
若为白噪声谱，为常数，为两冲击响应互相关函数的傅氏变换。由（9）式得，在n点白噪声随机激励下，m、k两点输出响应的互相关函数与两冲激响应、的互相关函数形式保持一致，仅一系数之差。故我们可以以两点输出响应信号的互相关函数来代替冲击响应进行模态参数识别。
2.2 模态参数识别
引入辅助方程
（10）
与式（2）合写为
（11）
式中为2n×1阶矩阵，为2n×2n阶矩阵，为2n×n阶矩阵，为n阶激励阵列。
系统函数的ERA的数学模型为
（12）
其目的就是由h（k）构造系统的最小实现。通过前文的讨论，互相关函数同样满足上述模型。本文采用脉冲响应函数进行模态参数识别。
设已测得的脉冲响应矩阵h（k），M×L阶，以此构造广义Hankel矩阵
（13）
、分别为能观、能控指数，其中，，。对H（0）进行奇异值分解，式中P为阶矩阵，Q为阶矩阵，均为2n阶正交矩阵。为2n×2n阶对角阵，即。为的非零特征值，P为矩阵非零特征值的特征向量按列组成的矩阵，Q为矩阵非零特征值的特征向量按列组成的矩阵。经计算： （14）
其中（15）
和分别为M阶单位阵和M阶零阵，和分别为L阶单位阵和L阶零阵。模态参数识别步骤和方法如下：
（1）求出A1的特征值矩阵Z和相应的特征矢量矩阵Ψ’；
（2）A的特征值可以由式（i=1，2，3…2n）；
（3）系统的模态矩阵，其前n阶为n个模态振型。
3.试验实践
在实验室内，最常用的激励方式是采用电磁振动台产生在频带内幅值为常数的随机振动来模拟环境噪声。本文以直径为1500mm、高为850mm的铝镁合金圆形扩展台面为例进行分析，其模型如图1，台面监测点分布见图2。
在垂直方向施加频率范围5Hz～2000Hz，加速度谱密度为0.002g2/Hz的随机振动。分别在台面上1～17个点布置监测传感器，存储并分析响应信号，得到其工作模态参数。模态振型Ψ=[-0.19 -0.537 -41 -1.02 -0.95；-1.65 -0.71 -212.2 -6.1 -5.5；1.94 -12 -175 3 0.97；3.47 -1.75 -223 -6.3 3.9；0.89 6.7 -224 3.28 -4.9；-1.74 -0.59 -228 -6.17 8.6；1.99 -11 -191.4 3.8 -2.87；3.19 -1.47 -207 -5.8 -2.35；1.05 7.15 -195 4.51 4.16；0.23 1.07 15 0.58 0.627；0.38 -1.9 20 0.75 0.55；1.55 -2.11 17 0.64 1.19；1.3 0.85 13 0.65 0.76；0.17 1 16 0.7 0.95；0.3 -1.73 17 0.6 1.06；1.52 -1.81 21 0.71 0.66；1.14 0.78 16 0.68 0.96]，其它模态参数见表1。 识别出各阶模态参数后，给扩展台面施加一随机振动，控制点设在1点，控制曲线见图3中control信号，1～17个监测点响应信号见图3中x1～x17信号。分析得1～17点的振动激励见图4中f1～f17信号。
分析图4不难发现，点1、10、11、14、15振动激励基本一致，点2～9振动激励基本一致，点12、13、16振动激励基本一致。通过观察，点1、10、11、14、15分布在扩展台面加强筋相交部位，点2～9分布在台面最外围，点12、13、16分布在无加强筋部位，点17为中心点。正是由于点分布在结构的不同部位，其环境激励不同。
4.小结
通过本文的分析我们梳理一下大型装备环境振动载荷测试的理论过程：
（1）在环境噪声（高斯白噪声）激励的情况下，选定一参考点，测试此点和其他点之间的互相关函数；
（2）对互相关函数进行采样，采样满足采样定理，得到互相关函数矩阵并构建广义Hankel矩阵；
（3）分析识别系统各阶模态参数；
（4）实测工作环境下，系统的振动响应，根据上文分析理论，最终得到振动环境载荷。
参考文献
[1] James G H III，Came T G The natural excitation technique （NExT） for modal parameter extraction from ambient operating structure[J].The international Joumal of Analytical and Experinental Modal analysis，1995，10（4）：260-277.
[2] HemansL C，Vander Auweraer H，Modal testing and analysis of structures under operational conditions：Industrial applications[J].Mechanical system and Signal Processing，1999，13（2）：193：216.
