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摘 要：所谓微量法，即将研究对象分割成许多具有代表性且遵循相同规律的“微量对象”，只需研究这些“微量对象”，然后再将“微量对象”进行必要的物理思想处理，这是分析微小部分而推知整体的思维方法。
关键词：无穷小量；化曲为直；化变量为常量；化瞬时为平均；显现隐性条件
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）4-0036-4
所谓“微量”， 亦称无穷小量，是指选取的研究对象所包含的时间、长度、面积、体积、电量、角度、功、质量、能量等可能为连续分布的无限逼近零值但又不为零值的物理量。
微量法是一种放眼整体从局部入手的思维方法，中学物理中常见类型有：
1 微量隔离
用无限分割的手段获取微量的研究对象，是用微量法解决问题的关键。通过微量手段隔离出的微量对象，可以是物体，也可以是某个过程，或者说是某种场景。
在隔离对象的过程中，要注意研究问题的整体特征，适当地进行分割，将整体的内部关系转化为微量部分与其余部分的相互关系，进而应用能反映物体间相互联系的物理规律，获得以小博大的效果。
例1 一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。
2 微量虚扰
我们所说的虚扰，是指对处在力的作用下的平衡状态的物体一个虚拟的微小干扰或者位移，再利用虚功原理解决。在这类问题中，不可避免地要涉及微量运算。
例2 如图2所示，一条长度为L，质量为m的均匀绳子两端分别挂在A和B的两点上，A、B两点的高度差为h。若已知绳子在A点的张力等于TA，求绳子在B点的张力。
3 微量比值
在中学物理中，很多物理量是通过微量之间的比值来定义的，比如：
如果物理量是变化的，或物理量的分布是不均匀的，或作用是不均匀的，则相应物理量的比值定义，都应采用微量比值定义的形式，定义式中的微量虽然都是趋近于零的，但是，它们的比值通常情况下都是有限值。
例3 （2014年江苏高考卷）一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是（ ）
例4 （2009年清华大学自主招生试题）一根质量为M，长L的铁链竖直悬空，下端恰与台秤接触，现自由释放，如图4所示。求台秤的最大示数是铁链重力的多少倍。
分析与解 在下落过程中链条作用于台秤的压力实质就是链条对台秤的“冲力”加上落在台秤上那部分链条的重力。根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻台秤对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至台秤时的动量发生变化。由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同。我们取某一时刻一微小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击。
设开始下落的时刻t=0，在t时刻落在台秤上的链条长为x，未到达台秤部分链条的速度为v，并设链条的线密度为ρ。由题意可知，链条落至台秤后，速度立即变为零。从t时刻起取很小一段时间△t，在△t内又有△M=ρ△x落到台秤上静止。台秤对△M作用的冲量为（F-ΔMg）Δt=ΔI，
所以，在t时刻链条对台秤的总压力为：
当链条全部落地时，
x=L，台秤的最大示数是铁链重Mg的3倍。
4 微量积累
物理学中的许多物理量都是通过积累的方式进行定义的，比如：
冲量（I）——力对时间的积累：
I=∑FiΔti
功（W）——力对位移的积累：
W=∑FicosθiΔli
式中θi为力Fi与Δli方向的夹角。
质量是密度对空间的积累、热量是热容量对温度的积累、能量是能量密度对空间的积累等等。
如果所有积累量通过坐标图像反映，则是图像与坐标轴所围的面积，F-t图像中的曲线与时间轴所围的面积，即表示力在这一段时间内的冲量。
例5 （2012北约自主招生）如图5，平行长直金属导轨水平放置，导轨间距为L，一端接有阻值为R的电阻，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。一根质量为m的金属杆置于导轨上，与导轨垂直并接触良好。己知金属杆在导轨上开始运动的初速度大小为v0，方向平行于导轨。忽略金属杆与导轨的电阻，不计摩擦。证明金属杆运动到总路程的λ（0≤λ≤1）倍时，安培力的瞬时 将区间[0，t]分为n小段，设第i微小段的时间间隔为Δti，杆在此段时间的位移为Δxi，规定向右为正方向，由动量定理得：
需要说明的是在处理微量积累的问题时，有时候最终要涉及数列求和的运算。微量比值与微量积累互为逆运算，可以将这两种运算结合起来掌握。
5 微量关联
在微量法中，我们选取的对象可能涉及多个微量，虽然单个微量都是趋近于零的量，它们与宏观量相比较，往往是可以忽略不计的。但这些小量之间却是可以比较的，正如在前面微量比值中所说的，两个微量之间的比值可能是恒定的。在研究这些涉及微量的问题时，常常需要寻找这种微量之间的关联。这种关联以线度关联为主，然后再推演到面积、体积、速度、加速度、力、能量等等。
