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[摘要]基于对电子信息类研究生数字信号处理学位课程优化及整合，在教学组织及实施中，提出了“点、线、面、体”的实施方案，实践证明了这种实施方案的有效性，不僅提高了课堂的教学效益，而且有利于培养研究生的创新能力。
[关键词]数字信号处理 教学效益 创新能力
引言
从我院开办研究生教育以来，将《数字信号处理》课程确定为信号与信息处理、通信系统、军事装备学等电子信息类研究方向的学位课程。纵观国内及国外的该门课程的教材及有关的著作，虽然各章内容安排，体现了知识间的延续性，但是在一些具体内容阐述上，又体现出上知识间的脱节，而且对一些具体内容的描述，其数学描述既不规范，又不严谨。基于现状，课题组以“深究本质，着眼实际，大胆实践，勇于创新”为指导思想，对该门课程的内容不断探索，追根求源。虽然课题组的人员变，单位变，但是传承的责任心未变，使命感未变，严谨的教学风格未变，忘我的工作精神未变。对电子信息类研究生《数字信号处理》学位课程，十余年来，可以说我们呕心沥血。通过寻根过程，终于探索出了一整套、合理、有效的教学体系，在教学内容优化、整合及创新方面，构建了独特的“一条主线，两个落脚点，三种卷和，四个频谱特征，五个关系，六个对偶，七种方法、八个专题”的教学内容框架结构[1]。在教学的实施中，课题组提出了“点、线、面、体”的实施方案，不仅达到了预期的教学目标，而且还强化了研究生创新能力的培养。
一、夯实基础
每一门课程的学习，需要一些必备的基础知识，只有重视基础知识，夯实基础知识，才有可能学好一门课程。
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的运算关系，以序列差分的逆运算作为切入点，利用对偶原则，首次提出了原序列的概念，并定义了序列的不定求和运算，给出了常用的无时限序列、因果序列、反因果序列的原序列公式及不定求和运算公式，为利用降阶法求解线性常系数差分方程的通解，提供了严谨的理论依据；基于序列累加的定义，导出了类似于定积分运算中的莱不尼茨公式的序列求和公式[2]，为序列的求和、卷和、Z变换（ZT）、傅里叶变换（DTFT）及周期序列的傅里叶级数（DFS）等运算奠定了坚实的基础；对因果序列及反因果序列的求和运算，首次提出了整体求和法[3]；基于无时限虚指数序列的原序列公式，首次提出并证明了卷和的插值、抽取及重排等性质[3]，丰富和完善了序列卷和的运算性质，不仅为利用因果序列卷和运算来计算反因果序列卷和运算提供了理论依据，而且还有效扩展了卷和恢复公式的应用范围[3]。
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的频谱关系，将周期冲激信号复指数形式的傅里叶级数，作为数学上的一个恒等式，从纯数学的角度，首次以独特方式证明了周期冲激信号复指数形式的傅里叶级数，将连续周期信号表示成为连续非周期信号的周期开拓，证明了连续周期信号的的傅里叶级数式，将广义积分化为等长区间（周期）积分的累加，证明了连续周期信号的频谱计算公式[4]；将广义积分化为等长区间（周期冲激信号的角频率）积分的累加，证明了单位冲激信号的傅里叶逆变换式，将连续信号分解成延时冲激信号的加权和，证明了连续非周期信号的傅里叶逆变换式及频谱计算公式[4]。
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的变换关系，以周期冲激信号复指数形式的傅里叶级数式为依据，首次提出并证明了双边拉普拉斯变换（LT）下的时域抽样定理[5]，以双边拉普拉斯逆变换为基础，通过时域离散化处理，将广义积分化为等长区间（抽样角频率）积分的累加，利用双边拉普拉斯变换下的时域抽样定理及样值序列的Z变换与拉普拉斯变换之间的代换关系，导出了样值序列的双边逆Z变换式，再从样值序列的双边逆Z变换式导出了值序列的双边Z变换式[5]；首次提出了一种直接利用连续信号的双边拉普拉斯变换确定相应序列双边Z 变换的留数计算方法[6]，为利用单位冲激响应不变法设计IIR数字滤波器时，直接从模拟滤波器的转移函数获得数字滤波器的转移函数奠定了基础。
