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【摘 要】数学具有高度的抽象性、逻辑性与广泛的适用性，对能力的要求较高，数学能力只有在数学思想方法不断地运用中才能培养和提高。所以在教学与学习过程中教师应注意这些方法的运用，提高学生的数学思维能力。
【关键词】高中数学 解题思想 解题方法
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.04.090
数学学科担负着培养学生运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力以及创新思维能力的重任，高中数学教师在教学中必须对此予以重视，教授学生正确的解题思想方法。
一、数形结合
所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合。
数形结合思想解决的问题常有以下几种：构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；构建立体几何模型研究代数问题；构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；构建方程模型，求根的个数；研究图形的形状、位置关系、性质等。下面以数形结合求根的个数为例分析：
若方程f（x）=x+a有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） 。
思路分析：画出f（x）的图像→画出y=x的图像→将y=x的图像进行平移即可。
二、函数与方程
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等。方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点；解不等式f（x）>0（或f（x）<0），就是求函数y=f（x）的正负区间；再如方程f（x）=g（x）的交点问题，也可以转化为函数y=f（x）-g（x）与x轴交点问题；方程f（x）=a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域。函数与方程的这种相互转化思维方式在高中数学中十分重要。下面通过例题分析高中数学中函数与方程思想的具体体现：
例：若a，b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。
思路分析：方法一：用a表示b→根据b>0，求a的范围→把ab看作a的函数→求此函数的值域。
方法二：利用基本不等式 ： 转化成求不等式的解集。
方法三：设ab=t，则a+b=t-3，所以a，b可看成方程X2-（t-3）x+t=0的两个正根。
三、化归与转化思想
数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简。在化归与转化的过程中要遵从目标简单化原则、和谐统一性原则、具体化原则、低层次原则、正难则反原则五个原则。而化归与转化的方法主要包括直接转化法、换元法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法、补集法等。以补集法和等价问题法为例分析化归与转化思想。
例：若不等式x2-ax+1≥0对于一切x∈（0，2）恒成立，则a的取值范围为（ ）。
思路分析：利用分离参数求解，注意应用基本不等式。
四、分类与讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分三种a>0，a=0，a<0。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制。如等比数列的前项和的公式，分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0，a=0，a<0三种情况讨论。这称为含参型。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。以③的分类讨论为例分析分类讨论在高中数学中的体现：
例：（2013·天津模拟）已知函数f（x）=1nx-a2X2+ax（a∈R），求f（x）的单调区间与极值。
思路分析：求f（x），根据求单调区间与极值的步骤求解；关注点：f（x）中含参数a，需对a分类讨论。
总之，学生由初中升入高中，是他们学习生活的一个转折点，教师要分析清楚学生学习数学困难的原因，抓好初高中数学教学工作的衔接，使学生尽快适应新的学习模式，从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力。
参考文献
[1]赵宇，徐赢.例谈高中数学基础知识教学中的解题思想《新课程·中学》2015年2期.
[2]王伟松.高中数学解题思想方法探究.《基础教育论坛（综合版）》.2013年2期.
[3]李峥嵘.高中数学数形结合意识的培养《中学生数理化：学研版》.2012年6期.
【关键词】高中数学 解题思想 解题方法
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.04.090
数学学科担负着培养学生运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力以及创新思维能力的重任，高中数学教师在教学中必须对此予以重视，教授学生正确的解题思想方法。
一、数形结合
所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合。
数形结合思想解决的问题常有以下几种：构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；构建立体几何模型研究代数问题；构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；构建方程模型，求根的个数；研究图形的形状、位置关系、性质等。下面以数形结合求根的个数为例分析：
若方程f（x）=x+a有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ） 。
思路分析：画出f（x）的图像→画出y=x的图像→将y=x的图像进行平移即可。
二、函数与方程
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等。方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点；解不等式f（x）>0（或f（x）<0），就是求函数y=f（x）的正负区间；再如方程f（x）=g（x）的交点问题，也可以转化为函数y=f（x）-g（x）与x轴交点问题；方程f（x）=a有解，当且仅当a属于函数f（x）的值域。函数与方程的这种相互转化思维方式在高中数学中十分重要。下面通过例题分析高中数学中函数与方程思想的具体体现：
例：若a，b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。
思路分析：方法一：用a表示b→根据b>0，求a的范围→把ab看作a的函数→求此函数的值域。
方法二：利用基本不等式 ： 转化成求不等式的解集。
方法三：设ab=t，则a+b=t-3，所以a，b可看成方程X2-（t-3）x+t=0的两个正根。
三、化归与转化思想
数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简。在化归与转化的过程中要遵从目标简单化原则、和谐统一性原则、具体化原则、低层次原则、正难则反原则五个原则。而化归与转化的方法主要包括直接转化法、换元法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法、补集法等。以补集法和等价问题法为例分析化归与转化思想。
例：若不等式x2-ax+1≥0对于一切x∈（0，2）恒成立，则a的取值范围为（ ）。
思路分析：利用分离参数求解，注意应用基本不等式。
四、分类与讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分三种a>0，a=0，a<0。这种分类讨论题型可以称为概念型。②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制。如等比数列的前项和的公式，分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0，a=0，a<0三种情况讨论。这称为含参型。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。以③的分类讨论为例分析分类讨论在高中数学中的体现：
例：（2013·天津模拟）已知函数f（x）=1nx-a2X2+ax（a∈R），求f（x）的单调区间与极值。
思路分析：求f（x），根据求单调区间与极值的步骤求解；关注点：f（x）中含参数a，需对a分类讨论。
总之，学生由初中升入高中，是他们学习生活的一个转折点，教师要分析清楚学生学习数学困难的原因，抓好初高中数学教学工作的衔接，使学生尽快适应新的学习模式，从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力。
参考文献
[1]赵宇，徐赢.例谈高中数学基础知识教学中的解题思想《新课程·中学》2015年2期.
[2]王伟松.高中数学解题思想方法探究.《基础教育论坛（综合版）》.2013年2期.
[3]李峥嵘.高中数学数形结合意识的培养《中学生数理化：学研版》.2012年6期.