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形式化是理性思维的组成部分,是数学固有的特点。但长期以来,我国的数学教育却一直被过度的形式化所束缚。抽象的学术形态、严格的演绎体系、纯粹的逻辑推理,成了戴在学生头上的“紧箍咒”。在这种背景下,学生对数学的态度变得冷漠了,原来生动活泼和富有活力的学习过程变得苍白而缺乏生气。而西方数学教育界却提出了“非形式化的数学教育”。显然,数学教学要对数学适度的非形式化处理,从学生的实际出发,注重学生学习的实际效果,促进学生全面、持续、和谐的发展。
一、学生素材灵活选择
学生素材是知识的载体,是学生学习过程中的感知、认识、研究的对象。教材里的学习素材都是精心选择的,具有一定的典型性。教学中,不妨贴近学生的生活实际,从学生熟悉的生活情景出发,选取学生身边的、感兴趣的事物,提出数学问题,激发学生的学习兴趣和动机。
下面是引入“比例尺”的教学实例。
师:同学们,你们知道我们学校前面那条铁路叫什么铁路吗?生:兰青铁路和兰新铁路。师:对。这两条铁路都是从兰州市出发,一条去青海,一条去新疆。你知道兰州到青海西宁的直线距离大约有多长吗?生:不知道。师:能不能利用这幅地图来计算兰州到西宁的直线距离呢?
提供鲜活的素材并创设出乎意料的问题引出学习的主题,能更好地激发学生的求知欲,激活学生的思维。
二、呈现方式适当变化
不同年级的学生都有各自的年龄特征,教材内容应根据学生的兴趣爱好和认知特点,不断刺激学生的感官和心智,使学生对数学产生喜爱并愿意接受的积极情感。新课程标准教材已有了较大的改观,采用了大量的卡通、图片、对话、表格等表现形式。不管怎样,教师要适当改变教学内容单一、机械的呈现方式,将教学内容变成适合学生探索与交流的学习素材,改变学生的学习方式,促进学生自助建构和主动发展。以“乘法结合律”的教学为例,例题是两道单纯的计算题,没有现实背景的依托。我根据算式编了这样一道题:一支钢笔14元,一盒钢笔12支,买5盒钢笔一共要多少元?学生很快根据已有知识和经验列出不同的算式,得出:(14×12)×5=14×(12×5)。
在初步感知的基础上,教材又呈现了类似的三道乘法算式,让学生观察、比较、分析、抽象、概括。我没有和盘托出,而是采用了如下分层次呈现的方式。
(1)出示“(3×4)×6○3×(4×6)”,○里应填什么符号?两边算式的运算顺序相同吗?(2)出示“10×20×3”和“10×20×3”,你能按不同的顺序计算着两道相同的算式吗?它们的结果相同吗?(3)出示“(7×12)×5”,你能很快知道它的结果与那道算式相同吗?你是怎样想的?
学生有了前面幾组题的认识经验,第⑶题很快写出“7×(12×5)”,并在叙述思考过程时就把规律说了出来。教学内容的动态呈现引起了学生不同层次的思考,帮助学生顺利实现了自主建构。
三、理解、表达富有个性
数学是严谨的科学。对数学的理解与表达应重视质而轻形式,不必苛求标准化、最优化。要给学生提供结合具体情境,根据自己的经验,用自己的方式表达理解的机会,使学生的个性发展成为可能。例如“圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的1/3”这一结论确实比较精炼、科学,但是,不这样表达是否就一定影响学生对其实质的理解呢?教学中,我允许学生用不同的方式表达自己对这一结论的理解,整理如下:(1)等底等高的圆锥和圆柱的体积的比是1∶3。(2)一个橡皮泥圆柱可以做成3个和它等底等高的圆锥。(3)在一个圆柱中挖去一个最大的圆锥,这个圆锥的体积是圆柱的1/3。(“等底等高不见了”)。这里既有以客观事物为支撑的具体形象描述,又有抽象程度较高的数学表达方式的转换,学生个性化的理解和表达使课堂成了放飞想象的空间,学生不再为形式化所累。
四、解决问题策略多样
传统教学在解决问题的过程中,常常强调演绎推理的严谨,忽视合情推理及其他非形式化思维(直觉、联想、顿悟)所具有的创造性,磨灭了学生天性中潜在的创造意识。解决问题的策略是多样化的,教学中要引导学生用数学的眼光敏锐感知问题的实质,准确捕捉相关信息并加以整理,合理、灵活地解决问题。如这样的问题:李老师到新华书店买书,他带的钱如果都买连环画,可以买15本,如果都买故事书,只能买10本。已知每本故事书比每本连环画贵2元。李老师一共带了多少钱?通常的方法是:买10本故事书比买10本连环画多用2×10=20(元),两种书的本书相差15-10=5(本),即20元可以买5本连环画,每本连环画是20÷5=4(元),总钱数是4×15=60(元)。这种方法属于常规方法,但是理解数量之间的关系和思考过程有些复杂,教学中,我放手让学生自助探索,结果学生发现了很多有创意的非常规方法。
方法一:李老师带的钱必然是15和10的最小公倍数。如果是30元,则30÷15=2(元),30÷10=3(元),相差1元,不符合题意;如果是60元,则60÷15=4(元)60÷10=6(元),正好相差2元,符合题意;所以李老师带了60元。
方法二:根据单价相差2元,可列出下表:
连环画单价(元) 1 2 3 4 5 ……
故事书单价(元) 3 4 5 6 7 ……
根据“单价×数量=总价”,只有4×15=6×10,可见李老师带的钱数是4×15=10×6=60(元)。
我们反对过度形式化,不是不要形式化,而是不惟形式化。数学教学应重视质、讲实效,求得对数学本质的把握与形式化表达的动态平衡。
一、学生素材灵活选择
学生素材是知识的载体,是学生学习过程中的感知、认识、研究的对象。教材里的学习素材都是精心选择的,具有一定的典型性。教学中,不妨贴近学生的生活实际,从学生熟悉的生活情景出发,选取学生身边的、感兴趣的事物,提出数学问题,激发学生的学习兴趣和动机。
下面是引入“比例尺”的教学实例。
师:同学们,你们知道我们学校前面那条铁路叫什么铁路吗?生:兰青铁路和兰新铁路。师:对。这两条铁路都是从兰州市出发,一条去青海,一条去新疆。你知道兰州到青海西宁的直线距离大约有多长吗?生:不知道。师:能不能利用这幅地图来计算兰州到西宁的直线距离呢?
