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【摘要】配方法是高中数学的重要思想方法之一，也是高考常考的内容，其配方形式灵活多样，解题时要对题目进行分析，合理地恒等变形使问题化难为易。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）02-0074-01
将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
一、配方法的一般步骤
1.化1；2.移项；3.配方；4.求解。关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
二、配方法的具体应用
1.解一元二次方程：用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的步骤是：①把原方程化成x2+px+q=0的形式；②移项整理得：x2+px=-q；③在方程x2+px=-q的两边同时加上一次项系数p的一半的平方得x2+px+（■）■=-q+（■）■；④用直接开方法解方程（x+■）■=■-q即可。
【例】解方程：2x2+4x-6=0
解： 原方程两边同时除以2得：x2+2x-3=0
移项得：x2+2x=3
方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方得：
x2+2x+12=3+12
（x+1）2=4
直接开平方得：（x+1）=2或（x+1）=-2
解得：x1=1, x2= -3
2.求最值
【例】已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0，则x+y的最大值为____。
分析：将y用含x的式子来表示，再代入(x+y)求值。
解：x2+3x+y-3=0<=>y=3-3x-x2，
代入(x+y)得x+y=3-2x-x2=-(x2+2x-3)=-[(x+1)2-4]=4-(x+1)2。
由于(x+1)2≥0,故4-(x+1)2≤4，故推测(x+y)的最大值为4，此时x，y有解，故(x+y)的最大值为4。
3.证明非负性
【例】证明：a2+2b+b2-2c+c2-6a+11≥0
解：a2+2b+b2-2c+c2-6a+11=(a+3)2+(b+1)2+(c+1)2，结论显然成立。
4.用配方法化简二次根式
对于形如■的二次根式常常可以利用配方法来化简，因为只要适当变形常可使a±2■成为一个完全平方式。去掉根号时一定要注意■表示的是算术根，防止出错。
【例】化简：■。
分析：为了将■变形成a2+b2-2ab的形式可以先将8■分解：
8■=2■=2■·■=（■-■）■， 而19=3+16=（■）■+（■）■，
∴■=（■）■+（■）■-2■·■，将这个式子作为被开方数，就可以化简了。
解：原式=■=■=4-■
5.用配方法证明等式
因任意一个数的平方一定是非负数，利用这个性质，通过配方可以证明某些等式。
【例】若a、b、c为实数，且a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，求证：a=b=c。
证明一：由已知等式两边同乘以2得，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0?圯（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2）=0?圯（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，而：（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，当且仅当（a-b）2=（b-c）2=（c-a）2=0取到等号，即：a=b=c。
6.用配方法分解因式
【例】分解因式：x2-120x+3456。
分析：由于常数项数值较大，如果运用十字相乘法，势必要实验多次，因此宜采用配方法。
解：原式=（x2-120x+3600）2+（3456-3600）=（x-60）2-144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）。
7.比较大小
【例】比较代数式2x2+6x+8与x2+8x的大小。
解：∵（2x2+6x+8）-（x2+8x）=x2-2x+8=（x2-2x+1）+7＞0，
∴2x2+6x+8＞x2+8x。
8.判断三角形现状
【例】在△ABC中，三边a,b,c满足：a+b+c=■，a2+b2+c2=■，试判断△ABC的形状。
分析：由题设可将a+b+c平方，从而得到a2+b2+c2。
解：∵a+b+c=■?圯a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=■，
又∵a2+b2+c2=■，
∴ab+bc+ca=■-■÷2=■， ∴a2+b2+c2=ab+bc+ca，整理配方得：（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?圯a=b=c，即△ABC是等边三角形。
……
三、配方法在配方中的技巧
对于任意的a、b（这里的a、b可以代指任意一个式子，即包括超越式和代数式），都有a+b=■+■-■a+b=■+■-2■，
（一般情况下，前一个公式最好用于对x±y配方，后一个公式最好用于对x±ax进行配方）
对于任意的a、b、c，都有a+b+c=■+■+■2-2■-2■-2■
（一般情况下，这个公式最好用于对x+y+z进行配方）
配方时，只需要明确要进行配方两项或三项，再套用上述公式即可。
四、用配方法的注意事项和可能出现的问题
配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中学生可能出现以下几个问题：
1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。
2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。
3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。