二、确立基点
所谓基点，可以解释为分析问题的原点，可以解释为分析问题的出发点，也可以解释为分析问题的切入点等等。
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的知识点，考虑到该课程涉及序列的频谱分析、数字滤波器设计两大部分，并为实时信号处理奠定基础。一般地，实时模拟信号处理的步骤可分为：用传感器实时采集带有消息或信息的物理量（模拟信号）；对模拟信号实施抽样获得离散信号（即序列）；对序列进行量化和编码获得数字信号，即完成模拟信号到数字信号的转换。在实际应用中，用模数转换器（A/D）来完成模数转换。通过数字信号处理器（DSP）按要求处理后，获得所需数字信号；再通过数模转换器（D/A）获得所需模拟信号。可见，实时模拟信号处理的关键是模拟信号的离散化。因此，课题组将模拟信号的时域抽样确立为该课程的基点。
三、点动成线
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的内容体系，以时域抽样为基点，以双边拉普拉斯变换下的时域抽样定理为依据，按点动成线的方式来研究问题。
对连续信号实施时域抽样，获得的样值信号扮演了双重角色。若将样值信号可视为连续信号，则存在双边普拉斯变换，并且揭示了双边拉普拉斯变换下的时域抽样定的内容；若将样值信号可视为离散信号（即序列），则存在双边Z变换。即从连续信号的时域抽样获得样值信号，从样值信号的双边拉普拉斯变换获得相应序列的双边Z变换，揭示了Z变换与拉普拉斯变换之间的代换关系，形成了一条分析问题的主线。通过这种点动成线的方式来分析问题，有利于揭示S平面与Z平面的映射关系；充分利用《信号与系统》课程所学的有关知识及结论，有利于揭示无时限序列、因果序列、反因果序列Z变换的收敛域、线性位不变的因果系统、反因果系统、非因果系统的稳定性判据[3]；有利于揭示线性位不变因果稳定的全通系统、最小相位系统的判据；S平面与Z平面的“多对一”的映射关系造成了样值信号的频谱混叠，为提出用双线性变换法来设计无限冲激响应数字滤波器奠定了基础。 四、线动成面
课题组确立了以样值信号的Z变换与拉普拉斯变换之间的代换关系为分析问题的主线，在这条主线下，设置一些特殊情况，让主线动起來，按线动成面的方式来研究问题。
对连续非周期信号施行时域抽样，则样值信号是非周期序列。以非周期序列的Z变换及逆Z变换为基础，以Z平面与S平面的映射关系为依据，研究了单位圆周上的Z变换，导出了序列的傅里叶变换（DTFT）；揭示了数字角频率与模拟角频率之间的线性关系，为用单位冲激响应不变法设计无限冲激响应数字滤波器奠定了基础；揭示了非周期序列的傅里叶变换（DTFT）与相应样值信号的傅里叶变换（CTFT）的线性代换关系；以DTFT 与CTFT的线性代换关系为依据，将DTFT的广义求和式改写成卷积形式，首次揭示了非周期序列的频谱与对应连续信号的频谱的卷积关系[5]。
对连续周期信号施行时域抽样，若连续周期信号的一个周期内恰能完成整数个抽样点，则样值信号是周期序列。以非周期序列的傅里叶逆变换（IDTFT）及以周期冲激序列的傅里叶变换（DTFT）为依据，将周期序列写成非周期序列的周期开拓，导出了周期序列的傅里叶级数（DFS）式；揭示了周期序列的频谱正是对应的非周期序列的频谱在频域上的等间隔离散化，首次揭示了周期序列的频谱与对应的非周期信号的频谱的卷积关系[5]；将广义求和化为等长区间（周期）求和的累加，导出了周期序列的频谱计算公式；对DFS在时域及频域取主值，获得了有限长序列的傅里叶变换（DFT），基于对DFT的改进，获得了有限长序列的快速傅里叶变换（FFT）。
五、面动成体
课题组确立了两个面：一是序列的傅里叶变换（DTFT），二是周期序列的傅里叶级数（DFS）及有限长序列的傅里叶变换（DFT）。让这两个面动起来，按面动成体的方式来研究DTFT、DFS 及DFT相应的性质、定理及应用。
