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摘 要：指数函数及其性质是高中数学的教学难点，采取问题导学法“新课引入”“概念形成”“概念深化”“应用探究”以及“总结归纳”五个环节展开教学，对于最终的教学目标实现有着积极的意义。下文主要依托课程内容进行课例分析。
关键词：指数函数及其性质;第一课时;课例
在核心素养的教学背景下，积极培养学生高中数学综合素质成为教学的一大关键任务。但传统的“填鸭式”教学模式显然无助于学生的综合素养养成。本文以指数函数及其性质的第一课时内容为例，黄河清“问题导学法”探究“新课引入”“概念形成”“概念深化”“应用探究”以及“总结归纳”五个环节展开教学的策略分析。希望本文的分析能够给高中数学教师的教学活动带来一定的实践参考价值。
一、指数函数及其性质第一课时的基本概况
指数函数及其性质是高中阶段数学教学的重要知识点，甚至从宏观角度来看，这一课程的教学内容在高中数学知识体系之中有着承前启后的地位。但是对于广大高中生而言，这一课程也是学习的一大难点所在。主要是因为这一课时之中所涉及的概念较多，往往难以为学生所把握，甚至还会造成学生知识概念混淆的情况。另外，在学习指数函数及其性质第一课时这一课程的时候，学生虽然具备了一定的知识积累情况和理解能力，但在面对指数函数及其性质第一课时课例的知识内容的时候，还会感到有所陌生，吸收起来也存在客观的困难。
另外，在核心素养的教学背景下，教师在展开指数函数及其性质第一课时的课程教学过程中，不仅需要充分地把握相关知识点的内涵，同时还需要尽可能地提升自己的教学效率，以及培养学生积极健康的态度，由此充分地提升学生的综合素质以及多元能力。
二、指数函数及其性质第一课时的教学设计
针对指数函数及其性质第一课时的基本情况，要想实现更为理想化的教学目标，就需要采取“新课引入”“概念形成”“概念深化”“应用探究”以及“总结归纳”五个环节展开教学。下文主要从上述五个环节出发，进行课程教学设计分析：
（一）新课引入环节的设计
对于高中阶段的数学教学而言，要想充分地提升学生的学习效率，离不开合理的课程引入环节的充分设计。通过对新课引入环节的设计，能够在很大程度上架设学生从已知到未知的桥梁。針对指数函数及其性质第一课时的知识内容情况，在新课引入环节教师可以借助于故事引入法。
比如：在古印度有一个古老的故事，讲述的印度宰相和国王下象棋并且打赌，如果宰相赢了，那么皇帝需要在象棋的第一个格子上放上1粒米，在第二个格子上放上2粒米，第三个格子上需要放上4粒米，以此类推，后面的一个格子的米粒数量总是前面一个格子米粒的两倍。在最初，印度皇帝以为仅仅不过是一个小数目，但是经过仔细核算才发现，最后这些大米粒支付下来居然是一个天文数字。在指数函数及其性质第一课时的教学过程中引入这一故事，能够在很大程度上丰富学生的学习趣味性，由此也能够帮助学生实现学习的积极主动性。
除此之外，教师在新课引入环节，也可以引入《庄子》中的一个经典寓言，寓言中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”翻译过来就是，一尺长的木棰，每天截取一半，从数学上来看，这个木棰是永远都不会消失的。庄子的这一寓言论断也和指数的相关知识有着密切的关系。之所以在指数函数及其性质第一课时的新课引入环节引入这一知识内容，不仅可以实现对新课程知识内容的有效过渡，同时也能够在一定程度上强化学生对于传统文化的认识，由此可以实现对学生的爱国情怀的熏陶。
（二）概念形成环节的设计
在完成了新课引入环节之后，教师应该做到趁热打铁，借助于合理的情境设计，帮助学生形成指数函数的相关概念。在这一环节的设计过程中，教师应该灵活设计具体的情境，让学生在具体的情境之中实现对指数函数概念的把握：
情境1：某种细胞在分裂时，每次能够从一个细胞分裂为两个，第一次会由一个细胞分裂为两个，第二次会由两个细胞分裂为四个，以此类推。设细胞分裂x次得到y个细胞，试求y和x之间的关系式。
分裂次数x 1 2 3 4 …
细胞个数y
在这一情景教学中，学生可以得出关系式：y=2x，（X∈N※）
情境2：某一物质的质量为1，且该物质在发展过程还存在着不断地衰减情况，经过一年之后，该物质会衰减到原有质量的一半，如果该物质的剩余量为y，时间单位年为x，那么，试求y和x之间的关系式。
时间x 1 2 3 4 …
剩余量y
学生根据这一客观背景，可以得出关系式，表述为：y=（1/2）x，（X∈N※）
教师在引导学生完成了对相关关系式的表述之后，可以引导学生思考，上述这几个关系式能够构成函数吗？它们如果不是函数，那么应该如何给它们命名呢？你们可以对这类关系式作出一般性的定义吗？
定义：一般地，函数y=ax（a>0，且a≠1）叫作指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.