[3] 曹树谦，张文德，萧龙翔.振动结构模态分析：理论、实验与应用[M].天津：天津大学出版社，2001.
[4] 郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统（第二版上册）[M].北京：高等教育出版社，2000.
[5] Kim H M，Vam Hom D A.Free-decay time-domain modal identification for large space structure[J].J Guid Control and Dyna，1994，17（3）：513：-519.
[6] 刘习军，贾启芬，张文德.工程振动与测试技术[M].天津：天津大学出版社，1999.
[7] Albert Benveniste Polyreference version of subspone algorithms for output only structural identification[C]//18th MAC.2000：620-624.
[8] 童忠钫，俞可龙.机械振动学（随机振动）[M].杭州：浙江大学出版社，1991.
[9] Bao Z W，Ko J M.Determination of modal parameters of tall building with ambient vibration measurements[J].The international Joumal of Analytical and Experimental modal analysis，1991，6（1）：57-68.
[10] Ibrabim S R.Modal identification techniques assessment and comparison.Pro.of 3rd IMAC，1985：831-839.
[11] 孙晓兰，王太勇.基于相关函数的振动结构工作模态参数识别方法[J].天津大学学报，2007.
[12] Robert E.Coleman，Randall J.Allemang 著，刚宪约，杨茂洪 译，杨志春审校.试验结构动力学[M].北京：清华大学出版社，2012.12.
[关键词]模态分析 NExT-ERA法 振动载荷测试
中图分类号：TM591 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）19-0034-03
引言
通常对于一系统，已知输出响应傅氏变换，欲求输入激励，可利用下面公式：
（1）
式中为系统脉冲响应的傅氏变换。然而，要测出大型装备系统脉冲响应函数矩阵工作量很大。由此，本文将介绍分析频域模态坐标变换法来测试系统的输入响应。
1.频域模态坐标变换法理论
设具有粘性阻尼的n自由度系统振动微分方程为
（2）
式中M、C、K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，n×n阶，均为对称阵。、、分别为加速度阵列、速度阵列和位移阵列，n阶。
在物理坐标系中响应坐标为，为n维矢量，在模态坐标系中的模态坐标为（i=1，2，…，n），则有
（3）
为该系统n维模态空间。整理得环境激励谱
（4）
由此可见，只要知道各阶模态参数、、、和位移响应就可很精确地测得环境振动激励。
2.大型装备模态测试理论
大型装备模态测试比较方便的方法为NExT模态测试方法，该方法1993年由美国SADIA国家实验室James等人提出，其基本思想是基于自然激励，利用结构响应信号间的相关函数与脉冲响应函数（传递函数）一样都是有一系列的衰减的正弦波组成，就是根据这些衰减的正弦波利用Hankel矩阵实现对工作模态参数的识别。
2.1 振动结构脉冲响应函数和响应信号间相关函数分析
在n点施加脉冲函数，在m点响应和响应间的互相关函数为【11】
（5）
（6）
下面讨论输出信号的相关性，信号x1（t）和信号x2（t）的互相关函数，其傅氏变换为
（7）
式（7）中：和分别为和的傅里叶变换，为的共扼。
对于一振动结构而言，在n点输入信号，在m点的输出激励为，n点到m点系统的冲击响应为，在k点输出为，n点到k点系统的冲击响应为，其频域表示为
（8）
m点和k点输出信号互相关函数的傅氏变换为
（9）
若为白噪声谱，为常数，为两冲击响应互相关函数的傅氏变换。由（9）式得，在n点白噪声随机激励下，m、k两点输出响应的互相关函数与两冲激响应、的互相关函数形式保持一致，仅一系数之差。故我们可以以两点输出响应信号的互相关函数来代替冲击响应进行模态参数识别。
2.2 模态参数识别
引入辅助方程
（10）
与式（2）合写为
（11）
式中为2n×1阶矩阵，为2n×2n阶矩阵，为2n×n阶矩阵，为n阶激励阵列。
系统函数的ERA的数学模型为
（12）
其目的就是由h（k）构造系统的最小实现。通过前文的讨论，互相关函数同样满足上述模型。本文采用脉冲响应函数进行模态参数识别。
设已测得的脉冲响应矩阵h（k），M×L阶，以此构造广义Hankel矩阵
（13）
、分别为能观、能控指数，其中，，。对H（0）进行奇异值分解，式中P为阶矩阵，Q为阶矩阵，均为2n阶正交矩阵。为2n×2n阶对角阵，即。为的非零特征值，P为矩阵非零特征值的特征向量按列组成的矩阵，Q为矩阵非零特征值的特征向量按列组成的矩阵。经计算： （14）
其中（15）
和分别为M阶单位阵和M阶零阵，和分别为L阶单位阵和L阶零阵。模态参数识别步骤和方法如下：
（1）求出A1的特征值矩阵Z和相应的特征矢量矩阵Ψ’；
（2）A的特征值可以由式（i=1，2，3…2n）；
（3）系统的模态矩阵，其前n阶为n个模态振型。
3.试验实践