例6 如图6，在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需的时间，恰好等于小球从顶点A处静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间。这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计。
在此直角三角形范围内可构建一系列如图6中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值。
解析 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为l1、l2、l3，如图7所示，小球从A到B的时间记为T1，再从B到C的时间为T2，而从A直接沿斜边到C所经历的时间记为T3，由题意知T1 T2=T3，可得l1：l2：l3=3：4：5，
t2的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降微量Δl1，便接一段水平微量Δl2，这两个微量之间恒有Δl2=Δl1cotα，角α即为∠ACB，水平段到达斜边边界后，再下降一微量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图8所示的微齿形轨道，由于Δl1、Δl2均为微量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间微量Δt1i与Δt2i之间有如下关联：
从上述解答可以看出，直接用原始的微量关联，解题简明且不必限定v为恒量。寻找微量之间的线度关联，其目的是寻找宏观物理量之间的关联。
6 微量近似
由于微量相对于有限量而言，很多情况下是可以忽略不计的，在涉及微量运算的具体过程中，一般应遵循如下原则：
1）有限量A与微量的乘积AΔx仍为微小量；
2）有限量A与微量BΔx相加，后者可略，和仍为A，A BΔx≈A；
3）微量Δx与更高级微小量B（Δx）2相加，其和仍为微量Δx，即高级微量可略，如
AΔx B（Δx）2=（A BΔx）Δx≈AΔx。
例7 已知地球半径为R0，地表面的重力加速度为g0，求离地面h高处的重力加速度g（h< 即在地表附近不大的区域内，重力加速度随高度线性地减小。
通过上面几种类型的讨论，我们可以看出，微量法应用功能主要有：显现隐性条件； 化“曲”为“直”；化瞬时值为平均值；化变量为常量。只要平时多注意归纳总结，对于训练思维大有裨益。
参考文献：
[1]沈晨.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大学出版社，2007.
[2]李社军.高中知识清单[M].北京：首都师范大学出版社，2011.
（栏目编辑 罗琬华）
关键词：无穷小量；化曲为直；化变量为常量；化瞬时为平均；显现隐性条件
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）4-0036-4
所谓“微量”， 亦称无穷小量，是指选取的研究对象所包含的时间、长度、面积、体积、电量、角度、功、质量、能量等可能为连续分布的无限逼近零值但又不为零值的物理量。
微量法是一种放眼整体从局部入手的思维方法，中学物理中常见类型有：
1 微量隔离
用无限分割的手段获取微量的研究对象，是用微量法解决问题的关键。通过微量手段隔离出的微量对象，可以是物体，也可以是某个过程，或者说是某种场景。
在隔离对象的过程中，要注意研究问题的整体特征，适当地进行分割，将整体的内部关系转化为微量部分与其余部分的相互关系，进而应用能反映物体间相互联系的物理规律，获得以小博大的效果。
例1 一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。
2 微量虚扰
我们所说的虚扰，是指对处在力的作用下的平衡状态的物体一个虚拟的微小干扰或者位移，再利用虚功原理解决。在这类问题中，不可避免地要涉及微量运算。
例2 如图2所示，一条长度为L，质量为m的均匀绳子两端分别挂在A和B的两点上，A、B两点的高度差为h。若已知绳子在A点的张力等于TA，求绳子在B点的张力。
3 微量比值
在中学物理中，很多物理量是通过微量之间的比值来定义的，比如：
如果物理量是变化的，或物理量的分布是不均匀的，或作用是不均匀的，则相应物理量的比值定义，都应采用微量比值定义的形式，定义式中的微量虽然都是趋近于零的，但是，它们的比值通常情况下都是有限值。
例3 （2014年江苏高考卷）一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是（ ）
例4 （2009年清华大学自主招生试题）一根质量为M，长L的铁链竖直悬空，下端恰与台秤接触，现自由释放，如图4所示。求台秤的最大示数是铁链重力的多少倍。
分析与解 在下落过程中链条作用于台秤的压力实质就是链条对台秤的“冲力”加上落在台秤上那部分链条的重力。根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻台秤对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至台秤时的动量发生变化。由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同。我们取某一时刻一微小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击。