数学方法的学习是一个永无止境的过程，只要在数学学习的过程中善于总结，挖掘题目中的一些规律，很多数学问题都可以迎刃而解。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）02-0074-01
将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
一、配方法的一般步骤
1.化1；2.移项；3.配方；4.求解。关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
二、配方法的具体应用
1.解一元二次方程：用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的步骤是：①把原方程化成x2+px+q=0的形式；②移项整理得：x2+px=-q；③在方程x2+px=-q的两边同时加上一次项系数p的一半的平方得x2+px+（■）■=-q+（■）■；④用直接开方法解方程（x+■）■=■-q即可。
【例】解方程：2x2+4x-6=0
解： 原方程两边同时除以2得：x2+2x-3=0
移项得：x2+2x=3
方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方得：
x2+2x+12=3+12
（x+1）2=4
直接开平方得：（x+1）=2或（x+1）=-2
解得：x1=1, x2= -3
2.求最值
【例】已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0，则x+y的最大值为____。
分析：将y用含x的式子来表示，再代入(x+y)求值。
解：x2+3x+y-3=0<=>y=3-3x-x2，
代入(x+y)得x+y=3-2x-x2=-(x2+2x-3)=-[(x+1)2-4]=4-(x+1)2。
由于(x+1)2≥0,故4-(x+1)2≤4，故推测(x+y)的最大值为4，此时x，y有解，故(x+y)的最大值为4。
3.证明非负性
【例】证明：a2+2b+b2-2c+c2-6a+11≥0
解：a2+2b+b2-2c+c2-6a+11=(a+3)2+(b+1)2+(c+1)2，结论显然成立。
4.用配方法化简二次根式
对于形如■的二次根式常常可以利用配方法来化简，因为只要适当变形常可使a±2■成为一个完全平方式。去掉根号时一定要注意■表示的是算术根，防止出错。
【例】化简：■。
分析：为了将■变形成a2+b2-2ab的形式可以先将8■分解：
8■=2■=2■·■=（■-■）■， 而19=3+16=（■）■+（■）■，
∴■=（■）■+（■）■-2■·■，将这个式子作为被开方数，就可以化简了。
解：原式=■=■=4-■
5.用配方法证明等式
因任意一个数的平方一定是非负数，利用这个性质，通过配方可以证明某些等式。
【例】若a、b、c为实数，且a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，求证：a=b=c。
证明一：由已知等式两边同乘以2得，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0?圯（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2）=0?圯（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，而：（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，当且仅当（a-b）2=（b-c）2=（c-a）2=0取到等号，即：a=b=c。
6.用配方法分解因式
【例】分解因式：x2-120x+3456。
分析：由于常数项数值较大，如果运用十字相乘法，势必要实验多次，因此宜采用配方法。
解：原式=（x2-120x+3600）2+（3456-3600）=（x-60）2-144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）。
7.比较大小
【例】比较代数式2x2+6x+8与x2+8x的大小。
解：∵（2x2+6x+8）-（x2+8x）=x2-2x+8=（x2-2x+1）+7＞0，
∴2x2+6x+8＞x2+8x。
8.判断三角形现状
【例】在△ABC中，三边a,b,c满足：a+b+c=■，a2+b2+c2=■，试判断△ABC的形状。
分析：由题设可将a+b+c平方，从而得到a2+b2+c2。
解：∵a+b+c=■?圯a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=■，
又∵a2+b2+c2=■，
∴ab+bc+ca=■-■÷2=■， ∴a2+b2+c2=ab+bc+ca，整理配方得：（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?圯a=b=c，即△ABC是等边三角形。
……
三、配方法在配方中的技巧
对于任意的a、b（这里的a、b可以代指任意一个式子，即包括超越式和代数式），都有a+b=■+■-■a+b=■+■-2■，
（一般情况下，前一个公式最好用于对x±y配方，后一个公式最好用于对x±ax进行配方）
对于任意的a、b、c，都有a+b+c=■+■+■2-2■-2■-2■
（一般情况下，这个公式最好用于对x+y+z进行配方）
配方时，只需要明确要进行配方两项或三项，再套用上述公式即可。
四、用配方法的注意事项和可能出现的问题
配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中学生可能出现以下几个问题：
1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。
2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。
3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。
数学方法的学习是一个永无止境的过程，只要在数学学习的过程中善于总结，挖掘题目中的一些规律，很多数学问题都可以迎刃而解。