作为DTFT的性质、定理的应用，对抽样函数的样值信号做了DTFT分析，获得了所期望的无限冲激响应（IIR）理想数字低通滤波器模型。揭示了对模拟低通滤波器单位冲激响应实施时域抽样是设计无限冲激响应数字低通滤波器的一种方法，详细分析了物理上可实现的巴特沃斯模拟低通滤波器及切比雪夫I型模拟低通滤波器的性能，相继给出了IIR滤波器设计的单位冲激响应不变法、阶跃响应不变法及双性变换法；首次提出了一种分析对称序列频谱的简洁方法[7]，详细分析了四种具有线性相位的有限冲激响应（FIR）数字滤波器的幅度函数，为用窗函数法设计FIR数字滤波器时，按要求选择窗函数的长度奠定了基础。
基于连续信号的傅里叶变换（CTFT）具有对称性质，课题组首次采用三步法来研究了CTFT的性质[3]。类似地，以时域卷和定理为依据，分别利用周期冲激序列的位移序列、差分序列及周期求和序列的DFS，导出了周期序列的时域位移、时域差分及时域周期求和性质；基于DFS的对称性质，分别利用周期序列的时域位移、时域差分及时域周期求和性质，采用三步法，导出了周期序列的频域位移、频域差分及频域周期求和性质，使推证过程得以简化；揭示了DFT的对称性质，作为DFT的对称性质的应用，从按时间抽取的基-2FFT算法，导出了按频率抽取的基-2FFT算法；利用压扩限的方式，首次提出了两种周期卷和及圆周卷和运算化归为线性卷和运算的方法[8]，为导出FFT算法中的重叠相加法、线性卷和的FFT算法、线性相关的FFT算法及实现实时信号处理奠定了基础。
至此，构建了研究生《数字信号处理》课程内容的框架体系，如图所示。
六、结束语
课题组通过对《数字信号处理》课程内容的不断探索及梳理，达成了“一条主线，两个方面”的共识，构建了课程的整体框架结构。在课堂上，教师传授的是发现问题、分析问题、解决问题的思维过程。多年的教学实践证明，通过“点、线、面、体”的方式实施教学，不仅使素质教育真正落到了实处，提高了课堂的教学效益，培养了研究生的创新能力，而且为研究生形成下一条线（研究方向）及下一个点（研究获得的创新点）奠定了坚实的基础。
七、致谢
感谢重庆市研究生教育教学改革研究项目资助（编号yjg110320，yjg110346），感谢全国教育科学国防军事教育学科“十二五”规划课题资助（编号PLA112023）。
资助项目：重庆市研究生教育教学改革研究一般项目资助（yjg110320，yjg110346）
全国教育科学国防军事教育学科“十二五”规划课题资助（PLA112023）
[参考文献]
[1]陈绍荣，田莉，朱桂斌，钱林杰，张振宇.“探索研究生《数字信号处理》课程教学内容，创新课程教学体系”，2011年重庆通信学院教学成果总结报告
[2]陈绍荣，田莉，胡绍兵，廖小军.“关于LSI系统时域解法的讨论”，重庆通信学院学报，2001年第4期，2001年12月，2002年获重庆通信学院优秀论文二等奖（证书编号：2001LW08A）.
[3]教改课题组编，陈绍荣主编，刘郁林主审，《信号与系统》学习指南，院编辅导教材，2005年2月.
[4]陈绍荣，田莉，刘郁林，“傅里叶级数及傅里叶变换的一种导出方式”，重庆市电机工程学会2006年学术会议论文集，获重庆市电机工程学会2006年学术年会优秀论文二等奖，2006年10月.
[5]陈绍荣，刘郁林，田莉，金钊，柏森.“信号处理中七类广义傅里叶变换之间的关系”，四川省电机工程学会、重庆市电机工程学会2012年学术年会，西华大学，2012年7月
[6]陈绍荣，田莉，刘郁林，“一种直接利用连续信号拉普拉斯变换确定样值序列Z变换的方法”，陆军航空兵学院学报，2012年第6期
[7]陈绍荣，刘郁林，田莉，“一种分析实对称序列频谱特征的简洁方法”，重庆通信学院学报，2012年第5期，2012年9月
[8]陈绍荣，田莉，胡绍兵.“关于线性卷和FFT算法原理的讨论”，重庆市电信通信学会，2004年无线电通信专业委员会学术年会论文集.
