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在解题时，若能把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从整体上把握问题的实质，常会收到事半功倍的效果.下面列举实例，予以说明，供同学们参考.
例1 解方程组
x＋y－z＝11，①y＋z－x＝５，②z＋x－y＝１. ③
解：①＋②＋③得x＋y＋z＝１７.④
④－①，得2z＝6，则z＝３.
④－②，得2x＝12，则x＝6.
④－③，得2y＝16，则y=8.
∴方程组的解为 x＝6，y=8，z＝３.
点评：如果按消元法来解，应先消去一个未知数，将它转化成二元一次方程组，再解二元一次方程组，这种解法步骤多，容易出错.但通过观察方程组，我们很容易发现：这个方程组中的未知数呈轮换对称式，且各未知数的系数和相等.因而可把三个方程连加，得到（x＋y＋z）的值；再把（x＋y＋z）视为一个整体，分别减去各个方程，则很容易得到方程组的解.
例2有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运15.5吨货；5辆大车与6辆小车一次可以运35吨货.求3车大车与5辆小车一次可以运多少吨货？
解：设一辆大车一次可以运x吨货，一辆小车一次可以运y吨货，根据题意，得
2x＋3y＝15.5， ①5x＋6y＝35.②
①×7－②， 得9x＋15y＝73.5.
则3x＋5y＝24.5.
答： 3辆大车与5辆小车一次可以运24.5吨货.
点评：解答本题的常用方法是先分别求出x、y，再求(3x＋5y).根据题意，若把3x＋5y当作一个整体，从原方程组的整体结构入手，通过恰当变形，就可巧妙地求出3x＋5y的值.
例3若x－ ＝1, 则x3－ 的值为（）.
（2000年湖北省数学竞赛选拔赛试题）
Ａ.3B.4C.5D.6
解： x3－ ＝（x－ ）（x２＋１＋ ）＝（x－ ）［（x－ ）２＋３］＝１×（12＋３）＝４.
故应选B.
点评：我们很容易看出方程的根不是有理数，因此直接解方程求x，再代入求值会很麻烦.若注意到x· ＝1,把待求代数式变成只含x－ 的式子，然后将x－ ＝1整体代入，则能化难为易，轻松解题.
例４设菱形的两条对角线之和为４6，周长为68，求此菱形的面积.
（1998年江西省南昌市）
解：设菱形的两条对角线的长分别为m和n，则 ＋ ＝23.
那么（ ）2＋( )2＋ mn＝529，①
而（ ）2＋( )2＝（ ）2＝289. ②
将②代入①，得 mn ＝240.即菱形的面积为240.
点评：本题的解答过程充分体现了用整体法解题的思路，先整体代入，再求面积.没有先求出m 和n，而是将已知方程变形直接求出面积（ mn），这样解题要比先求m、n，再求 mn简捷、巧妙得多.
例5已知a＝1999x＋2000,b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002,则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为（）.
A.0 B.1C.2D.3（2002年全国竞赛题）
解：由已知得 a－b＝－1, b－c＝－1， c－a＝２，
∴ a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝ [(a－b)2＋（b－c）2＋（c－a）2]＝ [(－1)2＋（－1）2＋22]＝３.
故选D.
点评：巧用配方法，将a－b、b－c、c－a看成整体，从而迅速、准确地得出结果.
例6若ab≠1且有5a2＋2001a＋9＝0及9b2＋2001b＋５＝0,则 的值是（ ）.
A.B. C.－ D.－ （2001年全国联赛题）
解：因为b≠0，所以将第二个方程两边同除以b2得 ＋ ＋9＝0.而5a2＋2001a＋9＝0，ab≠1.故 和a是方程5x2＋2001x＋9＝0的两个不等实根.
由根与系数的关系得 ×a＝ . 故选A.
点评：解答本题的关键是把第二个方程变成第一个方程的形式，然后就可以利用方程的根的定义构造方程，再把 作为一个整体进行求值.
例7若x2＋xy＋y＝14,y2＋xy＋x＝28,则x＋y＝.（2001年TI杯全国竞赛题）
解：将两已知方程相加得x2＋y2＋2xy＋x＋y＝42.
即(x＋y)2＋(x＋y)－42＝０.
则x＋y＝6或x＋y＝－７.
点评：根椐条件和待求式的特点，设法将已知式用待求式表示出来，避免先求x、y，再代入求值的复杂过程 .
例8已知x＝, y＝ ,那么 ＋ ＝ .
（2001年TI杯全国竞赛题）
解：由已知可得x＝5－2 ,y＝5＋2 .
则x＋y＝10, xy＝１.
故 ＋ ＝ ＝ ＝10×(100－3)＝970.
点评：题中的待求式是关于x、y的对称式.解这类题的方法是先把待求式用x＋y和xy的式子表示出来，再把x、y的和、积整体代入.
例9如图1，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .
（第十届“缙云杯”邀请赛）
解：连接AC.
则∠D＋∠E＝180°－∠3＝180°－∠4＝∠1＋∠2.
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180°.