教师借助于这类引导，能够在很大程度上帮助学生实现对指数函数的深入了解，从而加速学生的知识吸收。
继续探究底数a的范围为什么规定为“a>0，且a≠1”？
①当a=1时，y=1x=1，没必要研究。
②当a<0时，对于x的一些数值，可使ax无意义，如（-2）x，对于…，这样的函数值不存在。
③当a=0时，x>0，ax=0;x≤0，ax无意义，如00。
因此规定a>0，且a≠1。
（三）概念深化环节的设计
在通过合理的情境设计引导学生实现对指数函数概念掌握之后，教师还应该继续帮助学生进一步深入思考指数函数的概念以及其性质，教师需要在课堂上列出如下几个函数关系式，并且对提问学生哪些是指数函数，哪些不是指数函数，并且引导学生思考为什么有些函数不是指数函数。教师在课堂上列出的具体函数式包括以下几个方面： 例1： （1）y=3x （2）y=-6x
（3）y=（-6）x （4）y=6x2
教师通过引导学生思考上述的函数式，并且反思这些函数式的特点，由此能够帮助学生进一步地认识到指数函数的概念内涵以及性质特点。这对于学生的数学综合能力发展有着较为积极的价值。
接下来研究指数函数的图像性质，通过取一些特殊的函数来归纳特征。首先分学习小组让同学们动手，在同一坐标系中分别作出函数（1）y=2x，（2）y=3x，的图像特征。做出后进行小组讨论，指数函数图像特征。教师利用几何画板来看a的范围不同图像是如何变化的，通过观察，师生共同总结指数函数的性质：
a>1 0 图像
性
质 定义域：R
值域：（0，+∞）
图像都过点（0，1）
在R上是增函数 在R上是减函数
总结如下规律：在y轴右侧第一象限，图像从下至上底数由小变大;在y轴左侧第二象限，图像从上至下底数由小变大。
（四）应用探究环节的设计
对于高中阶段的数学教学而言，教师不仅需要帮助学生掌握一系列的客观知识点，同时也需要提升学生具备学以致用的能力，也就是能够将客观知识和现实生活有机地结合在一起，由此帮助学生实现更为迅速地知识进步效果。而要想实现这一教学目标，教师在教学活动中应该采取如下几个方面的举措：
第一，教师需要让学生基于自己对于指数函数及其性质的理解和把握，引导学生借助于计算机软件建立完善的数据模型。在当前的教学背景下，计算机技术在高中数学阶段中的教学价值已经得到了较为充分的重视，因此，在未来的教学过程中，教师可以让学生利用相关的计算机软件，建立指数函数的相关模型，由此可以帮助学生实现更为迅速的应用能力的进步。
第二，教师在教学过程中还应该让学生利用自己所学习到的知识解决现实生活中的某一个问题。在现实生活中处处存在着指数函数的相关知识，同时很多现实问题也适合运用指数函数进行解决。教师引导学生利用指数函数解决相关问题，对于学生的知识运用能力提升来说也具备较为积极的价值。借此可以帮助学生加深对指数函数及其性质的理解。
例2：比较下列各组数的大小。
（1）1.72.5，1.73 （2） （3）1.70.3，0.93.1
通过以上例子，教师引导学生去归纳：
底数相同时：可以用函数的单调性比较;
指数相同时：可以转化为底数相同比较，也可以借助图像进行比较。
指数、底数都不同时：可以找中间量来进行比较。中间量的找法可以是“1”，也可以是分数，利用二分法选取。
（五）总结归纳环节的设计
在数学教学过程中，教师要想充分夯实学生的学习成果，还应该采取合理的总结归纳环节，由此帮助学生实现对知识的巩固。在这一环节的教学中，教师也应该避免对知识的僵化灌輸，而是应该采取具体的案例，让学生带着问题进行对知识的巩固。在具体的教学过程中，教师可以列出一系列的指数函数，让学生比较相关的数值大小：
第一，1.82.5和1.83.2哪个数值更大;
第二，0.6a>0.6b，那么，a和b哪一个数值更大;
第三，a0.75>1，那么，a和1哪个数值更大。
通过这一系列的习题练习，能够在很大程度上强化学生对于指数函数的理解，这对于学生的指数函数知识的巩固有着不可忽视的价值。在完成了上述的习题之后，教师还应该让学生进一步地反思总结相关知识点，由此也可以实现学生的知识升华。