设开始下落的时刻t=0，在t时刻落在台秤上的链条长为x，未到达台秤部分链条的速度为v，并设链条的线密度为ρ。由题意可知，链条落至台秤后，速度立即变为零。从t时刻起取很小一段时间△t，在△t内又有△M=ρ△x落到台秤上静止。台秤对△M作用的冲量为（F-ΔMg）Δt=ΔI，
所以，在t时刻链条对台秤的总压力为：
当链条全部落地时，
x=L，台秤的最大示数是铁链重Mg的3倍。
4 微量积累
物理学中的许多物理量都是通过积累的方式进行定义的，比如：
冲量（I）——力对时间的积累：
I=∑FiΔti
功（W）——力对位移的积累：
W=∑FicosθiΔli
式中θi为力Fi与Δli方向的夹角。
质量是密度对空间的积累、热量是热容量对温度的积累、能量是能量密度对空间的积累等等。
如果所有积累量通过坐标图像反映，则是图像与坐标轴所围的面积，F-t图像中的曲线与时间轴所围的面积，即表示力在这一段时间内的冲量。
例5 （2012北约自主招生）如图5，平行长直金属导轨水平放置，导轨间距为L，一端接有阻值为R的电阻，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。一根质量为m的金属杆置于导轨上，与导轨垂直并接触良好。己知金属杆在导轨上开始运动的初速度大小为v0，方向平行于导轨。忽略金属杆与导轨的电阻，不计摩擦。证明金属杆运动到总路程的λ（0≤λ≤1）倍时，安培力的瞬时 将区间[0，t]分为n小段，设第i微小段的时间间隔为Δti，杆在此段时间的位移为Δxi，规定向右为正方向，由动量定理得：
需要说明的是在处理微量积累的问题时，有时候最终要涉及数列求和的运算。微量比值与微量积累互为逆运算，可以将这两种运算结合起来掌握。
5 微量关联
在微量法中，我们选取的对象可能涉及多个微量，虽然单个微量都是趋近于零的量，它们与宏观量相比较，往往是可以忽略不计的。但这些小量之间却是可以比较的，正如在前面微量比值中所说的，两个微量之间的比值可能是恒定的。在研究这些涉及微量的问题时，常常需要寻找这种微量之间的关联。这种关联以线度关联为主，然后再推演到面积、体积、速度、加速度、力、能量等等。
例6 如图6，在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需的时间，恰好等于小球从顶点A处静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间。这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计。
在此直角三角形范围内可构建一系列如图6中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值。
解析 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为l1、l2、l3，如图7所示，小球从A到B的时间记为T1，再从B到C的时间为T2，而从A直接沿斜边到C所经历的时间记为T3，由题意知T1 T2=T3，可得l1：l2：l3=3：4：5，
t2的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降微量Δl1，便接一段水平微量Δl2，这两个微量之间恒有Δl2=Δl1cotα，角α即为∠ACB，水平段到达斜边边界后，再下降一微量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图8所示的微齿形轨道，由于Δl1、Δl2均为微量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间微量Δt1i与Δt2i之间有如下关联：
从上述解答可以看出，直接用原始的微量关联，解题简明且不必限定v为恒量。寻找微量之间的线度关联，其目的是寻找宏观物理量之间的关联。
6 微量近似
由于微量相对于有限量而言，很多情况下是可以忽略不计的，在涉及微量运算的具体过程中，一般应遵循如下原则：
1）有限量A与微量的乘积AΔx仍为微小量；
2）有限量A与微量BΔx相加，后者可略，和仍为A，A BΔx≈A；
3）微量Δx与更高级微小量B（Δx）2相加，其和仍为微量Δx，即高级微量可略，如
AΔx B（Δx）2=（A BΔx）Δx≈AΔx。
例7 已知地球半径为R0，地表面的重力加速度为g0，求离地面h高处的重力加速度g（h<
通过上面几种类型的讨论，我们可以看出，微量法应用功能主要有：显现隐性条件； 化“曲”为“直”；化瞬时值为平均值；化变量为常量。只要平时多注意归纳总结，对于训练思维大有裨益。
参考文献：
[1]沈晨.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大学出版社，2007.
[2]李社军.高中知识清单[M].北京：首都师范大学出版社，2011.
（栏目编辑 罗琬华）