（作者单位：重庆通信学院 重庆）
[关键词]数字信号处理 教学效益 创新能力
引言
从我院开办研究生教育以来，将《数字信号处理》课程确定为信号与信息处理、通信系统、军事装备学等电子信息类研究方向的学位课程。纵观国内及国外的该门课程的教材及有关的著作，虽然各章内容安排，体现了知识间的延续性，但是在一些具体内容阐述上，又体现出上知识间的脱节，而且对一些具体内容的描述，其数学描述既不规范，又不严谨。基于现状，课题组以“深究本质，着眼实际，大胆实践，勇于创新”为指导思想，对该门课程的内容不断探索，追根求源。虽然课题组的人员变，单位变，但是传承的责任心未变，使命感未变，严谨的教学风格未变，忘我的工作精神未变。对电子信息类研究生《数字信号处理》学位课程，十余年来，可以说我们呕心沥血。通过寻根过程，终于探索出了一整套、合理、有效的教学体系，在教学内容优化、整合及创新方面，构建了独特的“一条主线，两个落脚点，三种卷和，四个频谱特征，五个关系，六个对偶，七种方法、八个专题”的教学内容框架结构[1]。在教学的实施中，课题组提出了“点、线、面、体”的实施方案，不仅达到了预期的教学目标，而且还强化了研究生创新能力的培养。
一、夯实基础
每一门课程的学习，需要一些必备的基础知识，只有重视基础知识，夯实基础知识，才有可能学好一门课程。
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的运算关系，以序列差分的逆运算作为切入点，利用对偶原则，首次提出了原序列的概念，并定义了序列的不定求和运算，给出了常用的无时限序列、因果序列、反因果序列的原序列公式及不定求和运算公式，为利用降阶法求解线性常系数差分方程的通解，提供了严谨的理论依据；基于序列累加的定义，导出了类似于定积分运算中的莱不尼茨公式的序列求和公式[2]，为序列的求和、卷和、Z变换（ZT）、傅里叶变换（DTFT）及周期序列的傅里叶级数（DFS）等运算奠定了坚实的基础；对因果序列及反因果序列的求和运算，首次提出了整体求和法[3]；基于无时限虚指数序列的原序列公式，首次提出并证明了卷和的插值、抽取及重排等性质[3]，丰富和完善了序列卷和的运算性质，不仅为利用因果序列卷和运算来计算反因果序列卷和运算提供了理论依据，而且还有效扩展了卷和恢复公式的应用范围[3]。
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的频谱关系，将周期冲激信号复指数形式的傅里叶级数，作为数学上的一个恒等式，从纯数学的角度，首次以独特方式证明了周期冲激信号复指数形式的傅里叶级数，将连续周期信号表示成为连续非周期信号的周期开拓，证明了连续周期信号的的傅里叶级数式，将广义积分化为等长区间（周期）积分的累加，证明了连续周期信号的频谱计算公式[4]；将广义积分化为等长区间（周期冲激信号的角频率）积分的累加，证明了单位冲激信号的傅里叶逆变换式，将连续信号分解成延时冲激信号的加权和，证明了连续非周期信号的傅里叶逆变换式及频谱计算公式[4]。
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的变换关系，以周期冲激信号复指数形式的傅里叶级数式为依据，首次提出并证明了双边拉普拉斯变换（LT）下的时域抽样定理[5]，以双边拉普拉斯逆变换为基础，通过时域离散化处理，将广义积分化为等长区间（抽样角频率）积分的累加，利用双边拉普拉斯变换下的时域抽样定理及样值序列的Z变换与拉普拉斯变换之间的代换关系，导出了样值序列的双边逆Z变换式，再从样值序列的双边逆Z变换式导出了值序列的双边Z变换式[5]；首次提出了一种直接利用连续信号的双边拉普拉斯变换确定相应序列双边Z 变换的留数计算方法[6]，为利用单位冲激响应不变法设计IIR数字滤波器时，直接从模拟滤波器的转移函数获得数字滤波器的转移函数奠定了基础。
二、确立基点