最后思考：计算1.01365与0.99365的大小，你能总结出什么生活哲理？
用一个公式来计算一下，1的365方等于1，0.99的365方等于多少？1.01的365方等于多少？1.02的365方等于多少？假设1代表你每天不进不退，365天下来还是原样1，0.99代表每天退步一点点，那365天等于多少？结果是约等于0.03，每天进步一点点1.01了，365天结果是37.78，那如果比1.01的再努力一点点1.02的人呢？365天下来结果是1377。很多成功不是一两天努力就可以的，都是每天不断地进步，哪怕每天一点小小的进步，坚持不懈，最后会产生强大的变化。
三、指数函数及其性质第一课时的教学反思
总体上来看，指数函数及其性质第一课时的教学内容是初中数学教学的重要课程，在教学过程中依托于“新课引入”“概念形成”“概念深化”“应用探究”以及“总结归纳”五个环节展开教学活动，对于最终的教学目标实现有着积极的价值。当然，在具体的教学实践中教师应该充分打破思维限制，并且采取更为灵活的教学手段，如此才能够实现最终的教学目标。
参考文献
[1]黄河清.高中数学问题导学教学[M].北京，教育科学出版社.2013.2：159–163.
[2]罗宇军.指数函数及其性质（第一课时）教学设计[J].数理化学习（高中版），2017（06）：26-27.
[3]林丽虹.指数函数及其性质（第一课时）教学设计[J].新课程学习（上），2013（09）：45.
[4]田新.关注学生思维优化整合教材：“指数函数及其性质”（第一课时）教学案例[J].中国数学教育，2012（20）：24-26，30.
作者简介：孙威，男，广西南宁市，第三中学高中，数学教师。
关键词：指数函数及其性质;第一课时;课例
在核心素养的教学背景下，积极培养学生高中数学综合素质成为教学的一大关键任务。但传统的“填鸭式”教学模式显然无助于学生的综合素养养成。本文以指数函数及其性质的第一课时内容为例，黄河清“问题导学法”探究“新课引入”“概念形成”“概念深化”“应用探究”以及“总结归纳”五个环节展开教学的策略分析。希望本文的分析能够给高中数学教师的教学活动带来一定的实践参考价值。
一、指数函数及其性质第一课时的基本概况
指数函数及其性质是高中阶段数学教学的重要知识点，甚至从宏观角度来看，这一课程的教学内容在高中数学知识体系之中有着承前启后的地位。但是对于广大高中生而言，这一课程也是学习的一大难点所在。主要是因为这一课时之中所涉及的概念较多，往往难以为学生所把握，甚至还会造成学生知识概念混淆的情况。另外，在学习指数函数及其性质第一课时这一课程的时候，学生虽然具备了一定的知识积累情况和理解能力，但在面对指数函数及其性质第一课时课例的知识内容的时候，还会感到有所陌生，吸收起来也存在客观的困难。
另外，在核心素养的教学背景下，教师在展开指数函数及其性质第一课时的课程教学过程中，不仅需要充分地把握相关知识点的内涵，同时还需要尽可能地提升自己的教学效率，以及培养学生积极健康的态度，由此充分地提升学生的综合素质以及多元能力。
二、指数函数及其性质第一课时的教学设计
针对指数函数及其性质第一课时的基本情况，要想实现更为理想化的教学目标，就需要采取“新课引入”“概念形成”“概念深化”“应用探究”以及“总结归纳”五个环节展开教学。下文主要从上述五个环节出发，进行课程教学设计分析：
（一）新课引入环节的设计
对于高中阶段的数学教学而言，要想充分地提升学生的学习效率，离不开合理的课程引入环节的充分设计。通过对新课引入环节的设计，能够在很大程度上架设学生从已知到未知的桥梁。針对指数函数及其性质第一课时的知识内容情况，在新课引入环节教师可以借助于故事引入法。