点评：若想先分别求出五个角，再求和，无疑是不可能的，但我们可以先把∠D＋∠E当作一个整体，其和等于∠1＋∠2.这样，使分散的五个角集中到一个三角形中，再整体求和，就能轻松解题.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
例1 解方程组
x＋y－z＝11，①y＋z－x＝５，②z＋x－y＝１. ③
解：①＋②＋③得x＋y＋z＝１７.④
④－①，得2z＝6，则z＝３.
④－②，得2x＝12，则x＝6.
④－③，得2y＝16，则y=8.
∴方程组的解为 x＝6，y=8，z＝３.
点评：如果按消元法来解，应先消去一个未知数，将它转化成二元一次方程组，再解二元一次方程组，这种解法步骤多，容易出错.但通过观察方程组，我们很容易发现：这个方程组中的未知数呈轮换对称式，且各未知数的系数和相等.因而可把三个方程连加，得到（x＋y＋z）的值；再把（x＋y＋z）视为一个整体，分别减去各个方程，则很容易得到方程组的解.
例2有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运15.5吨货；5辆大车与6辆小车一次可以运35吨货.求3车大车与5辆小车一次可以运多少吨货？
解：设一辆大车一次可以运x吨货，一辆小车一次可以运y吨货，根据题意，得
2x＋3y＝15.5， ①5x＋6y＝35.②
①×7－②， 得9x＋15y＝73.5.
则3x＋5y＝24.5.
答： 3辆大车与5辆小车一次可以运24.5吨货.
点评：解答本题的常用方法是先分别求出x、y，再求(3x＋5y).根据题意，若把3x＋5y当作一个整体，从原方程组的整体结构入手，通过恰当变形，就可巧妙地求出3x＋5y的值.
例3若x－ ＝1, 则x3－ 的值为（）.
（2000年湖北省数学竞赛选拔赛试题）
Ａ.3B.4C.5D.6
解： x3－ ＝（x－ ）（x２＋１＋ ）＝（x－ ）［（x－ ）２＋３］＝１×（12＋３）＝４.
故应选B.
点评：我们很容易看出方程的根不是有理数，因此直接解方程求x，再代入求值会很麻烦.若注意到x· ＝1,把待求代数式变成只含x－ 的式子，然后将x－ ＝1整体代入，则能化难为易，轻松解题.
例４设菱形的两条对角线之和为４6，周长为68，求此菱形的面积.
（1998年江西省南昌市）
解：设菱形的两条对角线的长分别为m和n，则 ＋ ＝23.
那么（ ）2＋( )2＋ mn＝529，①
而（ ）2＋( )2＝（ ）2＝289. ②
将②代入①，得 mn ＝240.即菱形的面积为240.
点评：本题的解答过程充分体现了用整体法解题的思路，先整体代入，再求面积.没有先求出m 和n，而是将已知方程变形直接求出面积（ mn），这样解题要比先求m、n，再求 mn简捷、巧妙得多.
例5已知a＝1999x＋2000,b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002,则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为（）.
A.0 B.1C.2D.3（2002年全国竞赛题）
解：由已知得 a－b＝－1, b－c＝－1， c－a＝２，
∴ a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝ [(a－b)2＋（b－c）2＋（c－a）2]＝ [(－1)2＋（－1）2＋22]＝３.
故选D.
点评：巧用配方法，将a－b、b－c、c－a看成整体，从而迅速、准确地得出结果.
例6若ab≠1且有5a2＋2001a＋9＝0及9b2＋2001b＋５＝0,则 的值是（ ）.
A.B. C.－ D.－ （2001年全国联赛题）
解：因为b≠0，所以将第二个方程两边同除以b2得 ＋ ＋9＝0.而5a2＋2001a＋9＝0，ab≠1.故 和a是方程5x2＋2001x＋9＝0的两个不等实根.
由根与系数的关系得 ×a＝ . 故选A.
点评：解答本题的关键是把第二个方程变成第一个方程的形式，然后就可以利用方程的根的定义构造方程，再把 作为一个整体进行求值.
例7若x2＋xy＋y＝14,y2＋xy＋x＝28,则x＋y＝.（2001年TI杯全国竞赛题）
解：将两已知方程相加得x2＋y2＋2xy＋x＋y＝42.
即(x＋y)2＋(x＋y)－42＝０.
则x＋y＝6或x＋y＝－７.
点评：根椐条件和待求式的特点，设法将已知式用待求式表示出来，避免先求x、y，再代入求值的复杂过程 .
例8已知x＝, y＝ ,那么 ＋ ＝ .
（2001年TI杯全国竞赛题）
解：由已知可得x＝5－2 ,y＝5＋2 .
则x＋y＝10, xy＝１.
故 ＋ ＝ ＝ ＝10×(100－3)＝970.
点评：题中的待求式是关于x、y的对称式.解这类题的方法是先把待求式用x＋y和xy的式子表示出来，再把x、y的和、积整体代入.
例9如图1，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .
（第十届“缙云杯”邀请赛）
解：连接AC.
则∠D＋∠E＝180°－∠3＝180°－∠4＝∠1＋∠2.
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180°.
点评：若想先分别求出五个角，再求和，无疑是不可能的，但我们可以先把∠D＋∠E当作一个整体，其和等于∠1＋∠2.这样，使分散的五个角集中到一个三角形中，再整体求和，就能轻松解题.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”