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人们常以为数学与艺术是风马牛不相及的,想把两者联系起来简直是天方夜谭。但在俄罗斯美术博物馆里,收藏着著名画家格丹诺夫·别尔斯基画过的一幅名叫《难题》的油画,画中的老师在黑板上写下的一道题(如下题),引起了学生们的好奇和兴趣。
这位老师名叫拉钦斯基,他原是一名享受优厚待遇的大学教授,却志愿去农村当默默无闻的小学教师,给穷苦儿童做启蒙工作。正因为油画中人物高尚的品德、渊博的学识,加上算题的奇特美妙,使得这幅油画名扬四海。
画中的算题有什么特别之处呢?画中没有给出这道题的答案,那么这道题最后的得数是多少呢?如果我们按部就班地计算,就违背了拉钦斯基出题的本意。拉钦斯基是在启发人们用脑思考算式中的规律。
经过简单试算,我们不难发现其中的奥妙。
102 +ll2 +122 =100+121+144=365(1022读作10的平方,表示10×10,ll2读作1l的平方,表示11×11,……),132+142 =169+196=365。由此,我们可以很容易得到这道难题的得数为
(用分子除以分母得到得数)。
只要发现题中102 +ll2 +122=132 +142,这个所谓的难题就完全可以口算。由这道题揭示的某些连续自然数平方和(自然数:像0、1、2、3、……这样的数叫做自然数;平方和:两个数先分别平方,然后相加)之间的关系,引起美国科普大师加德纳的深入思索,他开始琢磨如何用一串连续自然数的平方和列等式,这其中是否隐藏着什么规律?
经过一番思考探索,他得出了答案。原来上面的等式不过是无数个类似等式中的第二个式子而已,即连续5个自然数中,等式左边有3个自然数,右边有2个自然数;第一个等式的例子就是中国古代早已证明的“勾股数”组:32+42= 52。即连续3个自然数中,等式左边有2个自然数,右边有1个自然数。由此猜想,连续7个自然数中,等式左边有4个自然数,右边有3今自然数。而试验又得出:212+222+232+242=252+262+272,证实了猜想的正确性。加德纳对此大为惊奇,于是顺此思路继续研究,终于发现了一般规律:这些等式可以无止境地一直写下去,样子像个宝塔,非常好看。如果等式右边有n项,则左边就有n+1项,所有的连续自然数当然都得平方。最关键的是这一串连续自然数中间的一个,它应该是2n(n+1)。掌握了这一规律,大家就可以很容易寫出其他类似的等式。
正因为这个奇妙的规律,人们把油画中的计算题称为“拉钦斯基问题”,以此表达对这位甘于奉献的学者的敬意。当然我们也能从加德纳探索中得到启迪:只要善于发现、勤于思考,就一定会有所收获。
(作者单位:江苏省泰州市扬桥中心小学)
这位老师名叫拉钦斯基,他原是一名享受优厚待遇的大学教授,却志愿去农村当默默无闻的小学教师,给穷苦儿童做启蒙工作。正因为油画中人物高尚的品德、渊博的学识,加上算题的奇特美妙,使得这幅油画名扬四海。
画中的算题有什么特别之处呢?画中没有给出这道题的答案,那么这道题最后的得数是多少呢?如果我们按部就班地计算,就违背了拉钦斯基出题的本意。拉钦斯基是在启发人们用脑思考算式中的规律。
经过简单试算,我们不难发现其中的奥妙。
102 +ll2 +122 =100+121+144=365(1022读作10的平方,表示10×10,ll2读作1l的平方,表示11×11,……),132+142 =169+196=365。由此,我们可以很容易得到这道难题的得数为
(用分子除以分母得到得数)。
只要发现题中102 +ll2 +122=132 +142,这个所谓的难题就完全可以口算。由这道题揭示的某些连续自然数平方和(自然数:像0、1、2、3、……这样的数叫做自然数;平方和:两个数先分别平方,然后相加)之间的关系,引起美国科普大师加德纳的深入思索,他开始琢磨如何用一串连续自然数的平方和列等式,这其中是否隐藏着什么规律?
经过一番思考探索,他得出了答案。原来上面的等式不过是无数个类似等式中的第二个式子而已,即连续5个自然数中,等式左边有3个自然数,右边有2个自然数;第一个等式的例子就是中国古代早已证明的“勾股数”组:32+42= 52。即连续3个自然数中,等式左边有2个自然数,右边有1个自然数。由此猜想,连续7个自然数中,等式左边有4个自然数,右边有3今自然数。而试验又得出:212+222+232+242=252+262+272,证实了猜想的正确性。加德纳对此大为惊奇,于是顺此思路继续研究,终于发现了一般规律:这些等式可以无止境地一直写下去,样子像个宝塔,非常好看。如果等式右边有n项,则左边就有n+1项,所有的连续自然数当然都得平方。最关键的是这一串连续自然数中间的一个,它应该是2n(n+1)。掌握了这一规律,大家就可以很容易寫出其他类似的等式。
正因为这个奇妙的规律,人们把油画中的计算题称为“拉钦斯基问题”,以此表达对这位甘于奉献的学者的敬意。当然我们也能从加德纳探索中得到启迪:只要善于发现、勤于思考,就一定会有所收获。
(作者单位:江苏省泰州市扬桥中心小学)