比如：在古印度有一个古老的故事，讲述的印度宰相和国王下象棋并且打赌，如果宰相赢了，那么皇帝需要在象棋的第一个格子上放上1粒米，在第二个格子上放上2粒米，第三个格子上需要放上4粒米，以此类推，后面的一个格子的米粒数量总是前面一个格子米粒的两倍。在最初，印度皇帝以为仅仅不过是一个小数目，但是经过仔细核算才发现，最后这些大米粒支付下来居然是一个天文数字。在指数函数及其性质第一课时的教学过程中引入这一故事，能够在很大程度上丰富学生的学习趣味性，由此也能够帮助学生实现学习的积极主动性。
除此之外，教师在新课引入环节，也可以引入《庄子》中的一个经典寓言，寓言中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”翻译过来就是，一尺长的木棰，每天截取一半，从数学上来看，这个木棰是永远都不会消失的。庄子的这一寓言论断也和指数的相关知识有着密切的关系。之所以在指数函数及其性质第一课时的新课引入环节引入这一知识内容，不仅可以实现对新课程知识内容的有效过渡，同时也能够在一定程度上强化学生对于传统文化的认识，由此可以实现对学生的爱国情怀的熏陶。
（二）概念形成环节的设计
在完成了新课引入环节之后，教师应该做到趁热打铁，借助于合理的情境设计，帮助学生形成指数函数的相关概念。在这一环节的设计过程中，教师应该灵活设计具体的情境，让学生在具体的情境之中实现对指数函数概念的把握：
情境1：某种细胞在分裂时，每次能够从一个细胞分裂为两个，第一次会由一个细胞分裂为两个，第二次会由两个细胞分裂为四个，以此类推。设细胞分裂x次得到y个细胞，试求y和x之间的关系式。
分裂次数x 1 2 3 4 …
细胞个数y
在这一情景教学中，学生可以得出关系式：y=2x，（X∈N※）
情境2：某一物质的质量为1，且该物质在发展过程还存在着不断地衰减情况，经过一年之后，该物质会衰减到原有质量的一半，如果该物质的剩余量为y，时间单位年为x，那么，试求y和x之间的关系式。
时间x 1 2 3 4 …
剩余量y
学生根据这一客观背景，可以得出关系式，表述为：y=（1/2）x，（X∈N※）
教师在引导学生完成了对相关关系式的表述之后，可以引导学生思考，上述这几个关系式能够构成函数吗？它们如果不是函数，那么应该如何给它们命名呢？你们可以对这类关系式作出一般性的定义吗？
定义：一般地，函数y=ax（a>0，且a≠1）叫作指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.
教师借助于这类引导，能够在很大程度上帮助学生实现对指数函数的深入了解，从而加速学生的知识吸收。
继续探究底数a的范围为什么规定为“a>0，且a≠1”？
①当a=1时，y=1x=1，没必要研究。
②当a<0时，对于x的一些数值，可使ax无意义，如（-2）x，对于…，这样的函数值不存在。
③当a=0时，x>0，ax=0;x≤0，ax无意义，如00。
因此规定a>0，且a≠1。
（三）概念深化环节的设计
在通过合理的情境设计引导学生实现对指数函数概念掌握之后，教师还应该继续帮助学生进一步深入思考指数函数的概念以及其性质，教师需要在课堂上列出如下几个函数关系式，并且对提问学生哪些是指数函数，哪些不是指数函数，并且引导学生思考为什么有些函数不是指数函数。教师在课堂上列出的具体函数式包括以下几个方面： 例1： （1）y=3x （2）y=-6x
（3）y=（-6）x （4）y=6x2
教师通过引导学生思考上述的函数式，并且反思这些函数式的特点，由此能够帮助学生进一步地认识到指数函数的概念内涵以及性质特点。这对于学生的数学综合能力发展有着较为积极的价值。
接下来研究指数函数的图像性质，通过取一些特殊的函数来归纳特征。首先分学习小组让同学们动手，在同一坐标系中分别作出函数（1）y=2x，（2）y=3x，的图像特征。做出后进行小组讨论，指数函数图像特征。教师利用几何画板来看a的范围不同图像是如何变化的，通过观察，师生共同总结指数函数的性质：
a>1 0
性
质 定义域：R
值域：（0，+∞）
图像都过点（0，1）
在R上是增函数 在R上是减函数
总结如下规律：在y轴右侧第一象限，图像从下至上底数由小变大;在y轴左侧第二象限，图像从上至下底数由小变大。