所谓基点，可以解释为分析问题的原点，可以解释为分析问题的出发点，也可以解释为分析问题的切入点等等。
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的知识点，考虑到该课程涉及序列的频谱分析、数字滤波器设计两大部分，并为实时信号处理奠定基础。一般地，实时模拟信号处理的步骤可分为：用传感器实时采集带有消息或信息的物理量（模拟信号）；对模拟信号实施抽样获得离散信号（即序列）；对序列进行量化和编码获得数字信号，即完成模拟信号到数字信号的转换。在实际应用中，用模数转换器（A/D）来完成模数转换。通过数字信号处理器（DSP）按要求处理后，获得所需数字信号；再通过数模转换器（D/A）获得所需模拟信号。可见，实时模拟信号处理的关键是模拟信号的离散化。因此，课题组将模拟信号的时域抽样确立为该课程的基点。
三、点动成线
课题组梳理了《数字信号处理》课程涉及的内容体系，以时域抽样为基点，以双边拉普拉斯变换下的时域抽样定理为依据，按点动成线的方式来研究问题。
对连续信号实施时域抽样，获得的样值信号扮演了双重角色。若将样值信号可视为连续信号，则存在双边普拉斯变换，并且揭示了双边拉普拉斯变换下的时域抽样定的内容；若将样值信号可视为离散信号（即序列），则存在双边Z变换。即从连续信号的时域抽样获得样值信号，从样值信号的双边拉普拉斯变换获得相应序列的双边Z变换，揭示了Z变换与拉普拉斯变换之间的代换关系，形成了一条分析问题的主线。通过这种点动成线的方式来分析问题，有利于揭示S平面与Z平面的映射关系；充分利用《信号与系统》课程所学的有关知识及结论，有利于揭示无时限序列、因果序列、反因果序列Z变换的收敛域、线性位不变的因果系统、反因果系统、非因果系统的稳定性判据[3]；有利于揭示线性位不变因果稳定的全通系统、最小相位系统的判据；S平面与Z平面的“多对一”的映射关系造成了样值信号的频谱混叠，为提出用双线性变换法来设计无限冲激响应数字滤波器奠定了基础。 四、线动成面
课题组确立了以样值信号的Z变换与拉普拉斯变换之间的代换关系为分析问题的主线，在这条主线下，设置一些特殊情况，让主线动起來，按线动成面的方式来研究问题。
对连续非周期信号施行时域抽样，则样值信号是非周期序列。以非周期序列的Z变换及逆Z变换为基础，以Z平面与S平面的映射关系为依据，研究了单位圆周上的Z变换，导出了序列的傅里叶变换（DTFT）；揭示了数字角频率与模拟角频率之间的线性关系，为用单位冲激响应不变法设计无限冲激响应数字滤波器奠定了基础；揭示了非周期序列的傅里叶变换（DTFT）与相应样值信号的傅里叶变换（CTFT）的线性代换关系；以DTFT 与CTFT的线性代换关系为依据，将DTFT的广义求和式改写成卷积形式，首次揭示了非周期序列的频谱与对应连续信号的频谱的卷积关系[5]。
对连续周期信号施行时域抽样，若连续周期信号的一个周期内恰能完成整数个抽样点，则样值信号是周期序列。以非周期序列的傅里叶逆变换（IDTFT）及以周期冲激序列的傅里叶变换（DTFT）为依据，将周期序列写成非周期序列的周期开拓，导出了周期序列的傅里叶级数（DFS）式；揭示了周期序列的频谱正是对应的非周期序列的频谱在频域上的等间隔离散化，首次揭示了周期序列的频谱与对应的非周期信号的频谱的卷积关系[5]；将广义求和化为等长区间（周期）求和的累加，导出了周期序列的频谱计算公式；对DFS在时域及频域取主值，获得了有限长序列的傅里叶变换（DFT），基于对DFT的改进，获得了有限长序列的快速傅里叶变换（FFT）。
五、面动成体
课题组确立了两个面：一是序列的傅里叶变换（DTFT），二是周期序列的傅里叶级数（DFS）及有限长序列的傅里叶变换（DFT）。让这两个面动起来，按面动成体的方式来研究DTFT、DFS 及DFT相应的性质、定理及应用。