在实验室内，最常用的激励方式是采用电磁振动台产生在频带内幅值为常数的随机振动来模拟环境噪声。本文以直径为1500mm、高为850mm的铝镁合金圆形扩展台面为例进行分析，其模型如图1，台面监测点分布见图2。
在垂直方向施加频率范围5Hz～2000Hz，加速度谱密度为0.002g2/Hz的随机振动。分别在台面上1～17个点布置监测传感器，存储并分析响应信号，得到其工作模态参数。模态振型Ψ=[-0.19 -0.537 -41 -1.02 -0.95；-1.65 -0.71 -212.2 -6.1 -5.5；1.94 -12 -175 3 0.97；3.47 -1.75 -223 -6.3 3.9；0.89 6.7 -224 3.28 -4.9；-1.74 -0.59 -228 -6.17 8.6；1.99 -11 -191.4 3.8 -2.87；3.19 -1.47 -207 -5.8 -2.35；1.05 7.15 -195 4.51 4.16；0.23 1.07 15 0.58 0.627；0.38 -1.9 20 0.75 0.55；1.55 -2.11 17 0.64 1.19；1.3 0.85 13 0.65 0.76；0.17 1 16 0.7 0.95；0.3 -1.73 17 0.6 1.06；1.52 -1.81 21 0.71 0.66；1.14 0.78 16 0.68 0.96]，其它模态参数见表1。 识别出各阶模态参数后，给扩展台面施加一随机振动，控制点设在1点，控制曲线见图3中control信号，1～17个监测点响应信号见图3中x1～x17信号。分析得1～17点的振动激励见图4中f1～f17信号。
分析图4不难发现，点1、10、11、14、15振动激励基本一致，点2～9振动激励基本一致，点12、13、16振动激励基本一致。通过观察，点1、10、11、14、15分布在扩展台面加强筋相交部位，点2～9分布在台面最外围，点12、13、16分布在无加强筋部位，点17为中心点。正是由于点分布在结构的不同部位，其环境激励不同。
4.小结
通过本文的分析我们梳理一下大型装备环境振动载荷测试的理论过程：
（1）在环境噪声（高斯白噪声）激励的情况下，选定一参考点，测试此点和其他点之间的互相关函数；
（2）对互相关函数进行采样，采样满足采样定理，得到互相关函数矩阵并构建广义Hankel矩阵；
（3）分析识别系统各阶模态参数；
（4）实测工作环境下，系统的振动响应，根据上文分析理论，最终得到振动环境载荷。
参考文献
[1] James G H III，Came T G The natural excitation technique （NExT） for modal parameter extraction from ambient operating structure[J].The international Joumal of Analytical and Experinental Modal analysis，1995，10（4）：260-277.
[2] HemansL C，Vander Auweraer H，Modal testing and analysis of structures under operational conditions：Industrial applications[J].Mechanical system and Signal Processing，1999，13（2）：193：216.
[3] 曹树谦，张文德，萧龙翔.振动结构模态分析：理论、实验与应用[M].天津：天津大学出版社，2001.
[4] 郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统（第二版上册）[M].北京：高等教育出版社，2000.
[5] Kim H M，Vam Hom D A.Free-decay time-domain modal identification for large space structure[J].J Guid Control and Dyna，1994，17（3）：513：-519.
[6] 刘习军，贾启芬，张文德.工程振动与测试技术[M].天津：天津大学出版社，1999.
[7] Albert Benveniste Polyreference version of subspone algorithms for output only structural identification[C]//18th MAC.2000：620-624.
[8] 童忠钫，俞可龙.机械振动学（随机振动）[M].杭州：浙江大学出版社，1991.
[9] Bao Z W，Ko J M.Determination of modal parameters of tall building with ambient vibration measurements[J].The international Joumal of Analytical and Experimental modal analysis，1991，6（1）：57-68.
[10] Ibrabim S R.Modal identification techniques assessment and comparison.Pro.of 3rd IMAC，1985：831-839.
[11] 孙晓兰，王太勇.基于相关函数的振动结构工作模态参数识别方法[J].天津大学学报，2007.
[12] Robert E.Coleman，Randall J.Allemang 著，刚宪约，杨茂洪 译，杨志春审校.试验结构动力学[M].北京：清华大学出版社，2012.12.