（四）应用探究环节的设计
对于高中阶段的数学教学而言，教师不仅需要帮助学生掌握一系列的客观知识点，同时也需要提升学生具备学以致用的能力，也就是能够将客观知识和现实生活有机地结合在一起，由此帮助学生实现更为迅速地知识进步效果。而要想实现这一教学目标，教师在教学活动中应该采取如下几个方面的举措：
第一，教师需要让学生基于自己对于指数函数及其性质的理解和把握，引导学生借助于计算机软件建立完善的数据模型。在当前的教学背景下，计算机技术在高中数学阶段中的教学价值已经得到了较为充分的重视，因此，在未来的教学过程中，教师可以让学生利用相关的计算机软件，建立指数函数的相关模型，由此可以帮助学生实现更为迅速的应用能力的进步。
第二，教师在教学过程中还应该让学生利用自己所学习到的知识解决现实生活中的某一个问题。在现实生活中处处存在着指数函数的相关知识，同时很多现实问题也适合运用指数函数进行解决。教师引导学生利用指数函数解决相关问题，对于学生的知识运用能力提升来说也具备较为积极的价值。借此可以帮助学生加深对指数函数及其性质的理解。
例2：比较下列各组数的大小。
（1）1.72.5，1.73 （2） （3）1.70.3，0.93.1
通过以上例子，教师引导学生去归纳：
底数相同时：可以用函数的单调性比较;
指数相同时：可以转化为底数相同比较，也可以借助图像进行比较。
指数、底数都不同时：可以找中间量来进行比较。中间量的找法可以是“1”，也可以是分数，利用二分法选取。
（五）总结归纳环节的设计
在数学教学过程中，教师要想充分夯实学生的学习成果，还应该采取合理的总结归纳环节，由此帮助学生实现对知识的巩固。在这一环节的教学中，教师也应该避免对知识的僵化灌輸，而是应该采取具体的案例，让学生带着问题进行对知识的巩固。在具体的教学过程中，教师可以列出一系列的指数函数，让学生比较相关的数值大小：
第一，1.82.5和1.83.2哪个数值更大;
第二，0.6a>0.6b，那么，a和b哪一个数值更大;
第三，a0.75>1，那么，a和1哪个数值更大。
通过这一系列的习题练习，能够在很大程度上强化学生对于指数函数的理解，这对于学生的指数函数知识的巩固有着不可忽视的价值。在完成了上述的习题之后，教师还应该让学生进一步地反思总结相关知识点，由此也可以实现学生的知识升华。
最后思考：计算1.01365与0.99365的大小，你能总结出什么生活哲理？
用一个公式来计算一下，1的365方等于1，0.99的365方等于多少？1.01的365方等于多少？1.02的365方等于多少？假设1代表你每天不进不退，365天下来还是原样1，0.99代表每天退步一点点，那365天等于多少？结果是约等于0.03，每天进步一点点1.01了，365天结果是37.78，那如果比1.01的再努力一点点1.02的人呢？365天下来结果是1377。很多成功不是一两天努力就可以的，都是每天不断地进步，哪怕每天一点小小的进步，坚持不懈，最后会产生强大的变化。
三、指数函数及其性质第一课时的教学反思
总体上来看，指数函数及其性质第一课时的教学内容是初中数学教学的重要课程，在教学过程中依托于“新课引入”“概念形成”“概念深化”“应用探究”以及“总结归纳”五个环节展开教学活动，对于最终的教学目标实现有着积极的价值。当然，在具体的教学实践中教师应该充分打破思维限制，并且采取更为灵活的教学手段，如此才能够实现最终的教学目标。
参考文献
[1]黄河清.高中数学问题导学教学[M].北京，教育科学出版社.2013.2：159–163.
[2]罗宇军.指数函数及其性质（第一课时）教学设计[J].数理化学习（高中版），2017（06）：26-27.
[3]林丽虹.指数函数及其性质（第一课时）教学设计[J].新课程学习（上），2013（09）：45.
[4]田新.关注学生思维优化整合教材：“指数函数及其性质”（第一课时）教学案例[J].中国数学教育，2012（20）：24-26，30.
作者简介：孙威，男，广西南宁市，第三中学高中，数学教师。