提供鲜活的素材并创设出乎意料的问题引出学习的主题,能更好地激发学生的求知欲,激活学生的思维。
二、呈现方式适当变化
不同年级的学生都有各自的年龄特征,教材内容应根据学生的兴趣爱好和认知特点,不断刺激学生的感官和心智,使学生对数学产生喜爱并愿意接受的积极情感。新课程标准教材已有了较大的改观,采用了大量的卡通、图片、对话、表格等表现形式。不管怎样,教师要适当改变教学内容单一、机械的呈现方式,将教学内容变成适合学生探索与交流的学习素材,改变学生的学习方式,促进学生自助建构和主动发展。以“乘法结合律”的教学为例,例题是两道单纯的计算题,没有现实背景的依托。我根据算式编了这样一道题:一支钢笔14元,一盒钢笔12支,买5盒钢笔一共要多少元?学生很快根据已有知识和经验列出不同的算式,得出:(14×12)×5=14×(12×5)。
在初步感知的基础上,教材又呈现了类似的三道乘法算式,让学生观察、比较、分析、抽象、概括。我没有和盘托出,而是采用了如下分层次呈现的方式。
(1)出示“(3×4)×6○3×(4×6)”,○里应填什么符号?两边算式的运算顺序相同吗?(2)出示“10×20×3”和“10×20×3”,你能按不同的顺序计算着两道相同的算式吗?它们的结果相同吗?(3)出示“(7×12)×5”,你能很快知道它的结果与那道算式相同吗?你是怎样想的?
学生有了前面幾组题的认识经验,第⑶题很快写出“7×(12×5)”,并在叙述思考过程时就把规律说了出来。教学内容的动态呈现引起了学生不同层次的思考,帮助学生顺利实现了自主建构。
三、理解、表达富有个性
数学是严谨的科学。对数学的理解与表达应重视质而轻形式,不必苛求标准化、最优化。要给学生提供结合具体情境,根据自己的经验,用自己的方式表达理解的机会,使学生的个性发展成为可能。例如“圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的1/3”这一结论确实比较精炼、科学,但是,不这样表达是否就一定影响学生对其实质的理解呢?教学中,我允许学生用不同的方式表达自己对这一结论的理解,整理如下:(1)等底等高的圆锥和圆柱的体积的比是1∶3。(2)一个橡皮泥圆柱可以做成3个和它等底等高的圆锥。(3)在一个圆柱中挖去一个最大的圆锥,这个圆锥的体积是圆柱的1/3。(“等底等高不见了”)。这里既有以客观事物为支撑的具体形象描述,又有抽象程度较高的数学表达方式的转换,学生个性化的理解和表达使课堂成了放飞想象的空间,学生不再为形式化所累。
四、解决问题策略多样
传统教学在解决问题的过程中,常常强调演绎推理的严谨,忽视合情推理及其他非形式化思维(直觉、联想、顿悟)所具有的创造性,磨灭了学生天性中潜在的创造意识。解决问题的策略是多样化的,教学中要引导学生用数学的眼光敏锐感知问题的实质,准确捕捉相关信息并加以整理,合理、灵活地解决问题。如这样的问题:李老师到新华书店买书,他带的钱如果都买连环画,可以买15本,如果都买故事书,只能买10本。已知每本故事书比每本连环画贵2元。李老师一共带了多少钱?通常的方法是:买10本故事书比买10本连环画多用2×10=20(元),两种书的本书相差15-10=5(本),即20元可以买5本连环画,每本连环画是20÷5=4(元),总钱数是4×15=60(元)。这种方法属于常规方法,但是理解数量之间的关系和思考过程有些复杂,教学中,我放手让学生自助探索,结果学生发现了很多有创意的非常规方法。
方法一:李老师带的钱必然是15和10的最小公倍数。如果是30元,则30÷15=2(元),30÷10=3(元),相差1元,不符合题意;如果是60元,则60÷15=4(元)60÷10=6(元),正好相差2元,符合题意;所以李老师带了60元。
方法二:根据单价相差2元,可列出下表:
连环画单价(元) 1 2 3 4 5 ……
故事书单价(元) 3 4 5 6 7 ……
根据“单价×数量=总价”,只有4×15=6×10,可见李老师带的钱数是4×15=10×6=60(元)。
我们反对过度形式化,不是不要形式化,而是不惟形式化。数学教学应重视质、讲实效,求得对数学本质的把握与形式化表达的动态平衡。