作为DTFT的性质、定理的应用，对抽样函数的样值信号做了DTFT分析，获得了所期望的无限冲激响应（IIR）理想数字低通滤波器模型。揭示了对模拟低通滤波器单位冲激响应实施时域抽样是设计无限冲激响应数字低通滤波器的一种方法，详细分析了物理上可实现的巴特沃斯模拟低通滤波器及切比雪夫I型模拟低通滤波器的性能，相继给出了IIR滤波器设计的单位冲激响应不变法、阶跃响应不变法及双性变换法；首次提出了一种分析对称序列频谱的简洁方法[7]，详细分析了四种具有线性相位的有限冲激响应（FIR）数字滤波器的幅度函数，为用窗函数法设计FIR数字滤波器时，按要求选择窗函数的长度奠定了基础。
基于连续信号的傅里叶变换（CTFT）具有对称性质，课题组首次采用三步法来研究了CTFT的性质[3]。类似地，以时域卷和定理为依据，分别利用周期冲激序列的位移序列、差分序列及周期求和序列的DFS，导出了周期序列的时域位移、时域差分及时域周期求和性质；基于DFS的对称性质，分别利用周期序列的时域位移、时域差分及时域周期求和性质，采用三步法，导出了周期序列的频域位移、频域差分及频域周期求和性质，使推证过程得以简化；揭示了DFT的对称性质，作为DFT的对称性质的应用，从按时间抽取的基-2FFT算法，导出了按频率抽取的基-2FFT算法；利用压扩限的方式，首次提出了两种周期卷和及圆周卷和运算化归为线性卷和运算的方法[8]，为导出FFT算法中的重叠相加法、线性卷和的FFT算法、线性相关的FFT算法及实现实时信号处理奠定了基础。
至此，构建了研究生《数字信号处理》课程内容的框架体系，如图所示。
六、结束语
课题组通过对《数字信号处理》课程内容的不断探索及梳理，达成了“一条主线，两个方面”的共识，构建了课程的整体框架结构。在课堂上，教师传授的是发现问题、分析问题、解决问题的思维过程。多年的教学实践证明，通过“点、线、面、体”的方式实施教学，不仅使素质教育真正落到了实处，提高了课堂的教学效益，培养了研究生的创新能力，而且为研究生形成下一条线（研究方向）及下一个点（研究获得的创新点）奠定了坚实的基础。
七、致谢
感谢重庆市研究生教育教学改革研究项目资助（编号yjg110320，yjg110346），感谢全国教育科学国防军事教育学科“十二五”规划课题资助（编号PLA112023）。
资助项目：重庆市研究生教育教学改革研究一般项目资助（yjg110320，yjg110346）
全国教育科学国防军事教育学科“十二五”规划课题资助（PLA112023）
[参考文献]
[1]陈绍荣，田莉，朱桂斌，钱林杰，张振宇.“探索研究生《数字信号处理》课程教学内容，创新课程教学体系”，2011年重庆通信学院教学成果总结报告
[2]陈绍荣，田莉，胡绍兵，廖小军.“关于LSI系统时域解法的讨论”，重庆通信学院学报，2001年第4期，2001年12月，2002年获重庆通信学院优秀论文二等奖（证书编号：2001LW08A）.
[3]教改课题组编，陈绍荣主编，刘郁林主审，《信号与系统》学习指南，院编辅导教材，2005年2月.
[4]陈绍荣，田莉，刘郁林，“傅里叶级数及傅里叶变换的一种导出方式”，重庆市电机工程学会2006年学术会议论文集，获重庆市电机工程学会2006年学术年会优秀论文二等奖，2006年10月.
[5]陈绍荣，刘郁林，田莉，金钊，柏森.“信号处理中七类广义傅里叶变换之间的关系”，四川省电机工程学会、重庆市电机工程学会2012年学术年会，西华大学，2012年7月
[6]陈绍荣，田莉，刘郁林，“一种直接利用连续信号拉普拉斯变换确定样值序列Z变换的方法”，陆军航空兵学院学报，2012年第6期
[7]陈绍荣，刘郁林，田莉，“一种分析实对称序列频谱特征的简洁方法”，重庆通信学院学报，2012年第5期，2012年9月
[8]陈绍荣，田莉，胡绍兵.“关于线性卷和FFT算法原理的讨论”，重庆市电信通信学会，2004年无线电通信专业委员会学术年会论文集.
（作者单位：重庆通信学院 重庆）